Eindexamen wiskunde A havo 2010 tijdvak 2

opgave 1Haaienpak

Bij het wedstrijdzwemmen wordt van alles geprobeerd om de snelheid te

verhogen of de weerstand (ten opzichte van het water) te verlagen.

Bij zwemmen gaat het dus ook om het materiaal van het zwempak (badpak of

zwembroek). Enkele jaren geleden zwom bijna iedereen in een zogenoemd

haaienpak, een zwempak van materiaal dat erg lijkt op de huid van een haai. Zie

de foto’s.

foto’s

In de figuur is het verband tussen snelheid (in m/s) en inspanning (in Newton

(N)) uitgezet, zowel voor zwemmen in een traditioneel zwempak als voor

zwemmen in een haaienpak.

figuur

120 inspanning (N) 100 80 ttrraaddiittiioonneeeell 60 hhaaaaiieennppaakk 40 20 0 0 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 snelheid (m/s)

Duidelijk is te zien dat bij een hogere snelheid een grotere inspanning hoort en

dat de grafiek die bij het haaienpak hoort lager ligt dan de grafiek die bij een

traditioneel zwempak hoort. Voor dezelfde snelheid is in een haaienpak dus

minder inspanning nodig.

De inspanning die nodig is met het traditionele zwempak en met het haaienpak

kun je berekenen met de volgende formules:

I_traditioneel = 23,32 ⋅ v^2,29

I_haaienpak = 21,66 ⋅ v^2,23

Hierin is I de inspanning in Newton (N) en v de snelheid in m/s.

Met behulp van de formules kun je bij een bepaalde snelheid berekenen hoeveel

procent minder inspanning er in een haaienpak nodig is, vergeleken met een

traditioneel zwempak.

14p

Bereken dit percentage bij een snelheid van 1,5 m/s.

In de figuur lijkt het dat in een haaienpak minder inspanning nodig is. Toch is dat

niet altijd het geval, want de grafieken zullen elkaar ergens tussen 0 m/s en

1 m/s snijden.

24p

Bereken voor welke snelheden in het traditionele zwempak een lagere

inspanning nodig is dan in een haaienpak.

Tijdens de Olympische Spelen van Sydney in 2000 zwom Pieter van den

Hoogenband op de 100 meter vrije slag een wereldrecord in een tijd van

47,84 seconden. Pieter droeg toen voor het eerst een haaienpak.

Met behulp van de formules kunnen we berekenen welke tijd Pieter had

gezwommen als hij niet in een haaienpak, maar in een traditioneel zwempak had

gezwommen, en precies dezelfde inspanning had geleverd.

36p

Bereken de tijd die Pieter in een traditioneel zwempak zou hebben gezwommen.

opgave 2Te zwaar voor je lengte?

Te zwaar zijn is een gevaar voor de gezondheid. Je lengte kun je nauwelijks beïnvloeden, maar je gewicht wel. Daarom worden de lengte en het gewicht van een mens met elkaar vergeleken. Dat kan op verschillende manieren. Bij de eerste manier wordt gebruik gemaakt van het gegeven dat lengte en gewicht normaal verdeeld zijn. Bij de tweede manier is er een index opgesteld die aangeeft of iemand te licht, normaal of te zwaar is. In deze opgave bekijken we de lengte en het gewicht van volwassen Nederlandse mannen. De lengte van deze mannen is bij benadering normaal verdeeld. We gaan ervan uit dat ook het gewicht normaal verdeeld is. Gegevens daarvan vind je in de tabel. tabel gemiddelde standaardafwijking lengte (in cm) 182,5 6,2 gewicht (in kg) 79,6 11,2

Bereken hoe lang een man minstens moet zijn om bij de langste 5% te behoren. We definiëren de verhouding V voor een man als volgt: het percentage mannen dat een lager gewicht heeft dan hijzelf V = het percentage mannen dat een kleinere lengte heeft dan hijzelf Er geldt: − Als V tussen 0,25 en 1,25 ligt, heeft hij een normaal gewicht − Als V > 1,25 dan is hij te zwaar voor zijn lengte − Als V < 0,25 dan is hij te licht voor zijn lengte Voor Daan, die 179 cm lang is en 78 kg weegt, geldt V ≈ 1,55. Hij is dus te zwaar voor zijn lengte. Sem is 188 cm lang en weegt 91 kg.

Heeft hij een normaal gewicht? Licht je antwoord toe. Martin heeft een gemiddelde lengte, dus de helft van de mannen is kleiner dan hij. Zijn gewicht daarentegen is hoger dan gemiddeld.

Er is nog een bekend verband tussen lengte en gewicht van mensen, namelijk de Quetelet-Index, tegenwoordig meestal Body Mass Index ( BMI ) genoemd: Hierin is gewicht in kg en lengte in m (en dus niet in cm zoals in de eerdere vragen van deze opgave!). Voor een man met een gemiddeld gewicht (79,6 kg) en een gemiddelde lengte (1,825 m) geldt V = 1, want 50% van de mannen is kleiner en 50% is lichter dan hij. Volgens de formule heeft hij een BMI van 23,9. Er zijn heel veel mannen met V = 1: alle mannen waarbij de twee percentages in de formule van V gelijk zijn. Je kunt je afvragen of al die mannen met V = 1 ook allemaal een BMI van 23,9 hebben. Anders gezegd, of bij een ander percentage dan 50 de uitkomst ook 23,9 is.

opgave 3Gewicht ongeboren kind

Er bestaan methoden om tijdens de zwangerschap het gewicht van het

ongeboren kind te schatten.

Van een baby die bij zijn geboorte 3480 gram woog, is in de figuur het gewicht

vóór de geboorte weergegeven.

figuur

3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 aantal weken zwangerschap

Uit de figuur blijkt dat het gewicht van het ongeboren kind tot week 30 bij

benadering exponentieel toeneemt.

Je kunt aflezen dat het gewicht na 20 weken van de zwangerschap 350 gram is

en na 30 weken 1500 gram.

94p

Bereken het groeipercentage per week in één decimaal nauwkeurig. Ga daarbij

uit van het gewicht na 20 weken en het gewicht na 30 weken.

Voor de eerste tien weken van de zwangerschap is het gewicht niet af te lezen

in de figuur. Toch kunnen we, als we weten dat het gewicht na 20 weken

zwangerschap 350 gram is en als we uitgaan van exponentiële groei met een

groeipercentage van 16% per week, het gewicht ook in de eerste tien weken

berekenen.

103p

Bereken het gewicht na acht weken zwangerschap.

De aanstaande vader wilde graag de gegevens uit de figuur in een formule

verwerken. Hij vond een formule die het gewicht van het ongeboren kind vanaf

de 20e week goed benadert:

G = (3200)/((1 + 63 ⋅ 0,69(t − 20))) + 300

Hierin is G het gewicht van het ongeboren kind in gram en

t het aantal weken van de zwangerschap.

114p

Bereken hoeveel procent het gewicht na 30 weken van de zwangerschap

volgens de formule afwijkt van de 1500 gram uit de figuur.

Volgens de formule wordt het geboortegewicht van 3480 gram veel later bereikt

dan de 280 dagen (= 40 weken) die we in de figuur aflezen.

124p

Bereken hoeveel dagen later.

opgave 4Dobbelspel

Vijf vriendinnen, onder wie Frédérique en Anne, spelen een spelletje met een

dobbelsteen. Ze spelen om geld: iedereen legt één euro in de pot.

Het spelverloop is als volgt:

1e ronde: iedereen gooit één keer met de dobbelsteen • wie een zes gooit stopt • wie geen zes gooit, gaat naar de tweede ronde 2e ronde: wie in de eerste ronde geen zes heeft gegooid, gooit opnieuw • wie nu een zes gooit, stopt ook • wie geen zes gooit, gaat naar de derde ronde 3e ronde: wie in de tweede ronde geen zes heeft gegooid, gooit nog één keer Afloop • de pot wordt gelijkelijk verdeeld tussen alle speelsters die in één van de drie ronden een zes hebben gegooid • als tijdens het spel niemand een zes heeft gegooid, krijgt iedereen haar euro terug

133p

Toon aan dat de kans dat Frédérique pas in de 3e ronde een zes gooit ongeveer

gelijk is aan 0,116.

Anne mag dus mee delen in de pot als zij in één van de drie ronden een zes

heeft gegooid.

144p

Bereken de kans dat Anne mag mee delen in de pot.

Een speelster gooit in één spel dus maximaal drie keer. Na de derde keer is het

spel afgelopen.

In de tabel staat een gedeeltelijk ingevulde kansverdeling van het aantal keer

dat een speelster in een spel gooit.

tabel

Met behulp van deze kansverdeling kun je de verwachtingswaarde berekenen

van het aantal keer dat een speelster in een spel gooit.

155p

Vul de kansverdeling verder in en bereken hiermee deze verwachtingswaarde.

Als tijdens de drie ronden geen van de vijf vriendinnen een zes gooit, krijgt

iedereen haar geld terug. De kans dat iedereen haar geld terug krijgt, is

ongeveer gelijk aan 0,065.

163p

Bereken die kans in 4 decimalen.

De vriendinnen spelen het spelletje tijdens een vakantie elke avond een aantal

keer.

174p

Bereken de kans dat in 45 spelletjes meer dan vier keer iedereen haar geld

terug krijgt.

opgave 5Drinkwater

Duinwaterbedrijf Zuid-Holland is een bedrijf dat de levering van drinkwater

verzorgt. Het bedrijf bepaalt ieder jaar opnieuw de tarieven van het drinkwater

dat zij leveren.

In 2007 werd het tarief per m³ drinkwater verlaagd met € 0,14 ten opzichte van

het tarief van 2006. Het nieuwe tarief in 2007 werd € 1,10. Tegelijkertijd werd

het vastrecht verhoogd van € 47,52 in het jaar 2006 tot € 52,80 in het jaar 2007.

184p

Bereken met deze gegevens bij welk drinkwaterverbruik je in 2007 goedkoper uit

bent dan in 2006.

Hieronder zie je een uitgebreid overzicht van de drinkwatertarieven 2007 van

Duinwaterbedrijf Zuid-Holland.

Drinkwatertarieven 2007 Tarief per m3 Het tarief per m3 daalt ten opzichte van vorig jaar met maar liefst € 0,14 naar € 1,10. Vastrecht Het vastrecht voor woningen stijgt van € 47,52 naar € 52,80 per jaar. Belasting Drinkwaterbedrijven zijn verplicht waterbelasting in rekening te brengen. Voor 2007 is het tarief € 0,149 per m3 drinkwater. Gemeentelijke belasting Sommige gemeenten brengen Duinwaterbedrijf Zuid-Holland belasting in rekening voor het hebben van leidingen in hun gemeentegrond. Wie in één van onderstaande gemeenten woont, betaalt per aansluiting een jaarbijdrage in de vorm van een extra gemeentelijke belasting. Katwijk (inclusief Rijnsburg, Valkenburg) € 21,90 Leiden € 36,10 Leidschendam-Voorburg € 5,50 Zevenhuizen-Moerkapelle € 13,95 btw Alle genoemde bedragen zijn exclusief 6% btw.

In het jaar 2007 heeft de familie Akela 180 m³ water verbruikt. De familie woont

in Leiden.

195p

Hoeveel heeft deze familie voor het hele jaar 2007 in totaal betaald, inclusief

btw?

Lang niet al het drinkwater wordt gebruikt om te drinken. Het meeste drinkwater

wordt gebruikt voor andere zaken, zoals douchen, wassen en het toilet

doorspoelen.

Een gedeelte van het drinkwater wordt gebruikt voor de vaatwasmachine.

Gegevens daarvan staan in de figuur, waarbij geldt dat 1995 overeenkomt met

t = 0.

figuur waterverbruik vaatwasmachine