opgave 1Kogelstoten
Kogelstoten is een onderdeel van de atletiek foto waarbij het doel is een zware kogel volgens een speciale techniek zover mogelijk weg te werpen; zie foto. Omdat dit veel kracht vereist, hebben kogelstoters een stevig postuur. Voor jonge ongetrainde mensen is vooral het lichaamsgewicht van invloed op de prestatie. Hoe zwaarder de persoon is, hoe verder er gegooid kan worden. Neem bijvoorbeeld de volgende resultaten van twee deelnemers aan een sportdag (zie tabel 1). Deelnemer André Bernard Gewicht (kg) 52,2 74,1 Afstand (m) 12,62 16,37 tabel 1 Bernard heeft verder gegooid dan André, maar hij is ook zwaarder. Om hun prestaties beter te kunnen vergelijken, rekent men de gegooide afstand om in een score. Daarvoor gebruikt men de volgende formule: S = A – k ⋅ ( G – 50) met A = de gegooide afstand in meters G = het lichaamsgewicht van de kogelstoter in kilogrammen k = een correctiefactor, te bepalen door de wedstrijdjury S = de score De resultaten van de omzetting van afstanden in scores met k = 0,1 voor André en Bernard staan in tabel 2. tabel 2 Deelnemer André Bernard Score bij k = 0,1 12,40 13,96
opgave 2Geluidssnelheid in de atmosfeer
Men gaat er vaak vanuit dat de geluidssnelheid in lucht 340 meter per seconde is. Dat is niet
helemaal waar. In werkelijkheid hangt de snelheid van het geluid af van de temperatuur. Bij
windstil weer wordt het verband bij benadering weergegeven door de volgende formule:
Hierbij is V de snelheid van het geluid in meter per seconde bij een temperatuur van
T graden Celsius.
In de twintigste eeuw varieerde de temperatuur in Nederland van –27,4 °C tot 38,6 °C.
De laagste temperatuur van –27,4 °C werd op 27 januari 1942 in Winterswijk gemeten.
De hoogste temperatuur van 38,6 °C werd op 23 augustus 1944 in Warnsveld bereikt.
Neem aan dat de temperaturen gemeten zijn bij windstil weer.
53p
Bereken het verschil van de geluidssnelheden bij deze twee temperaturen.
Bij de volgende vragen gaan we steeds uit van een temperatuur van 15 °C op 0 km hoogte.
In de atmosfeer neemt de temperatuur tot op 10 km hoogte lineair af tot −50 °C volgens de
Als deze formule wordt gecombineerd met de formule
V = 331
kan worden
afgeleid dat voor het verband tussen V en h bij benadering de volgende formule geldt:
V = 331
63p
Leid deze formule af.
Een grote afstand, zoals bijvoorbeeld Amsterdam - Toronto, moet met een
passagiersvliegtuig snel afgelegd kunnen worden. Dat kan alleen als het vliegtuig hoog
vliegt omdat dan de luchtweerstand klein is. Voor passagiersvliegtuigen zoals de
Boeing 747 mag de snelheid echter hoogstens 90% van de geluidssnelheid zijn.
Een Boeing 747 wil een snelheid maken van 975 km per uur (270,8 m/s).
74p
Bereken tot op welke hoogte dit vliegtuig kan vliegen.
Geef het antwoord in kilometers afgerond op één decimaal.
opgave 3Een Afrikaans spelletje
Ans en Bert spelen een Afrikaans spelletje op figuur 1 een bord met acht ringen (zie figuur 1). Ze hebben beiden een blokje en verder is er nog een steentje. Bij het begin staan beide blokjes buiten het speelbord. Bert neemt, zonder dat Ans dit ziet, het steentje in een van beide handen en Ans moet raden in welke hand het steentje zit (zie foto). De volgende spelregels gelden: 1 Als Ans de eerste keer goed raadt, mag zij haar blokje in ring 1 zetten en mag ze opnieuw raden. Zolang ze goed blijft raden schuift ze telkens haar blokje op het speelbord een ring verder. 2 Als Ans fout raadt, wordt er geen blokje verschoven. Ans krijgt dan het steentje en Bert moet raden. 3 Voor Bert geldt dan hetzelfde als in regel 1 en 2 voor Ans. 4 Bij de volgende beurten van de spelers gaat het spel verder vanuit de plaats waar hun blokje bij een vorige beurt foto gekomen was. 5 Degene die in ring 8 is aangekomen en vervolgens goed raadt, schuift het blokje door naar het centrum en is winnaar. Het spel is dan afgelopen. Ga er bij de volgende vragen van uit dat Ans begint en dat beide spelers een kans van ½ hebben om goed te raden. Het is mogelijk dat Ans het spel wint zonder dat Bert aan de beurt komt om te raden.
→ Bereken de kans op dit spelverloop. Rond je antwoord af op drie decimalen. Als Ans goed raadt, noteren we A; als ze fout raadt, noteren we a. Als Bert goed raadt, noteren we B; als hij fout raadt, noteren we b. Nadat er in totaal vier keer (door Ans en Bert samen) geraden is, kan de uitkomst bijvoorbeeld AAAA zijn. Het blokje van Ans ligt dan in ring 4 en dat van Bert ligt nog buiten het bord.
Na in totaal drie keer raden, waarbij Ans begint, zijn er verschillende situaties mogelijk. Hieronder is een begin gemaakt met een tabel waarin deze verschillende situaties zijn weergegeven samen met de stand die dit geeft op het speelbord. Deze tabel moet nog worden aangevuld met een aantal rijen. Verloop Ringnummer blokje Ans Ringnummer blokje Bert AAA 3 - AAa 2 - tabel 3
opgave 5Zeehonden
In een artikel van 19 mei 2001 in de Volkskrant wordt de ontwikkeling van de
zeehondenpopulatie in de Nederlandse Waddenzee beschreven.
De grafiek in figuur 4 komt uit dit artikel.
Getelde zeehonden in de Nederlandse Waddenzee
Geschatte ontwikkeling op basis van de groei in de afgelopen twee jaren: Aantal gewone 17% per jaar zeehonden 3500 3000 2500 Duitse zeehonden doen Nederlandse populatie toenemen 1961: 2000 Einde jacht Vervuiling met op zeehonden PCB's en DDT 1500 verslechteren 1988 - 1989: conditie zeehond Virusepidemie 1000 500 0 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 jaar
Bekijk de volgende periodes van 10 jaar: 1960−1970, 1970−1980, 1980−1990, 1990−2000.
144p
Teken een toenamendiagram van het aantal getelde zeehonden bij deze perioden.
In het krantenartikel wordt gemeld dat er in 2000 en 2001 sprake is van een populatiegroei
van 17 procent per jaar. Neem bij de volgende twee vragen aan dat dit juist is.
Aan het eind van 2001 waren er ongeveer 3900 zeehonden.
153p
Bereken het aantal zeehonden aan het eind van 1999.
In hetzelfde krantenartikel wordt de volgende conclusie getrokken:
Bij voortzetting van de huidige exponentiële groei zal de maximale capaciteit van de
Waddenzee snel bereikt zijn. De maximale capaciteit van de Waddenzee is 16000.
163p
Bereken in welk jaar deze maximale capaciteit bereikt wordt.
Het wiskundig model waarin de zeehondenpopulatie met een vast percentage per jaar zal
blijven groeien is onwaarschijnlijk.
Daarom wordt een ander wiskundig model voor het aantal zeehonden voorgesteld.
Dit andere model wordt gegeven door de formule:
A =
Hierin is A het aantal zeehonden en t de tijd in jaren vanaf eind 2000.
Het laatste model stemt vrijwel overeen met de ongeveer 3900 zeehonden die eind 2001
geteld werden.
173p
Onderzoek of in dit laatste model het jaarlijkse groeipercentage van 2001 naar 2002 ook bij
benadering gelijk is aan 17%.
opgave 6De Amerikaanse presidentsverkiezingen in 2000
De belangrijkste presidentskandidaten in de
VS in 2000 waren George W. Bush en
Al Gore. Daarnaast was er een aantal minder
bekende kandidaten.
Landelijk bleken Bush en Gore het bij de
kiezers bijna even goed te doen. In de staat
Florida met meer dan zes miljoen stemgerechtigden, is uiteindelijk de beslissing gevallen.
Na tellen en hertellen van de stembiljetten bleek het verschil slechts 300 stemmen te zijn in
het voordeel van Bush. We gaan in deze opgave onderzoeken hoe toevallig zo'n gebeurtenis
is.
Neem in deze opgave aan dat Bush en Gore de enige kandidaten waren. Neem verder aan
dat elke stem die wordt uitgebracht met 50% kans van een aanhanger van Bush is en met
50% kans van een aanhanger van Gore.
Stel dat er in Florida slechts vier mensen stemden.
184p
Bereken de kans dat Bush dan precies twee stemmen kreeg.
We gaan nu uit van een onbekend aantal uitgebrachte stemmen.
194p
Leg uit dat bij een oneven aantal uitgebrachte stemmen de kans dat Bush wint gelijk is aan
50%.
We simuleren de verkiezingen voor 60 kiezers door 60 keer een zuivere munt op te gooien.
Bij deze munt staat op de ene kant een afbeelding van Bush en op de andere kant een
afbeelding van Gore.
205p
Bereken de kans dat de afbeelding van Bush 29, 30 of 31 keer bovenkomt. Rond je
antwoord af op vier decimalen.
We laten een computer nu precies zes miljoen worpen met de munt nabootsen.
Wiskundigen hebben aangetoond dat bij deze simulatie het aantal stemmen voor Bush bij
benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3 000 000 en een
standaardafwijking van 1225 stemmen.
215p
Bereken de kans dat Bush in deze simulatie wint met hoogstens 300 stemmen verschil.
Bereken met behulp van differentiëren het
Onderzoek of er ook twee lijnen zijn met
