bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2009, tijdvak 2

opgave 1Verf

Verf is een bijzondere stof. Wanneer je het aanbrengt, is het vloeibaar, na het
drogen is het hard. Verf bestaat namelijk uit vaste stof die opgelost is in een
vloeistof die tijdens het drogen verdampt.
We noemen het aantal vierkante meters dat met een liter verf geschilderd kan
worden het rendement. Het rendement kun je berekenen met de formule:
R = (10 ⋅ V)/(d)
Hierin is:
− R het rendement (in m2/liter);
− V het percentage vaste stof van de verf;
− d de dikte van de verflaag (in micrometer1).
Op een blik verf staat vermeld dat het percentage vaste stof 67 is en dat het
rendement 12 m2/liter is.
13p
Bereken de dikte van de verflaag in micrometer waar de fabrikant blijkbaar van
uitgegaan is.
Verf van topmerken is per liter duurder dan verf van huismerken van
doe-het-zelfzaken. Maar verf van huismerken bevat meestal een kleiner
percentage vaste stof dan verf van topmerken.
Om te weten welke verf het goedkoopste is, moet je dus niet kijken naar de prijs
per liter, maar naar de prijs per vierkante meter aangebrachte verf.
Een huismerkverf kost 21 euro per liter en heeft een percentage vaste stof
van 30. Verf van een topmerk kost 25 euro per liter en heeft een percentage
vaste stof van 40.
We vergelijken van beide merken een verflaag van 50 micrometer dikte.
25p
Onderzoek welke verf het goedkoopste is.
noot 1 1 micrometer = 0,001 millimeter
Voordat je met verven begint, wil je natuurlijk weten hoeveel (blikken) verf je
nodig hebt. Omgekeerd kun je je ook afvragen hoeveel vierkante meter je kunt
verven met één blik verf. Afhankelijk van het soort kwast dat wordt gebruikt,
verlies je tussen de 5 en 10 procent van de verf.
Het verband tussen deze zaken staat in de volgende formule, waarin ook
rekening is gehouden met verlies van verf door gebruik van de kwast:
H = (10 ⋅ A ⋅ d)/(V ⋅ (100 − p))
Hierin is:
− H de hoeveelheid verf (in liter);
− A de oppervlakte (in m2);
− d de dikte van de verflaag (in micrometer);
− V het percentage vaste stof;
− p het verliespercentage bij kwasten; dit varieert van 5 tot 10.
De verf die je wilt gebruiken, wordt verkocht in blikken van 2,5 liter. Op de
blikken staat dat het percentage vaste stof 35 is.
Je wilt met een kwast een verflaag van 70 micrometer dikte aanbrengen.
34p
Bereken hoeveel vierkante meter je met zo’n blik verf maximaal kunt schilderen.
Iemand heeft 15 liter verf gekocht met een percentage vaste stof van 67. Hij
gaat een verflaag van 60 micrometer dikte aanbrengen. Met deze gegevens
ingevuld, luidt de formule dan:
15 = (10 ⋅ A ⋅ 60)/(67 ⋅ (100 − p))
In deze formule is te zien dat de oppervlakte A die hij met deze hoeveelheid kan
verven nu alleen nog afhangt van het verliespercentage p. Het verband tussen A
en p is lineair. Bovenstaande formule is dus te herschrijven tot een formule van
de vorm A = a ⋅ p + b.
44p
Bereken a en b.

opgave 2Comfort Class

Een paar jaar geleden vochten vliegmaatschappijen een ware prijzenoorlog met
elkaar uit. Om maar zo veel mogelijk passagiers te lokken, verlaagden zij de
prijzen van de vliegtickets. Dit ging wel ten koste van de luxe: stoelen werden
iets dichter op elkaar gezet zodat er meer passagiers in een vliegtuig konden,
op sommige vluchten werd er geen drankje of maaltijd geserveerd, enzovoort.
Sommige maatschappijen beginnen langzamerhand weer meer service te
verlenen tegen een iets hogere prijs.
Een voorbeeld daarvan is het aanbieden van meer ruimte tussen de stoelen. We
geven de hoeveelheid ruimte aan met de afstand tussen twee opeenvolgende
stoelleuningen. In figuur 1 is dat 76 cm.
figuur 1
figuur 1
Bij het beantwoorden van de vragen nemen we het volgende aan:
− voor de eerste rij stoelen is net zo veel (been)ruimte als bij de overige rijen;
− de achterste rij stoelen staat tegen de achterwand;
− we houden geen rekening met nooduitgangen en dergelijke.
We nemen aan dat er voor alle stoelen een ticket is verkocht.
Een vliegmaatschappij heeft een vliegtuig met stoelen die 76 cm uit elkaar
staan. Het is een Boeing 767-300ER met 41 rijen en 7 stoelen per rij.
De maatschappij overweegt voor langere vluchten, waar een ticket nu € 229
kost, de stoelen 8 cm verder uit elkaar te zetten. Die stoelen staan dan 84 cm uit
elkaar, maar een ticket kost dan wel € 49 meer. Er zijn dan natuurlijk wel minder
rijen in het toestel.
54p
Bereken hoeveel euro extra dit dan voor de vliegmaatschappij oplevert.
De vliegmaatschappij bekijkt ook een andere mogelijkheid: alleen de voorste
17 rijen worden vervangen door een aantal rijen met 84 cm ruimte en een aantal
rijen met zelfs 113 cm ruimte. Zie figuur 2.
Van de stoelen met 113 cm ruimte komen er maar 6 op een rij te staan; bij de
overige rijen blijven er 7 stoelen per rij.
De stoelen met 76 cm ruimte kosten € 229. De stoelen met 84 cm ruimte kosten
€ 49 meer. De stoelen met 113 cm ruimte zullen nog duurder moeten worden.
figuur 2
Oude
17 rijen met 7 stoelen
opstelling
76 cm
Nieuwe
opstelling
4 rijen met 6
stoelen
113 cm
10 rijen met 7 stoelen
84 cm
De vliegmaatschappij wil weten welke ticketprijs ze moet vragen voor de stoelen
met 113 cm ruimte, zodat de inkomsten bij de nieuwe opstelling minstens gelijk
blijven ten opzichte van de oude opstelling. Zie figuur 2.
64p
Welke ticketprijs moet ze minstens vragen? Licht je antwoord toe.
Om gerieflijk te zitten heb je een ruimte nodig die
figuur 3
74p
minstens gelijk is aan de reikdiepte, zie figuur 3.
Volgens een Belgisch onderzoek dat in 2005
uitgevoerd werd, is de reikdiepte van mensen
tussen 18 en 65 jaar normaal verdeeld met een
gemiddelde van 76,6 cm en een standaardafwijking
van 5,0 cm.
Bereken hoeveel procent van de mensen tussen 18
en 65 jaar door te weinig ruimte niet gerieflijk zit als
de stoelen zo staan dat de reikdiepte 76 cm is.
reikdiepte
Uit datzelfde Belgische onderzoek bleek dat de lichaamslengte van de 18- tot
65-jarigen normaal verdeeld is met een gemiddelde van 170,6 cm en een
standaardafwijking van 9,4 cm.
Voor de 65- tot 80-jarigen is de lichaamslengte ook normaal verdeeld. De
gemiddelde lichaamslengte is 161,1 cm. Verder is bekend dat zo’n 10% van de
65- tot 80-jarigen langer is dan de gemiddelde lengte van de 18- tot 65-jarigen.
84p
Bereken de standaardafwijking van de lichaamslengte van de 65- tot 80-jarigen
in millimeters nauwkeurig.

opgave 3Geursorteerproef

Een geursorteerproef is een test die moet uitwijzen of de geur op een voorwerp afkomstig van een misdrijf gelijk is aan de lichaamsgeur van een verdachte. Uitgangspunt is dat justitie beschikt over het voorwerp waarmee een misdrijf is gepleegd en waarvan het vermoeden bestaat dat de geur van de…

Een geursorteerproef is een test die moet uitwijzen of de geur op een voorwerp afkomstig van een misdrijf gelijk is aan de lichaamsgeur van een verdachte. Uitgangspunt is dat justitie beschikt over het voorwerp waarmee een misdrijf is gepleegd en waarvan het vermoeden bestaat dat de geur van de verdachte eraan hangt. De proef begint als volgt. Een verdachte krijgt enkele minuten lang twee roestvrijstalen buisjes in handen zodat zijn lichaamsgeur erop achterblijft. Vijf figuranten en een controlepersoon doen hetzelfde. Alle buisjes met lichaamsgeur worden in glazen potjes gestopt en gewaarmerkt met een letter. Vervolgens worden de veertien potjes in twee rijen opgesteld, waarbij in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt. In figuur 1 zie je een voorbeeld van zo’n opstelling. figuur A: controlepersoon 1 B, C, D, E, F: figuranten X: verdachte rij 1 7: E 7: 6: F 6: 5: X 5: 4: D 4: 3: A 3: 2: B 2: 1: C 1:

Bereken het aantal verschillende opstellingen (waarbij dus in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt). De geursorteerproef vindt plaats met speciaal getrainde honden. Eerst ruikt de hond aan een voorwerp dat controlepersoon A in handen heeft gehad. Als de hond daarna in…

Bereken het aantal verschillende opstellingen (waarbij dus in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt). De geursorteerproef vindt plaats met speciaal getrainde honden. Eerst ruikt de hond aan een voorwerp dat controlepersoon A in handen heeft gehad. Als de hond daarna in beide rijen potje A aanwijst, is de hond goedgekeurd. In alle andere gevallen wordt de hond afgekeurd.

Toon aan dat een hond die uit iedere rij een willekeurig potje aanwijst (dus zonder te ruiken), een kans van ongeveer 0,98 heeft om afgekeurd te worden.
Als de hond is goedgekeurd, worden de twee potjes A weggehaald en kan de echte proef beginnen. De hond mag nu aan het voorwerp ruiken waarmee het misdrijf is gepleegd, waarna het dier de rijen met de overgebleven zes potjes mag besnuffelen. Als de hond in beide rijen het juiste potje aanwijst,…

Als de hond is goedgekeurd, worden de twee potjes A weggehaald en kan de echte proef beginnen. De hond mag nu aan het voorwerp ruiken waarmee het misdrijf is gepleegd, waarna het dier de rijen met de overgebleven zes potjes mag besnuffelen. Als de hond in beide rijen het juiste potje aanwijst, geldt dit als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd. Bij het willekeurig aanwijzen van potjes is de kans dat de geursorteerproef geldt als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd, gelukkig erg klein. De hond moet dan namelijk eerst de beide potjes A kiezen en daarna de beide potjes X.

Bereken deze kans. In de praktijk gebruikt men slechts 36 verschillende opstellingen om de potjes in twee rijen te zetten. Er zijn 10 van deze 36 opstellingen die ook gebruikt worden bij het trainen van de honden. Dat zijn de zogeheten trainingsopstellingen. Bij het begin van een geursorteerproef…

Bereken deze kans. In de praktijk gebruikt men slechts 36 verschillende opstellingen om de potjes in twee rijen te zetten. Er zijn 10 van deze 36 opstellingen die ook gebruikt worden bij het trainen van de honden. Dat zijn de zogeheten trainingsopstellingen. Bij het begin van een geursorteerproef kiest men willekeurig een van de 36 opstellingen. De kans op een trainingsopstelling is dan 10/36 . Het vermoeden bestaat echter dat men, tegen de regels in, niet altijd willekeurig kiest. Aan de hand van een steekproef van 114 geursorteerproeven stelde een hoogleraar namelijk vast dat er opvallend vaak trainingsopstellingen voorkwamen.

Bij hoeveel van de 114 geursorteerproeven mag je verwachten dat een van de trainingsopstellingen gebruikt wordt? Licht je antwoord toe. In deze steekproef van 114 geursorteerproeven werden deze trainingsopstellingen 45 keer gebruikt. Dat is veel vaker dan je zou verwachten. Neem aan dat je 114 keer…

Bij hoeveel van de 114 geursorteerproeven mag je verwachten dat een van de trainingsopstellingen gebruikt wordt? Licht je antwoord toe. In deze steekproef van 114 geursorteerproeven werden deze trainingsopstellingen 45 keer gebruikt. Dat is veel vaker dan je zou verwachten. Neem aan dat je 114 keer willekeurig een van de 36 opstellingen mag kiezen.

Bereken de kans dat de trainingsopstellingen 45 keer of vaker voorkomen.

opgave 4Sparen

figuur bij de opgave
Er wordt steeds meer gespaard via
internetspaarrekeningen. Meestal is het
rentepercentage hoger dan bij een gewone
spaarrekening, omdat de bank lagere kosten
heeft. Zo hoeft de bank niet bij iedere
storting op de spaarrekening een afschrift
van deze storting per post te versturen.
Naast de hogere rente zijn er ook nog
andere voordelen voor de spaarder. Zo kan
men dagelijks online zien hoe groot het
spaarsaldo1 is. De banken publiceren dus
elke dag het nieuwe spaarsaldo.
Bij een internetspaarrekening is er sprake van 2,75% rente op jaarbasis
(365 dagen). Het spaarsaldo groeit dus exponentieel. Bij dit rentepercentage
komt dat neer op een groeifactor van 1,000074328 per dag.
143p
Toon aan dat de groeifactor per dag inderdaad 1,000074328 is.
Op 31 maart stort iemand 12 500 euro op deze internetspaarrekening. Op 1 april
is zijn spaarsaldo al toegenomen vanwege de rente die hij krijgt.
153p
Bereken zijn spaarsaldo in centen nauwkeurig op 22 april.
Er zijn nogal wat verschillende internetspaarrekeningen. In de rest van deze
opgave bekijken we er twee: een gewone en een met opnamekosten.Deze
laatste geeft wel een iets hogere rente, maar als je het spaarsaldo opneemt,
betaal je een percentage van het opgenomen bedrag aan opnamekosten. Als je
bijvoorbeeld 2500 euro van je rekening haalt en de bank rekent 1%
opnamekosten, dan moet je 25 euro aan opnamekosten betalen. Je krijgt dus
maar 2475 euro uitbetaald.
Je stort 10 000 euro op een gewone internetspaarrekening met een
rentepercentage op jaarbasis van 1,85%. Je stort ook 10 000 euro op een
internetspaarrekening die 1% opnamekosten rekent, maar wel 2,65% rente op
jaarbasis geeft.
Na 6 jaar neem je van beide rekeningen het totale spaarsaldo op.
164p
Bereken bij elk van beide internetspaarrekeningen het bedrag dat je uiteindelijk
in handen krijgt.
noot 1 spaarsaldo = het totale bedrag dat op de spaarrekening staat, inclusief de rente
We gaan nu uit van een gewone internetspaarrekening met een rentepercentage
op jaarbasis van 2,0% en van een internetspaarrekening die 1% opnamekosten
rekent, maar wel 3,0% rente op jaarbasis geeft. Op beide rekeningen storten we
weer 10 000 euro en we nemen het gehele spaarsaldo op na t jaar. Het bedrag
dat we dan ‘in handen’ krijgen kun je berekenen met de onderstaande formules:
Bg = 10000 ⋅1,02t
en B_o = 9900 ⋅ 1,03^t
Hierbij is Bg het bedrag dat men na t jaar in handen krijgt bij de gewone
internetspaarrekening en Bo het bedrag dat men na t jaar in handen krijgt bij de
internetspaarrekening met opnamekosten.
Je gevoel zegt je misschien dat er geen verschil is als je bij beide rekeningen
het totale spaarsaldo na 1 jaar opneemt. Toch is dat wel zo.
Na iets meer dan een jaar sparen zijn de beide bedragen wel hetzelfde.
175p
Bereken hoeveel dagen langer dan een jaar je dan moet sparen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 5Spelletje

In een casino in Brussel kun je een dobbelspel spelen. Het gaat als volgt: − je betaalt 30 euro om het spel een keer te spelen; − je gebruikt een dobbelsteen met op twee van de zijden een 1 en op vier van de zijden een 10; − je mag vier keer gooien met de dobbelsteen; − jouw opbrengst is de som van…

In een casino in Brussel kun je een dobbelspel spelen. Het gaat als volgt: − je betaalt 30 euro om het spel een keer te spelen; − je gebruikt een dobbelsteen met op twee van de zijden een 1 en op vier van de zijden een 10; − je mag vier keer gooien met de dobbelsteen; − jouw opbrengst is de som van de gegooide getallen in euro’s. In een spel kan bijvoorbeeld het volgende gebeuren: je gooit een 10, een 10, een 1 en weer een 10. Je opbrengst is dan 31 euro en je winst dus 1 euro.

Toon met een berekening aan dat de kans op een opbrengst van 31 euro gelijk is aan of 0,3951. In tabel 1 staan de mogelijke winsten van het spel. De bijbehorende kansen zijn voor een deel ook ingevuld. tabel 1 winst (in euro) 10 1 –8 –17 –26     32 24 8 1 kans … 81 81 81 81 Omdat de kans op winst…

Toon met een berekening aan dat de kans op een opbrengst van 31 euro gelijk is aan of 0,3951. In tabel 1 staan de mogelijke winsten van het spel. De bijbehorende kansen zijn voor een deel ook ingevuld. tabel 1 winst (in euro) 10 1 –8 –17 –26     32 24 8 1 kans … 81 81 81 81 Omdat de kans op winst groter is dan de kans op verlies lijkt dit een aantrekkelijk dobbelspel. Maar …, pas op! Het casino hoopt natuurlijk dat je dit spel vaak speelt. En daardoor verdient men dan goed aan je. Daarvoor moet je de verwachtingswaarde maar eens berekenen.

Vul tabel 1 verder in en bereken de verwachtingswaarde van de winst per spel. Op een avond speelt Joran dit spel 50 keer, maar voor zijn gevoel verliest hij erg vaak grote bedragen.
Bereken de kans dat een verlies van 17 euro in 50 spellen elf keer of meer voorkomt. Anne heeft ooit iets eigenaardigs meegemaakt. Ze speelde op een avond het spel 36 keer. Tijdens deze avond had ze alleen maar opbrengsten van 22 en 40 euro en na afloop had ze een opbrengst van 1080 euro (dus geen…

Bereken de kans dat een verlies van 17 euro in 50 spellen elf keer of meer voorkomt. Anne heeft ooit iets eigenaardigs meegemaakt. Ze speelde op een avond het spel 36 keer. Tijdens deze avond had ze alleen maar opbrengsten van 22 en 40 euro en na afloop had ze een opbrengst van 1080 euro (dus geen winst of verlies). Noem A het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro is; dan kun je voor haar situatie de volgende vergelijking afleiden: 18 ⋅ A + 792 = 1080

Leid deze vergelijking af en bereken hiermee het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro was.