bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2024, tijdvak 1

bij dit examen

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 2Bloeddruk

De bloeddruk in een slagader stijgt en daalt wanneer het hart het bloed
door de aderen pompt. Dit stijgen en dalen is een periodiek verschijnsel
dat te benaderen is met een sinusoïde. De periode hiervan is de tijd
tussen twee opeenvolgende hartslagen.
De bloeddruk van een gezonde volwassen man in rust is vereenvoudigd
weergegeven in de grafiek van figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Deze grafiek is te beschrijven met een formule van de vorm
P = a + bsin(c(t − d)), met P de bloeddruk in mmHg (millimeter kwikdruk)
en t de tijd in seconden.
35p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 5pGR mag

Bepaal de waarden van a, b, c en d met behulp van de grafiek in figuur 1.
Geef je eindantwoorden zo nodig in één decimaal.
In werkelijkheid verloopt de bloeddruk van een gezonde volwassen man
die geen grote inspanning levert niet helemaal als een sinusoïde. Dit komt
doordat de bloeddruk iedere periode een langere tijd laag is dan hoog.
Hierdoor zijn in de periodieke grafiek van de bloeddruk de bovenste delen
smaller dan de onderste delen. Een schets die het verloop van de
bloeddruk beter benadert, is te zien in figuur 2.
figuur 2
figuur 2
Een formule om de gemiddelde bloeddruk te benaderen, is
P_g_e_m = P_m_i_n + 0,33(P_m_a_x − P_m_i_n)
(1)
Hierin zijn P_g_e_m, Pmin en Pmax achtereenvolgens de gemiddelde, de
minimale en de maximale bloeddruk in mmHg. Er geldt: Pmax > Pmin.
Uit formule (1) is af te leiden dat P_g_e_m bestaat uit een percentage van Pmin
en een percentage van Pmax. Het percentage van Pmin is groter dan het
percentage van Pmax.
42p

Formules herleiden en omwerken 2pGR mag

Bereken hoeveel keer zo groot. Geef je eindantwoord als geheel getal.
Het is bekend dat bij een hogere hartslag de gemiddelde bloeddruk stijgt.
Formule (1) houdt hier geen rekening mee.
Wetenschappers van de Rosalind Franklin University of Medicine and
Science in Chicago hebben een formule opgesteld waarin de invloed van
de hartslag wel meegenomen is:
P_g_e_m = P_m_i_n + (0,33 + 0,0012 ⋅ H)(P_m_a_x − P_m_i_n) (2)
Hierin is H de hartslag, uitgedrukt in het aantal slagen per minuut.
Pmin en Pmax zijn weer de minimale en de maximale bloeddruk in rust in
mmHg en P_g_e_m is nu de gemiddelde bloeddruk in mmHg bij hartslag H.
Ook hier geldt: Pmax > Pmin.
Een gezonde volwassen man heeft in rust een minimale bloeddruk van
80 mmHg en een maximale bloeddruk van 120 mmHg. Tijdens het
hardlopen heeft hij een gemiddelde bloeddruk van 100 mmHg.
53p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken bij welke hartslag volgens formule (2) de gemiddelde bloeddruk
100 mmHg is. Geef je eindantwoord in gehele slagen per minuut.

opgave 3Een parabool en een cirkel

De functie f wordt gegeven door f(x) = (4)/(9)x^2 − (16)/(9)x − (20)/(9). De grafiek van f
snijdt de x-as in de punten A en B en de y-as in punt D. Het punt T is de
top van de grafiek van f. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
De raaklijn aan de grafiek van f in punt D maakt een scherpe hoek met de
y-as.
64p

Hoek tussen lijnen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Raaklijnen aan grafieken 1pexact

Onderzoek op algebraïsche wijze of deze hoek kleiner is dan 30⁰.
De cirkel c snijdt de x-as in de punten A en B en heeft middelpunt T.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
78p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 3p · Kwadratische functies en parabolen 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · +1exact

Bereken exact de y-coördinaten van de snijpunten van c met de y-as.

opgave 4Parkje in Lyon

In de Franse stad Lyon ligt een parkje met de naam ‘Jardin des tout-petits
Adolphe-Lafont’. De vorm is nagenoeg driehoekig.
We benaderen de vorm van dit parkje met een driehoek ABC. Zie de
figuur.
figuur
figuur
Er geldt:
− Zijde AB, langs de Rue Pascal, is 92 m lang.
− Zijde BC, langs de Rue Lafontaine, is 101 m lang.
− Zijde AC, langs de Avenue Marc Sangnier, is 145 m lang.
86p

Sinusregel en cosinusregel 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pexact

Bereken algebraïsch de oppervlakte van dit parkje in m2. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

opgave 5Dicht bij elkaar

De functies f en g worden gegeven door:
1 1 f(x) x en g(x) x x
S is het snijpunt van de grafieken van f en g.
Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
In figuur 1 lijkt het alsof de functie f een minimum heeft in het snijpunt S.
94p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Extremen en optimaliseren 2pGR mag

Onderzoek of in het snijpunt S de functie f inderdaad een minimum heeft.
Verder wordt de functie h gegeven door h(x) = √(x).
In figuur 2 zijn de grafieken van f en h weergegeven. Voor steeds grotere
waarden van x liggen de grafieken van f en h steeds dichter bij elkaar.
figuur 2
figuur 2
102p

Eigenschappen van functies en grafieken 2pexact

Leg uit, zonder getallenvoorbeeld of gebruik van de grafische
rekenmachine, waarom voor grote waarden van x de grafieken van f en h
dicht bij elkaar liggen.
113p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · Ongelijkheden oplossen 1pGR mag

Bereken voor welke waarden van x het verschil tussen f(x) en h(x)
minder is dan 0,01. Geef je eindantwoord in drie decimalen.

opgave 6Bierbrouwen

Er zijn vele soorten bier, die allemaal anders smaken. De smaak van bier
wordt deels bepaald door de mate van bitterheid. Deze bitterheid wordt
voornamelijk bepaald door het ingrediënt hop, dat tijdens het brouwen
wordt toegevoegd. Hop bevat alfazuren die tijdens het koken worden
omgezet in iso-alfazuren. Deze iso-alfazuren bepalen hoe bitter het bier
is.
Hoe langer het bier gekookt wordt, hoe meer alfazuren omgezet worden in
iso-alfazuren. Zo is na 5 minuten koken 4,5% van de alfazuren omgezet
en na 45 minuten koken 24,2%.
Voor kooktijden tussen 5 en 45 minuten is er bij benadering een
exponentieel verband tussen de kooktijd t in minuten en het percentage
alfazuren P dat is omgezet. Uit de gegevens volgt dat:
P = 4,5 ⋅1,043t
(1)
Hierbij staat t = 0 voor het moment dat het bier 5 minuten heeft gekookt.
De groeifactor per minuut bij dit exponentiële verband is afgerond op drie
decimalen gelijk aan 1,043.
123p

Exponentiële functies en groei 3pGR mag

Bereken deze groeifactor per minuut in vijf decimalen.
Na 45 minuten koken geldt het exponentiële verband (1) niet meer. Het
percentage alfazuren dat is omgezet neemt vanaf dat moment langzamer
toe dan daarvoor. Na 60 minuten koken is meestal het
maximumpercentage omgezette alfazuren bereikt. Bij een
amateurbrouwer is dit maximumpercentage 27%.
De tijd die nodig is om de eerste helft, dus 13,5% alfazuren, om te zetten
is niet gelijk aan de tijdsduur die nodig is om dit percentage daarna nog te
verhogen tot 27%.
134p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken hoeveel minuten verschil er tussen deze twee tijdsduren is.
Geef je eindantwoord als geheel getal.
De Europese bitterheidseenheid (EBU, European Bittering Units) is een
maat om de bitterheid van bier aan te geven. Voor een bepaalde biersoort
kan de bitterheid berekend worden met de formule:
B = (4 ⋅ P ⋅ M)/(5 ⋅ V)
Hierin is:
− B de bitterheid in EBU;
− P het percentage alfazuren dat is omgezet;
− M de massa aan hop in grammen;
− V de hoeveelheid bier die gebrouwen wordt in liters.
Volgens het recept moet de hop in deze biersoort 30 minuten gekookt
worden. Een amateurbrouwer wil graag een bitterheid van 30 EBU
hebben voor zijn bier en gebruikt hiervoor 100 gram hop.
144p

Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bereken algebraïsch hoeveel liter bier hiermee kan worden gebrouwen.
Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 7Exponentiële functies

De functie f wordt gegeven door f(x) = 2x+3 en de functie g wordt
gegeven door g(x) = 2^3^ +^2√(x).
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g weergegeven.
figuur 1
figuur 1
De grafieken van f en g snijden elkaar in de punten A en B. Punt A ligt op
de y-as.
153p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact de x-coördinaat van B.
De grafiek van f wordt ten opzichte van de x-as met − (1)/(5) vermenigvuldigd.
Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie h.
Vervolgens wordt de grafiek van h omhoog geschoven. Hierdoor ontstaat
de grafiek van de functie k. De horizontale asymptoot van de grafiek van k
gaat door A, het snijpunt van de grafiek van f en de y-as.
Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
163p

Transformaties van grafieken 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pGR mag

Stel een functievoorschrift op van k.
De grafiek van k snijdt de x-as in het punt C met x-coördinaat
x = −3 +2 log(40).
Deze x-coördinaat kan ook geschreven worden in de vorm x =2 log(p),
met p een geheel getal.
172p

Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bereken exact de waarde van p.

opgave 8Vierdegraadsfunctie

De functie f wordt gegeven door f(x) = x4 − 3x2 + 2.
184p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact

Bereken exact het minimum van f.
Functie f kan ook geschreven worden als f(x) = (x2 − 1)(x2 − 2).
De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en
D. Het punt T is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as.
Zie de figuur.
figuur
figuur
In de figuur is ATC aangegeven.
196p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken algebraïsch deze hoek. Geef je eindantwoord in graden in één
decimaal.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.