bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2026, tijdvak 2

bij dit examen

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 1Door punt P

De functie f is gegeven door f(x) = √(3x + 6).
Op de grafiek van f ligt het punt P(1,3).
Lijn k raakt de grafiek van f in punt P. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
14p

Kettingregel 2p · Raaklijnen aan grafieken 2pexact

Stel op exacte wijze een vergelijking op van lijn k.
De grafiek van de functie g is een parabool. De top van deze parabool valt
samen met het randpunt van de grafiek van f.
De grafiek van g snijdt de grafiek van f in het punt P(1,3). Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2
23p

Kwadratische functies en parabolen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Stel op exacte wijze een functievoorschrift op van g.

opgave 2Twee sinusoïden

De functie f is gegeven door f(x) = 2(1)/(2)sin((1)/(2)x).
De grafiek van f is een sinusoïde. In figuur 1 is vanaf de oorsprong O
anderhalve periode van deze sinusoïde getekend.
figuur 1
figuur 1
De sinusoïde snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten O, A, B en C.
Deze punten liggen op de evenwichtsstand van de sinusoïde.
De punten D en E met y-coördinaat 1(1)/(4)√(3) liggen op de sinusoïde zoals
aangegeven in figuur 1.
Lijnstuk OA is een aantal keer zo lang als lijnstuk DE.
35p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4p · Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1pexact

Bereken exact hoeveel keer zo lang.
In figuur 2 is opnieuw de grafiek van f tussen de punten O en C getekend.
Tussen de punten O en C is de grafiek van een functie g gestippeld
weergegeven. Deze grafiek is een deel van een sinusoïde. De punten O
en C zijn twee opeenvolgende punten op de evenwichtsstand van deze
sinusoïde.
figuur 2
figuur 2
In O hebben de grafieken van f en g dezelfde helling. Deze helling is
gelijk aan 1,25.
Een functievoorschrift van g is van de vorm g(x) = v ⋅ sin((1)/(6)x).
De helling van de grafiek van g in O kan benaderd worden door de
berekening van het differentiequotiënt op een klein interval.
44p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Gemiddelde verandering en differentiequotiënt 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de waarde van v met behulp van het differentiequotiënt op het
interval [0;0,01]. Geef je eindantwoord in één decimaal.

opgave 3Raaklijn door een punt aan een cirkel

Gegeven is het punt A(25,0). Daarbij is de cirkel c gegeven met
middellijn OA. Het middelpunt van c is M. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
Een vergelijking van c is y2 = 25x − x2.
53p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 3pexact

Bewijs dat dit inderdaad een vergelijking van c is.
Verder is de cirkel d gegeven met middelpunt O.
Een vergelijking van d is y2 = 225 − x2.
De punten P en Q zijn de snijpunten van c en d.
Punt P ligt boven de x-as en punt Q onder de x-as.
De lijn k gaat door de punten A en Q. Zie figuur 2.
figuur 2
figuur 2

opgave 4Twee punten op een parabool

De grafiek van f is een parabool. De punten A en B liggen op de grafiek.
Zie de figuur.
figuur
figuur
Punt A heeft x-coördinaat 2 en punt B heeft x-coördinaat 6.
In punt A is de helling van de raaklijn − (1)/(2).
In punt B is de helling van de raaklijn 3(1)/(2).
Het functievoorschrift van f is van de vorm f(x) = cx2 + dx.
Uit de bovenstaande gegevens volgt het volgende stelsel:
142cc + + dd = = − 3(1)/(2)(1)/(2)
72p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bewijs dat het stelsel uit de gegevens volgt.
Door het stelsel op te lossen, krijg je de waarden c en d van de functie f.
De punten A en B lijken in de figuur even ver van de x-as te liggen.
84p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2pexact

Onderzoek op exacte wijze of A en B inderdaad even ver van de x-as
liggen.

opgave 5Tekenrobot

Een tekenrobot is een apparaat dat zelf kan tekenen. In deze opgave
wordt een tekenrobot met een scharnierbare tekenarm bekeken. De
tekenarm bestaat uit de beweegbare delen OB en BP. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
In figuur 2 is in een assenstelsel een bovenaanzicht weergegeven van de
scharnierbare tekenarm. De lengte van OB is 10 cm en de lengte van BP
is 5 cm.
De oorsprong is een vast punt. De tekenarm draait om dit punt. In punt B
scharniert de tekenarm, waardoor BP om punt B kan draaien. De delen
OB en BP maken een hoek β met elkaar.
figuur 2 bovenaanzicht tekenarm
figuur bij de opgave
De tekenrobot tekent met punt P. Om een deel van een cirkel met
middelpunt O te tekenen, moet hoek β op een vaste waarde worden
ingesteld. Door de tekenarm vervolgens rond de oorsprong te draaien,
tekent punt P de cirkelboog.
De straal OP van de getekende cirkelboog hangt af van hoek β.
Er moet een cirkelboog met middelpunt O en straal 14 cm worden
getekend.
93p

Sinusregel en cosinusregel 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1pGR mag

Bereken op hoeveel graden hoek β moet worden ingesteld. Geef je
eindantwoord in gehelen.
Bij een andere tekenrobot hebben de twee beweegbare delen van de
tekenarm allebei lengte 10 cm, dus OB = BP = 10.
Een punt R wordt in het assenstelsel geplaatst
figuur 3
figuur 3
zodat lijnstuk OR een hoek van 50 graden maakt ten
opzichte van de positieve x-as.
Zie figuur 3.
De afstand van punt R tot de oorsprong is 20 cm.
De tekenrobot moet lijnstuk OR gaan tekenen.
Hij beweegt daarom punt P in een rechte lijn van O
naar R.
In figuur 4 is voor verschillende momenten (a, b, c, d en e) het
bovenaanzicht van de tekenarm weergegeven tijdens het tekenen.
In de beginstand liggen beide delen van de tekenarm op elkaar en staan
ze loodrecht op lijnstuk OR. Punt P bevindt zich in de oorsprong.
figuur 4 bovenaanzicht tekenarm tijdens het tekenen van lijnstuk OP
figuur bij de opgave
De hoek die lijnstuk OB maakt met de positieve x-as, is aangegeven
met α. In eerste instantie is hoek α groter dan 90 graden. Tijdens het
tekenen van de lijn wordt hoek α steeds kleiner tot uiteindelijk 50 graden.
In de situatie van figuur 4c geldt dat α = 90°.
104p

Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 4pGR mag

Bereken de lengte van lijnstuk OP in figuur 4c. Geef je eindantwoord in
cm in één decimaal.
Om de positie van een willekeurig punt R vast te leggen moeten de helling
en lengte van lijnstuk OR in de tekenrobot worden ingevoerd.
Lijnstuk OR wordt ingevoerd met lengte 20 cm en richtingscoëfficiënt 2.
In figuur 5 is de eindpositie van de tekenarm van de tekenrobot getekend.
figuur 5
figuur 5
114p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken in deze situatie algebraïsch de coördinaten van punt R. Geef je
eindantwoord in cm in één decimaal.

opgave 7Product van functies

De functie f is gegeven door f(x) = x3 − 6x2 + 9x.
Deze functie heeft één maximum en één minimum.
144p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact

Bereken exact het minimum van de grafiek.
De grafiek van f heeft twee gemeenschappelijke punten met de x-as, bij
x = 0 en x = 3.
Verder is gegeven de functie h(x) = x2 − 2x − 1.
De functie f wordt vermenigvuldigd met de functie h. Zo ontstaat de
functie v(x) = (x3 − 6x2 + 9x) ⋅ (x2 − 2x −1).
Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
De grafiek van v heeft vier punten gemeenschappelijk met de x-as.
154p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 4pexact

Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.
De grafiek van v heeft vier toppen.
De horizontale lijn met vergelijking y = p heeft 1, 2, 3, 4 of 5 punten
gemeenschappelijk met de grafiek van v. Het aantal gemeenschappelijke
punten hangt af van de waarde van p.
In figuur 2 zie je een voorbeeld waarin de vergelijking y = p vier punten
gemeenschappelijk heeft met de grafiek van v.
In figuur 3 zijn voor twee verschillende waarden van p voorbeelden
gegeven waarin de lijn y = p drie punten gemeenschappelijk heeft met
de grafiek van v.
figuur 2
figuur 3
figuur 3

naslag3p 16 Bereken voor welke waarden van p de lijn y = p vijf punten

gemeenschappelijk heeft met de grafiek van v. Geef je eindantwoord zo
nodig in één decimaal.

opgave 9Auto’s in Nederland

Niet op elk moment in het jaar worden er evenveel nieuwe auto’s
verkocht. Meestal worden de meeste nieuwe auto’s in januari verkocht.
In een toenamediagram kan de toename of afname van het verkochte
aantal nieuwe auto’s per maand ten opzichte van de maand ervoor
worden getoond. In de figuur is het toenamediagram gegeven van de
aantallen verkochte nieuwe auto’s in de eerste drie maanden van het jaar
2015. De aantallen auto’s zijn afgerond op duizendtallen.
figuur
figuur
Verder is bekend dat er in de maand februari 31,25% minder nieuwe
auto’s zijn verkocht dan in januari.
174p

Toenamediagrammen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken het totaal aantal nieuwe auto’s dat in de eerste drie maanden
van 2015 is verkocht.
Tussen 1990 en 2016 is het totale aantal auto’s in Nederland bij
benadering lineair gegroeid:
− Op 1 januari 1990 waren er in totaal 5,2 miljoen auto’s.
− Op 1 januari 2016 was dit totale aantal 8,1 miljoen.
Bij deze auto’s zijn ook elektrische auto’s.
Het aantal elektrische auto’s is tussen 2010 en 2016 bij benadering
exponentieel gegroeid:
− Op 1 januari 2010 waren er 40 duizend elektrische auto’s.
− Op 1 januari 2016 was dit aantal 211 duizend.
Iemand doet in 2016 de volgende uitspraak:
“Als het totale aantal auto’s lineair blijft toenemen en het aantal
elektrische auto’s exponentieel blijft toenemen, dan is op 1 januari 2027
bijna de helft van de auto’s in Nederland elektrisch.”
186p

Exponentiële functies en groei 3p · Lineaire functies 2p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Toon aan dat de uitspraak klopt door het verwachte percentage
elektrische auto’s op 1 januari 2027 te berekenen. Geef je eindantwoord
in gehele procenten.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.