bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering”. X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot”, − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering”. Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot”, − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”, − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”. noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1Parachutespringen
Bij parachutespringen spring je uit een vliegtuig. Eerst maak je enige tijd
een vrije val. Tijdens die vrije val is de parachute nog niet geopend.
Daarna open je de parachute en land je met een veilige snelheid op de
grond.
Bart springt op een hoogte van 4000 meter uit het vliegtuig en maakt dan
een vrije val. Na 50 seconden is hij op 1500 meter hoogte en stopt de
vrije val, omdat hij dan zijn parachute opent.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur van Bart tijdens zijn vrije val.
Tijdens de vrije val die Bart maakt, wordt hij afgeremd door de lucht.
Daarom duurt de vrije val van Bart langer dan een theoretische vrije val
over dezelfde afstand. Een theoretische vrije val is een val ten gevolge
van de zwaartekracht zonder dat de val door de lucht wordt afgeremd.
Voor de hoogte van een voorwerp tijdens een theoretische vrije val die
begint op een hoogte van 4000 meter geldt de formule:
Hierin is h de hoogte van het voorwerp tijdens de theoretische vrije val
(in meters) en t de tijd (in seconden) vanaf het moment dat de
theoretische vrije val begint.
Er kan berekend worden hoeveel seconden de vrije val van Bart van 4000
meter naar 1500 meter langer duurt dan een theoretische vrije val over
dezelfde afstand.
24pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Voer deze berekening uit. Geef je antwoord in een geheel aantal
seconden.
Figuur 1 is een schets van het globale verloop van een parachutesprong.
Nadat de parachutist uit het vliegtuig gesprongen is, maakt hij een vrije
val. Zodra de parachute geopend is, neemt de snelheid in korte tijd flink
af. Daarna wordt een constante valsnelheid bereikt. Dat wil zeggen: tot
aan de landing heeft de parachutist dezelfde valsnelheid.
figuur 1
De constante valsnelheid op het laatste deel noemen we v (in meters per
seconde). Deze snelheid is afhankelijk van de massa m (in kg) van de
parachutist (in deze opgave is dat altijd inclusief kleding en parachute) en
van de wrijvingscoëfficiënt W van de parachute. Deze wrijvingscoëfficiënt
is een getal dat afhangt van onder andere de grootte, de vorm en het
materiaal van de parachute. Zo geldt bijvoorbeeld: hoe groter de
parachute, hoe groter de wrijvingscoëfficiënt.
Bij een grotere wrijvingscoëfficiënt heb je meer wrijving met de lucht,
waardoor je minder snel valt.
In figuur 2 is voor een aantal waarden van de wrijvingscoëfficiënt W te
zien hoe v afhangt van m. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
We kijken nu naar parachutisten met een massa van 90 kg die sprongen
maken met parachutes met verschillende wrijvingscoëfficiënten W.
33puitwerkbijlageEvenredigheden en machtsverbanden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of de constante
valsnelheid v van deze personen omgekeerd evenredig is met de
wrijvingscoëfficiënt W van de parachutes.
Bij figuur 2 hoort de volgende formule voor de constante valsnelheid:
Hierin is v de constante valsnelheid in meters per seconde, m de massa
van de parachutist in kg en W de wrijvingscoëfficiënt van de parachute.
Tina is een parachutist met een massa van 79 kg. De wrijvingscoëfficiënt
van haar parachute is 45. Met deze parachute maakt zij een sprong.
Precies 34 seconden na de afsprong is zij op 1300 meter hoogte en
bereikt zij haar constante valsnelheid. Op dat moment start het laatste
gedeelte van haar parachutesprong.
43pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken met behulp van formule 2 hoelang haar totale sprong duurt. Geef
je antwoord in een geheel aantal seconden.
We kijken nu naar één bepaalde parachute met een wrijvingscoëfficiënt
van 40. Personen met verschillende massa’s kunnen met deze parachute
gaan springen. Formule 2 kan dan worden herleid tot de volgende vorm:
opgave 2Spoedeisende ritten van ambulances
De ambulancezorg is in Nederland per
regio georganiseerd. Er zijn 25 regio’s.
Elke regio heeft zijn eigen Regionale
Ambulancevoorziening (RAV). Elke RAV
beschikt over een aantal ambulances en
een meldkamer.
Wanneer er een melding bij de
meldkamer binnenkomt, moet men de
mate van urgentie van de melding vaststellen en zorgen voor de inzet van
een ambulance: een ambulancerit. De mate van urgentie kan zijn:
− Hoge urgentie: de benodigde zorg is spoedeisend en er is sprake van
direct levensgevaar voor de patiënt. We noemen dit een A1-rit.
− Lage urgentie: de benodigde zorg is spoedeisend, maar er is geen
direct levensgevaar voor de patiënt. We noemen dit een A2-rit.
− Geen urgentie: de benodigde zorg is niet spoedeisend. We noemen dit
een B-rit.
De responstijd is de tijd tussen het aannemen van de telefoon in de
meldkamer en de aankomst van de ambulance bij de patiënt.
In een rapport over de ambulancezorg in Nederland spelen de volgende
vier statistische variabelen een rol:
− regio
− mate van urgentie (van een melding bij de meldkamer)
− aantal ambulanceritten (per jaar per regio)
− responstijd (van een ambulancerit)
Op de uitwerkbijlage staan deze vier variabelen in een tabel.
64puitwerkbijlageData presenteren en beoordelen 4p
Geef voor elk van de vier variabelen in de tabel op de uitwerkbijlage aan
welke soort variabele het betreft. Zet per variabele precies één kruisje.
In de rest van de opgave kijken we alleen naar A1-ritten en A2-ritten.
Omdat er bij A1-ritten sprake is van direct levensgevaar voor de patiënt,
zijn de responstijden van deze ritten over het algemeen korter dan de
responstijden van de A2-ritten.
In de figuur staan de relatieve cumulatieve frequentiepolygonen van de
responstijden van de A1-ritten en die van de responstijden van de
A2-ritten in 2014. De figuur staat twee keer op de uitwerkbijlage vergroot
afgedrukt. In de figuur is niet aangegeven welke polygoon bij de A1-ritten
hoort en welke bij de A2-ritten.
figuur
73puitwerkbijlageCentrum, spreiding en verdelingen 2p · Data presenteren en beoordelen 1p
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de
interkwartielafstand van de responstijd van de A1-ritten. Geef hierbij aan
welke polygoon je gebruikt hebt en licht je keuze toe.
Het gedeelte van de rechter polygoon waarbij de responstijden tussen
18 en 30 minuten liggen, kan benaderd worden met de grafiek van een
formule van de volgende vorm:
Hierin is P het cumulatieve percentage, t de responstijd in minuten en
a een getal.
opgave 3B-papier in een enveloppe
Papier is er in verschillende soorten en maten. Een internationaal gebruikt
formaat is het B-formaat. Bij dit formaat is een vel papier met een breedte
van 1000 mm en een hoogte van 1414 mm als basisformaat gekozen. Dit
is het zogenaamde B0-formaat. Als een vel papier met B0-formaat
gehalveerd wordt, ontstaat een vel papier in B1-formaat, waarvan de
afmetingen 707 mm bij 1000 mm zijn. Opnieuw halveren geeft een vel
papier in B2-formaat, dat gehalveerd een vel papier in B3-formaat
oplevert, enzovoorts. Zie de figuur.
figuur
Het kleinste B-formaat dat gebruikt wordt, is het B10-formaat.
93pExponentiële functies en groei 3p
Bereken de afmetingen van een vel papier in B10-formaat. Geef je
antwoord in een geheel aantal mm.
In de rest van deze opgave kijken we naar de oppervlakte van papier en
enveloppen. Het gaat dan telkens om de oppervlakte van de voorkant. Er
geldt: oppervlakte = breedte × hoogte.
De oppervlakte van een vel papier in B4-formaat is 88 375 mm2. Om zo’n
vel papier ongevouwen te versturen is een speciaal formaat enveloppe
ontwikkeld, de zogenaamde EB4-enveloppe.
Een enveloppe in EB4-formaat heeft een breedte b van 262 mm en een
hoogte h van 371 mm.
De oppervlakte van deze enveloppe is groter dan de oppervlakte van een
vel papier in B4-formaat.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel procent groter. Geef je antwoord in gehele procenten.
Voor enveloppen EBn, waarin n het formaatnummer is, bestaan er
formules voor de breedte en de hoogte. Voor de hoogte h in mm geldt de
volgende formule:
113pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer met deze formule, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken
of een schets/tekening van de grafiek van h te maken, of de hoogte van
de enveloppe kleiner of groter wordt als het formaatnummer groter wordt.
Voor de breedte b in mm van enveloppen EBn, waarin n het
formaatnummer is, geldt de volgende formule:
Hoe groter het formaatnummer, des te kleiner is de breedte van de
enveloppe.
opgave 4Recordtijden van schaatssters
In deze opgave vergelijken we de prestaties van schaatssters, ook al
hebben die schaatssters nooit in hetzelfde toernooi geschaatst. Hiervoor
maken we gebruik van de persoonlijke recordtijden van schaatssters op
zes verschillende afstanden, namelijk de 500, 1000, 1500, 3000, 5000 en
10 000 meter. In deze opgave beperken we ons tot 86 topschaatssters en
hun persoonlijke recordtijden zoals die begin 2016 bekend waren.
De persoonlijke recordtijden van deze 86 schaatssters op de 500 meter
en op de 1000 meter zijn weergegeven in een spreidingsdiagram. Zie
figuur 1. Elke stip geeft één schaatsster weer. Deze figuur staat ook twee
keer op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Bij het spreidingsdiagram worden de volgende uitspraken gedaan over de
resultaten van deze 86 schaatssters:
a Meer dan 90% van de schaatssters heeft de 500 meter afgelegd in
minder dan 45,0 seconden.
b De mediaan van de tijd op de 1000 meter is ongeveer 81,5 seconden.
c De drie snelste schaatssters op de 500 meter zijn ook de drie snelste
schaatssters op de 1000 meter.
136puitwerkbijlageCentrum, spreiding en verdelingen 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek van elke uitspraak of deze juist is of onjuist. Je kunt
gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.
Om de tijden op verschillende afstanden met elkaar te kunnen vergelijken,
wordt elke tijd omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter.
Stel bijvoorbeeld dat een schaatsster 15 minuten en 20,4 seconden over
de 10 000 meter doet. Gemiddeld doet zij dan over 500 meter
seconden.
Voor de vier langste afstanden worden de persoonlijke recordtijden van
alle 86 schaatssters omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter.
Deze omgerekende tijden zijn weergegeven in boxplots. Zie figuur 2.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2 omgerekende tijd (gemiddelde tijd per 500 meter)
Als je de boxplots onderling vergelijkt, dan kun je met behulp van het
formuleblad concluderen dat er een groot verschil is tussen de
omgerekende tijden op de 1500 meter en die op de 10 000 meter. Er zijn
meer afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil.
143puitwerkbijlageStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p
Noem elk tweetal afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil
tussen de omgerekende tijden. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur
op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord toe.
In de tabel staan de persoonlijke recordtijden van twee van de
86 schaatssters. Zo zie je dat de persoonlijke recordtijd op de 1000 meter
van Martina Sáblíková 1:15,86 is. Zij deed er dus 1 minuut, 15 seconden
en 86 honderdsten van een seconde over.
tabel
Martina Sáblíková Caroline Farestveit recordtijd op de 500 meter in min:sec 0:39,23 0:44,83 recordtijd op de 1000 meter in min:sec 1:15,86 1:30,03 recordtijd op de 1500 meter in min:sec 1:53,44 2:17,08 recordtijd op de 3000 meter in min:sec 3:55,10 4:42,34 recordtijd op de 5000 meter in min:sec 6:42,66 8:06,64 recordtijd op de 10 000 meter in min:sec 13:48,33 16:54,71
Sáblíková wordt gezien als een van de beste schaatssters ooit. Begin
2016 was zowel haar persoonlijke recordtijd op de 5000 meter als haar
persoonlijke recordtijd op de 10 000 meter de beste van de 86
schaatssters.
Met behulp van de tabel, figuur 1 en figuur 2 kun je ook voor andere
afstanden onderzoeken of Sáblíková’s persoonlijke recordtijden de beste
waren van deze 86 schaatssters.
153puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek dit zowel voor de 500 meter als voor de 1500 meter. Je kunt
hierbij gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.
In de tabel staan ook de persoonlijke recordtijden van Caroline Farestveit.
Een fan van Farestveit doet de volgende uitspraak: “Als je Farestveit
vergelijkt met de 85 andere schaatssters, dan presteert Farestveit beter
op de 10 000 meter dan op de 5000 meter.”
opgave 6Woningtekort
In het rapport ‘Cijfers over wonen en bouwen 2016’ van het Ministerie van
Binnenlandse Zaken staan voorspellingen van de woningbehoefte en de
woningvoorraad in Nederland.
Volgens deze voorspellingen zal in 2025 de woningbehoefte gelijk zijn
aan 8 334 000 woningen.
De woningvoorraad is in 2025 gelijk aan 8 148 000 woningen.
Er is in 2025 dus een woningtekort van 186 000 woningen. Als je berekent
hoe groot dit tekort is als percentage van de woningvoorraad, dan krijg je
het relatieve woningtekort. In 2025 is dit gelijk aan 2,3%, want:
In de tabel zie je ook voorspellingen voor het jaar 2030.
tabel
Veronderstel dat men het woningtekort wil terugdringen, zodat in het jaar
2040 het relatieve woningtekort 1% is.
Neem het volgende aan:
− De woningbehoefte groeit van 2025 tot 2030 jaarlijks met een vast
percentage. Na 2030 blijft dit met hetzelfde percentage doorgroeien.
− De woningvoorraad neemt vanaf 2030 toe met een constant aantal
woningen per jaar.
218pExponentiële functies en groei 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Lineaire functies 2p · +1
Bereken met welk constant aantal woningen per jaar de woningvoorraad
vanaf 2030 moet toenemen zodat het relatieve woningtekort in 2040 gelijk
is aan 1%. Geef je antwoord in gehele duizendtallen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
