opgave 2Zonjaar
Het jaar 2003 was volgens het KNMI het zonnigste jaar tot dan toe sinds het
begin van de metingen in 1901. Alleen de maand mei was in 2003 niet zo
zonnig. Gemiddeld heeft de maand mei 204 uren zonneschijn, terwijl er in mei
2003 slechts 192 uren zonneschijn waren.
Ga ervan uit dat het totale aantal uren zonneschijn in de maand mei normaal
verdeeld is met een gemiddelde van 204 uur en een standaardafwijking van
51 uur.
53pBereken de kans dat er in een willekeurige maand mei hoogstens 192 uren
zonneschijn gemeten worden.
In tabel 1 zie je de top tien van de zonnigste jaren in De Bilt.
tabel 1
Tabel 1 geldt voor de periode van 1901 tot en met 2003. Met behulp van deze
tabel kun je schatten dat de kans dat het aantal uren zonneschijn per jaar
minstens 1730 bedraagt, ongeveer 8,7% is.
63pToon dit aan.
Het gemiddelde aantal uren zonneschijn per jaar over de genoemde periode is
voor De Bilt gelijk aan 1524. We gaan ervan uit dat het aantal uren zonneschijn
per jaar normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1524. Uitgaande van de
kans van 8,7% op minstens 1730 uren zonneschijn per jaar is de
standaardafwijking van deze normale verdeling te berekenen.
74pBereken deze standaardafwijking. Rond je antwoord af op hele uren.
Het jaar 2003 was niet alleen erg zonnig, maar ook warm. In figuur 1 zie je de
gemiddelde temperatuur per jaar in De Bilt vanaf 1900 tot en met 2003.
figuur 1
Bij de volgende vraag is T de gemiddelde temperatuur in een jaar.
In figuur 1 is te zien dat de waarden van T de laatste jaren behoorlijk hoog zijn:
het jaar 2003 is het zevende warme jaar op rij met een gemiddelde temperatuur
van 10,3 ºC of meer. Velen denken dat dit geen toeval is. Daarvoor is de kans
op zeven warme jaren op rij te klein.
Bij de volgende vraag berekenen we hoe klein de kans op zeven warme jaren op
rij is in het geval dat er sprake zou zijn van toeval.
Op dit moment gebruikt het KNMI als uitgangspunt de gegevens van de jaren
1971 tot en met 2000. In deze periode was T gemiddeld 9,8 ºC met een
standaardafwijking van 0,7 ºC. We nemen voor de komende jaren aan dat T bij
benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 9,8 ºC en een
standaardafwijking van 0,7 ºC.
85pBereken de kans dat dan in elk van de komende zeven jaren de waarde van T
10,3 ºC of meer is.
opgave 3Wielrenners en training
Voor wielrenners is het belangrijk om te weten welk
vermogen ze bij een bepaalde weerstand bij het fietsen
kunnen leveren. Om dit te onderzoeken, wordt een
wielrenner in een testruimte op een speciale fiets gezet.
Zie foto 1. De weerstand kan handmatig worden
ingesteld. De wielrenner probeert vervolgens bij deze
weerstand zo veel mogelijk vermogen te leveren. Het
blijkt dat het vermogen dat deze wielrenner op deze manier levert, afhangt van
de weerstand volgens de volgende formule:
met
10 ≤ W ≤ 200Hierin is
het vermogen dat deze wielrenner levert en
W de weerstand.
93pBereken op algebraïsche wijze bij welke weerstand het door deze wielrenner
geleverde vermogen maximaal is.
Voor een tweede wielrenner geldt voor het verband tussen de weerstand en het
vermogen bij hetzelfde onderzoek de volgende formule:
met
10 ≤ W ≤ 200Hierin is
het door de tweede wielrenner geleverde vermogen.
Bij een bepaalde weerstand is het door beide wielrenners geleverde vermogen
gelijk.
106pBereken op algebraïsche wijze het vermogen dat in dit geval geleverd wordt.
Een belangrijk onderdeel binnen de
trainingen is de krachttraining op apparaten,
waarbij de zwaarte van de oefening kan
worden ingesteld met gewichten. De
maximale belasting in kilogram waarmee
een atleet een bepaalde oefening nog net
één keer kan uitvoeren, noemen we de
1RM-waarde van die atleet bij die oefening.
Meestal wordt bij krachttraining een
oefening meerdere malen uitgevoerd. De
belasting die daarbij gebruikt wordt, is
natuurlijk minder dan de 1RM-waarde. Er
bestaat een formule die het verband
beschrijft tussen het aantal keer A dat de
oefening uitgevoerd wordt en het
Een atleet heeft kortgeleden vastgesteld dat hij bij een bepaalde oefening een
gewicht van 140 kg nog net één maal omhoog kan krijgen. Voor deze atleet
geldt dus dat de 1RM-waarde bij deze oefening 140 kg is. Hij wil trainen met
series waarin de oefening 12 keer uitgevoerd wordt. Omdat het apparaat slechts
per 10 kg instelbaar is, zal hij kiezen voor een belasting van 90 kg.
113pBereken het gewicht waarvoor hij had moeten kiezen als het apparaat tot op de
kilogram nauwkeurig instelbaar zou zijn geweest.
Na verloop van tijd neemt door de training de 1RM-waarde van deze persoon bij
deze oefening met 10% toe. Hij blijft echter de oefening met 90 kg uitvoeren.
126pBereken hoeveel keer deze persoon volgens de formule de oefening moet
uitvoeren.
opgave 4Set
Set is een gezelschapsspel afkomstig uit de Verenigde Staten. Het wordt
gespeeld met kaarten. In figuur 1 zijn vier kaarten uit dit spel te zien.
figuur 1
Wat op een kaart te zien is, kan met vier kenmerken worden omschreven. Zie
tabel 1.
tabel 1
In het spel Set komen alle mogelijke kaarten die met deze vier kenmerken
gemaakt kunnen worden precies één keer voor. Alle kaarten zijn dus
verschillend.
Dit betekent dat er 81 kaarten in het spel zitten.
132pLaat dit met een berekening zien.
figuur 2
Bij het begin van het spel worden willekeurig twaalf kaarten uit het totaal
getrokken en op tafel neergelegd. Daarna worden ze in drie rijen van vier
kaarten gelegd. Zie figuur 2.
De twaalf kaarten kunnen op verschillende manieren in drie rijen van vier
kaarten op tafel gelegd worden.
143pBereken op hoeveel manieren dit kan.
In elk stadium van het spel is het de bedoeling om te zien of er bij de kaarten die
op tafel liggen een bijzonder drietal kaarten is dat een SET vormt.
(Voor de beantwoording van de volgende vragen is het niet van belang, maar
voor de volledigheid geven we hier de definitie van een SET: een SET wordt
gevormd door een drietal kaarten waarop elk kenmerk óf op alle drie de kaarten
hetzelfde is óf op alle drie de kaarten verschillend.)
Het blijkt dat er 1080 verschillende SET’s mogelijk zijn bij dit spel.
Iemand trekt willekeurig drie kaarten uit het spel met 81 kaarten.
154pBereken de kans dat deze drie kaarten een SET vormen. Rond je antwoord af
op drie decimalen.
In twaalf kaarten zit vrijwel altijd een SET. Er is aangetoond dat de kans op één
of meer SET’s in twaalf kaarten gelijk is aan
.
Het spel wordt 100 keer gespeeld. Bij elk spel wordt er gelet op de beginsituatie
met de twaalf kaarten die op tafel liggen.
163pBereken de kans dat bij deze 100 beginsituaties er minstens 95 keer één of
meer SET’s aanwezig zijn. Rond je antwoord af op drie decimalen.
opgave 5Diergemeenschappen in Afrika
Er is veel onderzoek gedaan naar de samenstelling van grazende
diergemeenschappen in de natuurparken van Afrika. Dergelijke grazende
diergemeenschappen worden gilden genoemd.
Onderzoek heeft zich onder andere gericht op de gewichten van de diersoorten
binnen een gilde. Bij dit onderzoek heeft men de soorten binnen een gilde op
volgorde gezet van gemiddeld lichaamsgewicht. De lichtste soort heeft men
rangnummer 0 gegeven. De lichtste soort noemen we daarom soort 0, de op een
na lichtste soort noemen we soort 1, enzovoort. Je kunt nu de gewichten van
elkaar opvolgende soorten vergelijken.
Dit vergelijken gebeurt via de zogeheten gewichtsratio. Dat is de verhouding
tussen het (gemiddelde) gewicht van volwassen dieren van twee elkaar
opvolgende soorten. Als bijvoorbeeld soort 7 een gewicht heeft dat 1,8 keer zo
groot is als dat van soort 6, dan is de gewichtsratio tussen deze twee soorten
gelijk aan 1,8. Uit dergelijk onderzoek is nu gebleken:
Binnen elk gilde is de gewichtsratio tussen twee elkaar opvolgende diersoorten
vrijwel constant.
Dit betekent dat in het gilde van het voorbeeld hierboven geldt: soort 1 is
1,8 keer zo zwaar als soort 0, soort 2 is 1,8 keer zo zwaar als soort 1,
enzovoort.
Neem aan dat in een ander gilde de gewichtsratio gelijk is aan 1,35 en dat
soort 3 een gewicht heeft van 7,8 kg.
173pBereken het gewicht van de lichtste soort in dit gilde.
Niet alleen binnen een bepaald natuurgebied is er sprake is van een vrijwel
constante gewichtsratio, maar dit geldt ook als men alle grazende diersoorten in
geheel Afrika als één diergemeenschap beschouwt. Omdat er in totaal dan meer
diersoorten zijn, zal de gewichtsratio voor heel Afrika kleiner zijn dan die voor de
afzonderlijke gilden. In tabel 1 staan de gewichten van drie diersoorten met
daarbij hun rangnummer in de gewichtsvolgorde van soorten in heel Afrika. Bij
de volgende vragen wordt ervan uitgegaan dat de gewichtsratio tussen alle
elkaar opvolgende soorten constant is.
tabel 1
183pBereken de gewichtsratio voor heel Afrika met behulp van de gegevens in de
tabel voor hartebeest en Kaapse buffel in twee decimalen nauwkeurig.
Voor diersoorten zwaarder dan de Kaapse buffel blijkt de gewichtsratio niet meer
constant te zijn. Onderzoekers denken dat dit komt doordat lang geleden veel
zware soorten zijn uitgestorven. De zwaarste grazersoort is momenteel de olifant
met rangnummer 95 en een gewicht van 3550 kg.
Neem aan dat vroeger de gewichtsratio in Afrika voor alle elkaar opvolgende
soorten constant gelijk aan 1,06 is geweest.
194pOnderzoek hoeveel soorten in de rangschikking tussen de Kaapse buffel en de
olifant sindsdien zijn uitgestorven.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 6Rad van fortuin
In de kantine van een sportvereniging
staat een rad van fortuin. Dit is een ronde schijf
waarop langs de rand de getallen 1 tot en met 120
staan. Deze schijf kan gedraaid worden. Als de
schijf tot stilstand gekomen is, wordt één van de
120 getallen door een pijl aangewezen.
Zie figuur 1.
Elk van de 120 getallen heeft een even grote kans
om door de pijl aangewezen te worden.
Tijdens een gezellige avond van de sportvereniging
wordt met het rad van fortuin een spel gespeeld. Hierbij gelden de volgende
regels:
− Voor elke 50 eurocent die een deelnemer betaalt, krijgt hij door een
computer aselect een van de getallen 1 tot en met 120 toegewezen.
− De computer kan meerdere keren eenzelfde getal toewijzen.
− Het getal dat door de pijl van het rad van fortuin wordt aangewezen, is het
winnende getal. Wie dat getal heeft, wint een prijs.
Jan doet mee. Hij betaalt € 1,50 en krijgt daarvoor drie keer aselect een getal
van de computer.
Hij heeft drie verschillende getallen gekregen.
203pBereken hoeveel mogelijkheden er voor deze drie getallen zijn.
Ada en Brecht betalen elk 50 eurocent en krijgen allebei één getal toegewezen.
213pBereken exact de kans dat ze allebei het winnende getal hebben.
Aart, Bert en Carmen betalen alle drie 50 eurocent en ze krijgen vervolgens alle
drie een getal toegewezen.
224pBereken de kans dat ze alle drie een ander getal krijgen.
