opgave 3Twee transformaties
De functie
f wordt gegeven door
.
De lijn
l heeft vergelijking
.
Lijn l wordt c eenheden omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat de lijn m
die een raaklijn is aan de grafiek van f. Zie figuur 1.
figuur 1
58pKettingregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · +2exact
Bereken exact met behulp van differentiëren de waarde van c.
Lijn l heeft twee punten gemeenschappelijk met de grafiek van f.
Door lijn l te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor p
ontstaat een nieuwe lijn. Er is één waarde van p met p > 0 waarvoor die
nieuwe lijn precies één punt gemeenschappelijk heeft met de grafiek
van f. Deze situatie is weergegeven in figuur 2.
figuur 2
opgave 4Bouwkraan
In de zesde eeuw voor Christus vonden de Grieken de bouwkraan uit,
waarmee je zware voorwerpen kunt optakelen.
In de figuren 1a tot en met 1d zie je dat een blok wordt opgetakeld en
2,5 meter verderop op een stapel blokken wordt neergelaten.
figuur 1
De kraan bestaat uit:
− een paal RQ van 9 meter, die kan scharnieren om R;
− een kabel PQ met een lengte die aangepast kan worden;
− een kabel recht omlaag vanuit Q met een lengte die aangepast kan
worden.
Verder geldt:
− de afstand tussen P en R is 5,5 meter;
− het te verplaatsen blok hangt aan de kabel ergens onder Q.
De verplaatsing gaat als volgt:
− Het blok in figuur 1a takelt men omhoog door de kabel onder Q korter
te maken. Hierdoor ontstaat de situatie van figuur 1b.
− Vervolgens maakt men kabel PQ langer, waardoor paal RQ linksom
scharniert en het blok naar links beweegt. Zo ontstaat de situatie van
figuur 1c.
− Ten slotte laat men het blok recht omlaag zakken door de kabel
onder Q weer langer te maken. Zo ontstaat de situatie van figuur 1d.
In figuur 2 zie je de situatie van de figuren 1a en 1b schematisch
weergegeven. Het punt op de grond recht onder punt Q, noemen we S.
Ergens op lijnstuk QS bevindt zich het midden van het blok.
figuur 2 beginsituatie
Als de bouwkraan zich in de situatie van de figuren 1a en 1b bevindt, is
de lengte van
PQ gelijk aan 12 meter.
is dan afgerond 71 graden.
Deze hoek kan nauwkeuriger berekend worden.
74pSinusregel en cosinusregel 4pexact
Bereken algebraïsch
in graden. Geef je eindantwoord in één
decimaal.
Zoals in figuur 1 is te zien, moet het blok 2,5 meter naar links worden
verplaatst. Kabel PQ moet dus zo veel langer worden dat de afstand
tussen R en S met 2,5 meter toeneemt.
Figuur 2, de beginsituatie, staat ook op de uitwerkbijlage.
84puitwerkbijlagePythagoras, sinus, cosinus en tangens 4pexact
Bereken algebraïsch de lengte van kabel PQ in de situatie van de figuren
1c en 1d. Geef je eindantwoord in meters in één decimaal. Je kunt hierbij
de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
opgave 5Prooidieren en roofdieren
Er bestaan wiskundige modellen die het verband aangeven tussen
aantallen prooidieren en roofdieren. Deze modellen worden
prooi-roofdiermodellen genoemd.
Als er in een gebied veel prooidieren zijn, dan zal na verloop van tijd het
aantal roofdieren in dat gebied sterk toenemen, omdat die zich voldoende
kunnen voeden met de prooidieren. Door die toename van het aantal
roofdieren zal het aantal prooidieren teruglopen. Hierdoor kunnen de
roofdieren minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als
gevolg daarvan zal het aantal prooidieren weer toenemen. En daarmee
begint deze cyclus weer opnieuw. In figuur 1 wordt een model van zo’n
cyclus weergegeven.
figuur 1
De grafieken van het aantal roofdieren en het aantal prooidieren zijn in dit
model sinusoïden.
94pSinusoïden: periode, amplitude en formule 4pexact
Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor r op waarmee je het
aantal roofdieren r in figuur 1 kunt berekenen als functie van de tijd t in
jaren.
In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander
prooi-roofdiermodel:
p(t) = 4800 + 3400 ⋅sin
r(t) = 2500 + 1300 ⋅ cos
Hierin is p het aantal prooidieren, r het aantal roofdieren en t de tijd in
jaren. In figuur 2 zijn de grafieken van p en r geschetst.
figuur 2
In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal
prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de
helling dus maximaal.
naslagRaaklijn aan cirkel
De cirkel c heeft vergelijking x2 + y2 = 25. Het middelpunt van c is O.
Het punt P(−3, −4) ligt op c. De lijn l is de raaklijn aan de cirkel in P.
Lijn l snijdt de x-as in het punt S. Cirkel c snijdt de x-as in de
punten A en B. Zie figuur 1.
figuur 1
Een vergelijking van
l is
.
opgave 73p 12 Bewijs dat y = − ¾ x − 6 ¼ inderdaad een vergelijking van l is.
Er geldt AS ⋅ BS = PS2.
135pAfstanden met coördinaten 3p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1pexact
Bewijs dat voor de situatie van figuur 1 inderdaad geldt AS ⋅ BS = PS2.
De gelijkheid AS ⋅ BS = PS2 geldt algemener, namelijk voor elke situatie
waarin geldt:
− A, B en P zijn drie willekeurige punten op een cirkel;
− het punt S is het snijpunt van de lijn door A en B met de raaklijn aan
de cirkel in P.
In figuur 2 is de cirkel d met middelpunt M(5,4) en straal 3 weergegeven.
De punten A, B en P zijn drie punten op de cirkel.
De lijn m is de raaklijn aan de cirkel in P. Het punt S is het snijpunt van
lijn m en de lijn door A en B. Verder is gegeven dat AB = 4 en BS = 3.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
opgave 8Logaritmen en snijpunten
De functies f en g worden gegeven door
f(x) = log(2x − 4)
g(x) = log(6 − x)
Beide grafieken hebben een verticale asymptoot. Het punt S is het
snijpunt van de grafieken van f en g. Zie figuur 1.
figuur 1
De afstand van S tot de asymptoot van de grafiek van g is groter dan de
afstand van S tot de asymptoot van de grafiek van f.
opgave 9Maximale richtingscoëfficiënt
Op het domein
wordt de functie
f gegeven door:
Het punt P ligt op de grafiek van f. De x-coördinaat van P is p.
De y-coördinaat van P is dus f(p).
De lijn l gaat door de oorsprong O en door P. De richtingscoëfficiënt van l
noemen we a. Er geldt:
In de figuren 1 en 2 is lijn l voor twee posities van P getekend. In figuur 2
is a groter dan in figuur 1.
figuur 1
figuur 2
Er is een waarde van p waarvoor a maximaal is. Deze waarde van p kun
je berekenen door eerst a uit te drukken in p.
