opgave 1Marathon
De marathon is een hardloopwedstrijd over een afstand van 42 km en 195 m.
In september 2003 verbeterde de Keniaan Paul Tergat in Berlijn het
wereldrecord op de marathon tot 2 uur, 4 minuten en 55 seconden.
13pToon aan dat zijn gemiddelde snelheid tijdens het lopen van dit wereldrecord
ruim 5,6 m/s was.
Na dit wereldrecord schreef een sportverslaggever dat een tijd onder de 2 uur
en 4 minuten haalbaar zou zijn. De verslaggever baseerde die uitspraak op
tijden die Tergat had gelopen op andere afstanden.
Zo was Tergats beste tijd op de 10 000 meter op dat moment 26 minuten en
27 seconden. Ook had Tergat op de halve marathon het wereldrecord in handen
met 59 minuten en 17 seconden.
In de atletiekwereld wordt gebruik gemaakt van de volgende formule om een
recordtijd op een gegeven afstand te voorspellen, uitgaande van een recordtijd
op een andere afstand.
T2 is de voorspelde recordtijd in seconden op de afstand D2 in meters.
T1 is de recordtijd in seconden die bekend is op de afstand D1 in meters.
Uitgaande van zijn recordtijd op de halve marathon kan Tergat volgens deze
formule inderdaad op de marathon een tijd lopen onder de 2 uur en 4 minuten.
24pToon dit met een berekening aan.
In figuur 1 is bij een aantal afstanden de wereldrecordtijd van mannen uitgezet.
De schaalverdeling langs beide assen is logaritmisch. De punten liggen vrijwel
op een rechte lijn. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
WR-tijden mannen
33puitwerkbijlageGeef met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage een schatting van het
wereldrecord op de 3000 meter. Geef in de figuur duidelijk aan hoe je te werk
bent gegaan.
Een formule die goed past bij de grafiek van figuur 1 is:
T = 0,05827 ⋅ D1,111
Hierin is D de afstand in meters en T de tijd in seconden.
Je kunt berekenen wat de wereldrecordtijd op de 5000 meter volgens deze
formule moet zijn.
Het wereldrecord op de 5000 meter stond tot mei 2004 op naam van de
Ethiopiër Haile Gebreselassie: 12 minuten en 39,36 seconden.
44pBereken hoeveel procent die tijd van 12 minuten en 39,36 seconden afwijkt van
de met de formule berekende wereldrecordtijd.
Bij hardlopen gaat het om de kortste tijd op een bepaalde afstand. Bij de
Coopertest is dat anders: daar moet je een zo groot mogelijke afstand lopen in
12 minuten. Met de formule kun je berekenen hoe groot die recordafstand voor
mannen bij de Coopertest zou kunnen zijn.
opgave 2Goedkoop vliegen
Luchtvaartmaatschappijen die adverteren met lage prijzen zijn populair. Bij deze
maatschappijen hangt de prijs van een ticket af van het moment van aanschaf.
Als je vroeg boekt, betaal je minder dan wanneer je laat boekt.
Een van die maatschappijen vliegt vanuit Parijs op andere grote Europese
steden.
Voor vluchten naar Rome (enkele reis, zonder luchthavenbelasting en andere
toeslagen) zijn er tickets in 10 prijscategorieën. Met tabel 1 kan de ticketprijs in
elke categorie worden berekend.
Eerst worden de tickets uit categorie 1 verkocht voor een prijs van 60 euro.
Wanneer die tickets op zijn, worden de tickets uit categorie 2 verkocht voor
70 (= 60 + 10) euro.
Daarna worden de tickets uit categorie 3 verkocht voor 80 (= 70 + 10) euro,
enzovoort.
tabel 1
Voor een vlucht naar Rome worden in elke categorie evenveel tickets verkocht.
63pBereken de gemiddelde prijs van die tickets.
Het aantal tickets per categorie wisselt per seizoen en per bestemming.
Voor vluchten in het voorjaar naar Athene zijn veel meer goedkope dan dure
tickets beschikbaar. Voor deze vluchten zijn er zes prijscategorieën: tickets in de
goedkoopste categorie kosten € 80 en elke volgende categorie is € 20 duurder.
Hieronder staat een overzicht:
− altijd geldt: in elke hogere categorie wordt het percentage beschikbare
tickets kleiner.
Met deze gegevens zijn diverse verdelingen mogelijk van de tickets in de zes
prijscategorieën.
77puitwerkbijlageSchrijf een mogelijke percentageverdeling over de zes prijscategorieën op en
teken op de uitwerkbijlage de bijbehorende cumulatieve frequentiepolygoon van
de zes ticketprijzen. Licht je werkwijze toe.
Niet alle kopers van een ticket komen opdagen voor hun vlucht, bijvoorbeeld
omdat ze ziek zijn of de reis niet meer nodig is. Op grond van ervaringen gaat
de maatschappij ervan uit dat voor iedere koper van een ticket de kans dat hij
niet komt opdagen 4% is.
Voor een vlucht naar Helsinki zijn 60 tickets verkocht.
83pBereken de kans dat alle 60 kopers van een ticket voor deze vlucht op komen
dagen.
Omdat regelmatig kopers van een ticket niet komen opdagen, verkopen veel
maatschappijen meer tickets dan er stoelen in een vliegtuig zijn.
Zo voert een maatschappij de vluchten naar Warschau uit met vliegtuigen met
70 stoelen. Voor een vlucht worden 75 tickets verkocht. De vijf te veel verkochte
tickets zijn van de duurste categorie: 500 euro per stuk.
Wanneer 70 mensen of minder komen opdagen, is er voor iedereen plaats en
heeft de maatschappij 2500 euro extra inkomsten.
Als er 71, 72, 73, 74 of 75 mensen komen opdagen, is er voor 1, 2, 3, 4 of 5
mensen geen plaats. In dat geval probeert de maatschappij mensen uit de
goedkoopste categorie over te halen een latere vlucht te nemen die nog niet is
volgeboekt. Deze mensen krijgen dan een ticket voor die latere vlucht plus een
vergoeding. De kosten hiervan bedragen 350 euro per persoon. Als bijvoorbeeld
73 personen komen opdagen, heeft de maatschappij toch nog
2500 – 3 × 350 = 1450 euro extra inkomsten.
Er zijn dus 75 tickets verkocht, terwijl er maar 70 stoelen zijn.
In tabel 2 staan de kansen van het aantal mensen dat op deze vlucht komt
opdagen en de extra inkomsten bij de verschillende aantallen. Deze tabel is nog
niet volledig ingevuld.
tabel 2
We gaan ervan uit dat de maatschappij er in slaagt om het benodigde aantal
mensen uit de goedkoopste categorie over te halen een latere vlucht te nemen.
94pBereken met behulp van tabel 2 hoeveel extra inkomsten de maatschappij naar
verwachting heeft.
opgave 4Printerinkt
De streepjescode is algemeen bekend. Je kunt ook codes maken met
vierkantjes in plaats van streepjes, de zogenaamde blokjescode. Een voorbeeld
zie je in figuur 3. De blokjescode bestaat uit een rand en een vierkant
codegebied. In figuur 4 is het codegebied grijs gekleurd. Ieder vierkantje in het
codegebied kan zwart of wit zijn. De rand laten we verder buiten beschouwing.
De blokjescode wordt dus bepaald door de code in het codegebied.
Een code krijg je door het grijze codegebied helemaal te vullen met witte en
zwarte vierkantjes.
Figuur 3 en figuur 4 bestaan elk uit een codegebied van 5 bij 5 vierkantjes.
In figuur 3 is er sprake van een code met 10 zwarte en 15 witte vierkantjes. Er
zijn natuurlijk meer van dit soort codes mogelijk.
153pBereken het aantal verschillende codes met 10 zwarte en 15 witte vierkantjes.
163pBereken met hoeveel verschillende codes het codegebied uit figuur 4 gevuld kan
worden.
Een printer werkt met inkt die in een vulling zit. Zo’n vulling noemen we een
cartridge.
Een fabrikant vult cartridges en plakt op iedere gevulde cartridge een andere
code. De fabrikant gebruikt daarvoor de blokjescode.
Omdat hij heel veel cartridges vult, is een codegebied van 5 bij 5 niet groot
genoeg. Met een gebied van 6 bij 6 zijn veel meer codes mogelijk, namelijk
ongeveer 69 miljard. Als ook dat niet genoeg is, kan het codegebied nog verder
vergroot worden. Hij wil weten welk codegebied groot genoeg is om alle te
vullen cartridges van een verschillende code te voorzien.
Ga uit van het volgende:
− in 2007 zal hij 435 miljoen cartridges vullen;
− ieder jaar zal het aantal toenemen met 10,5%;
− vanaf 2012 heeft hij de code niet meer nodig, want dan zal hij chips
inbouwen.
174pIs een codegebied van 6 bij 6 voldoende om alle cartridges die in de jaren 2007
tot en met 2011 geproduceerd worden een verschillende code te geven? Licht je
antwoord toe.
Op de cartridges staat dat er 19,0 ml inkt in zit. De hoeveelheid inkt in de
cartridges is (bij benadering) normaal verdeeld met een standaardafwijking van
0,3 ml. De fabrikant heeft de vulmachines zo ingesteld dat de cartridges
gemiddeld 19,5 ml inkt bevatten.
Volgens de Europese regelgeving moet het percentage cartridges dat minder
dan 19,0 ml inkt bevat, kleiner zijn dan 5%.
184pVoldoet de fabrikant aan deze Europese regel? Licht je antwoord toe.
De fabrikant heeft onderzocht dat met een cartridge waarin precies 19,0 ml inkt
zit, 450 pagina’s met standaardtekst geprint kunnen worden. Maar de
hoeveelheid inkt is normaal verdeeld met gemiddelde 19,5 ml. Als er meer dan
19,0 ml inkt in een cartridge zit, kunnen er meer pagina’s standaardtekst mee
worden geprint.
194pBereken met hoeveel procent van de cartridges 470 of meer pagina’s
standaardtekst geprint kunnen worden. Rond je antwoord af op gehele
procenten.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 5Badkamerradiator
Een fabrikant maakt radiatoren voor de verwarming van de badkamer.
In figuur 5 zie je zo’n radiator. De radiator bestaat uit twee rechtopstaande
stalen buizen met een lengte van h cm en tien stalen dwarsbuizen die elk b cm
lang zijn. We laten de dikte van de buizen in deze opgave buiten beschouwing.
De hoogte van de radiator is dus h cm en de breedte b cm.
Voor één radiator wordt altijd in totaal 900 cm aan buizen gebruikt.
De breedte van een radiator is 50 cm.
203pBereken van deze radiator de hoogte in centimeter.
De totale lengte van de twaalf buizen van één radiator moet dus 900 cm zijn.
Een hogere radiator wordt dan smaller, en een lagere radiator wordt breder.
Hoogte h en breedte b zijn dus afhankelijk van elkaar. Er is een lineair verband
tussen h en b.
214pStel een formule op waarin h uitgedrukt is in b.
In figuur 6 is het grijze gebied de verwarmingsoppervlakte van de radiator. Dat is
dus de oppervlakte van de gehele rechthoek.
De verwarmingsoppervlakte V in cm2 wordt gegeven door de formule:
V = −5b2 + 450b, met b de breedte van de radiator in cm
225pStel een formule op voor de afgeleide van V en bereken daarmee de maximale
verwarmingsoppervlakte.
