opgave 2Cocktails
Een cocktail is een drank die wordt gemaakt door enkele basisdranken te mengen. Zo
bestaat de cocktail ‘Apple Dream’ voor 60% uit appelsap, voor 20% uit amaretto en voor
20% uit pisang ambon.
Met deze drie basisdranken kunnen we veel meer cocktails maken door andere
mengverhoudingen te gebruiken. Om al deze mengverhoudingen in kaart te brengen
gebruikt men vaak een zogenaamd drie-componentendiagram. In figuur 2 zie je een
afbeelding van zo’n drie-componentendiagram, met daarin het punt A. Dit punt hoort bij de
cocktail ‘Apple Dream’. Op de bijlage bij deze opgave staat het diagram ook afgebeeld.
figuur 2
De cocktail ‘Strong Apple’ bestaat voor 20% uit appelsap, voor 30% uit amaretto en voor
50% uit pisang ambon.
53p
Teken op de bijlage in figuur 2 het punt dat hoort bij ‘Strong Apple’. Teken duidelijk de
hulplijnen die je hebt gebruikt.
Een drankenfabrikant wil uit de drie genoemde basisdranken een cocktail maken. Om na te
gaan welke winst hij kan behalen gebruikt hij de volgende gegevens.
De fabrikant wil de cocktail gaan verkopen voor 7,50 euro per liter.
We geven het percentage appelsap waaruit de cocktail bestaat aan met x, het percentage
amaretto met y en het percentage pisang ambon met z.
De winst in euro’s die de drankenfabrikant maakt op 1 liter cocktail noemen we W. Voor W
geldt de volgende formule: W = 4,5 + 0,0275x − 0,01y.
64p
Laat zien hoe deze formule voor
W uit de gegevens kan worden afgeleid. Bedenk daarbij dat
x + y + z = 100.
De drankenfabrikant stelt wel enkele voorwaarden aan de cocktail die hij wil maken:
• de cocktail moet voor minstens 16% uit pisang ambon bestaan;
• het percentage amaretto moet minstens even groot zijn als het percentage pisang ambon;
• het percentage appelsap mag hoogstens driemaal zo groot zijn als het percentage amaretto.
We kunnen deze drie voorwaarden als volgt vertalen:
z ≥ 16,
y ≥ z en
y 
x.
In figuur 3 hieronder zijn de twee grenslijnen
z = 16 en
y =
x getekend. Figuur 3 staat ook
op de bijlage.
74p
Teken op de bijlage in figuur 3 de ontbrekende grenslijn en geef het toegestane gebied aan.
De fabrikant wil weten bij welke mengverhouding van de basisdranken in de cocktail de
winst per liter maximaal is en hoe groot deze winst is.
85p
Bereken deze mengverhouding en de winst per liter die de fabrikant bij deze
mengverhouding behaalt.
opgave 3Grondstofverbruik
Ongeveer dertig jaar geleden verscheen het ‘Rapport van de Club van Rome’. Daarin wordt
aandacht besteed aan het wereldwijd verbruik van veel grondstoffen. De schrijvers vreesden
dat verschillende grondstoffen snel op zouden raken. Bij hun berekeningen hebben zij het
begin van het jaar 1970 als uitgangspunt genomen.
Het rapport vermeldt dat begin 1970 de voorraad koper 313 miljoen ton was en dat in 1970
het jaarverbruik van koper 8,7 miljoen ton bedroeg.
De levensduur van de voorraad van een grondstof is het aantal jaren vanaf begin 1970 totdat
de voorraad van deze grondstof is uitgeput. Daarbij gaan we ervan uit dat er in de tussentijd
geen nieuwe voorraden worden ontdekt. Zo is volgens het rapport de levensduur van de
voorraad chroom 420 jaar, wanneer je aanneemt dat het jaarlijks verbruik van chroom
steeds even groot is als in 1970, namelijk 1,9 miljoen ton.
Als we aannemen dat in de jaren na 1970 ook het jaarlijks verbruik van koper steeds even
groot is als dat in 1970, dan is de levensduur van de voorraad chroom veel groter dan die
van de voorraad koper.
93p
Hoeveel keer zo groot is dan de levensduur van de voorraad chroom, vergeleken met die
van de voorraad koper? Licht je antwoord toe met een berekening.
In werkelijkheid was er ook destijds al sprake van een toenemende vraag naar grondstoffen.
In het rapport heeft men hier aandacht aan besteed. Zo veronderstelde men dat vanaf 1970
het verbruik van koper jaarlijks zou groeien met 5,8% en het verbruik van chroom jaarlijks
met 3,3%.
105p
Bereken in dat geval vanaf welk jaar het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot is
als dat van chroom.
Wanneer het grondstofverbruik niet constant is maar jaarlijks groeit met een vast
percentage, wordt de levensduur van de voorraad korter. Deze nieuwe levensduur geven we
aan met L*. Om L* te berekenen gebruikt men de volgende formule:
L
In deze formule is p het percentage waarmee het verbruik jaarlijks groeit en L de levensduur
van de voorraad bij een constant jaarlijks verbruik.
113p
Bereken in welk jaar de voorraad chroom is uitgeput indien het verbruik vanaf 1970
jaarlijks met 3,3% groeit.
Over de grondstof aluminium staat in het rapport het volgende te lezen:
‘Begin 1970 was de wereldvoorraad aluminium 1,19
09 ton. Bij een jaarlijkse groei van het verbruik met 6,1% zal deze voorraad uitgeput zijn in het begin van het jaar 2000.’
126p
Bereken in welk jaar de voorraad aluminium uitgeput zou zijn indien het jaarverbruik vanaf
1970 constant was gebleven. Gebruik daarbij de formule voor L*.
Zoals hierboven al vermeld, was in 1970 het jaarverbruik van koper 8,7 miljoen ton. Verder
ging men ervan uit dat het verbruik van koper vanaf 1970 jaarlijks zou groeien met 5,8%.
Een formule voor het totale verbruik Tn (in miljoenen tonnen) in de eerste n jaren na
1 januari 1970 ziet er als volgt uit:
Tn = 150⋅(1,058)n – 150
135p
Toon aan dat deze formule juist is voor iedere gehele waarde van
n.
opgave 4Strike it rich
Bij het Engelse televisiespelletje Strike it rich speelt een deelnemer in de finale tien rondes.
Bij elke ronde krijgt de deelnemer drie beeldschermen voor zich, waar nog niets op te zien
is. De deelnemer moet willekeurig één van deze beeldschermen kiezen. Nadat hij een
scherm heeft aangewezen, worden alle schermen zichtbaar. Op één van de drie
beeldschermen komt Ga door te staan, op een ander beeldscherm Hot Spot, en op het derde
beeldscherm Vraag. Voor alle duidelijkheid: deze woorden worden op aselecte wijze op de
beeldschermen geplaatst voordat de deelnemer kiest maar worden pas na zijn keuze
zichtbaar voor hem.
Het is mogelijk dat een deelnemer in de tien rondes precies één keer een beeldscherm met
Vraag erop aanwijst.
143p
Bereken de kans dat dit het geval is. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
De deelnemer kan bij elke ronde een strafpunt krijgen. Daarvoor gelden de volgende regels.
Wanneer op het aangewezen scherm Ga door verschijnt, gaat de deelnemer zonder strafpunt
door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Hot Spot verschijnt, krijgt de deelnemer een strafpunt
en gaat door naar de volgende ronde.
Wanneer op het aangewezen scherm Vraag verschijnt, krijgt de deelnemer een vraag gesteld
die hij met ja of met nee moet beantwoorden. Wanneer het antwoord fout is, krijgt hij een
strafpunt en gaat door naar de volgende ronde. Wanneer het antwoord goed is, gaat hij
zonder strafpunt door naar de volgende ronde.
Uit het bovenstaande volgt dat voor een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt bij
iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk is aan
.
Maar voor een deelnemer die de vragen puur op de gok beantwoordt, dus met 50% kans op
het juiste antwoord, is bij iedere ronde de kans op een strafpunt gelijk aan
.
153p
Toon de juistheid van deze laatste kans met een berekening aan.
163p
Bereken voor deze gokkende deelnemer ook de kans dat hij in de tien rondes hoogstens
twee strafpunten krijgt. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Vóór het begin van het spel moet de deelnemer kiezen of hij voor maximaal 2, maximaal 3
of maximaal 4 strafpunten speelt. Alle strafpunten die de deelnemer gedurende de tien
rondes oploopt, worden opgeteld. Als hij na tien rondes niet meer dan het gekozen aantal
strafpunten heeft, krijgt hij een prijs, zoals vermeld in de volgende tabel 2. (£ betekent
Britse pond.)
Als een deelnemer bijvoorbeeld voor maximaal 3 strafpunten heeft gekozen en hij heeft na
de tien rondes 3 of minder strafpunten, dan krijgt hij de geldprijs van £ 7000. Heeft hij 4 of
meer strafpunten, dan krijgt hij in dat geval niets.
Voor een deelnemer die alle vragen puur op de gok beantwoordt, is de verwachtingswaarde
van de geldprijs zo hoog mogelijk wanneer hij voor maximaal 4 strafpunten speelt.
We vragen ons nu af hoe dat zit met een deelnemer die alle vragen foutloos beantwoordt.
176p
Onderzoek voor welk maximum aantal strafpunten deze deelnemer moet spelen om te
zorgen dat de verwachtingswaarde van de geldprijs zo hoog mogelijk is.
opgave 5Sportprestaties
In de atletiek kent men verschillende onderdelen. De ene atleet is goed in hardlopen, de
andere atleet in hoogspringen of speerwerpen. Iemand die de 100 meter binnen de
11 seconden loopt is een goede sprinter, terwijl iemand die met een polsstok hoger springt
dan 5 meter een goede polsstokhoogspringer is. Men kan zich afvragen wie van de twee de
betere atleet is. Om prestaties bij verschillende atletiekonderdelen te kunnen vergelijken,
hanteert de Koninklijke Nederlandse Atletiek Unie (KNAU) een puntensysteem. Met dit
systeem worden sportprestaties omgerekend tot een aantal punten met behulp van
verschillende formules. Vanzelfsprekend hoort bij een betere prestatie een groter aantal
punten. Zie tabel 3.
KNAU-puntensysteem voor mannen
soort sport formule onderdeel a b 100 meter 29550 1881,5 200 meter 52611,4 1547,1 loop- a 400 meter 111960 1433,5 P= −b nummers t 800 meter 248544 1323,2 1500 meter 489971,4 1224,7 3000 meter 1077300 1234,9 hoogspringen 2440 2593,5 spring- P=a r −b verspringen 1094,4 2075,3 nummers hinkstapsprong 762,9 2074,5 polsstokhoogspringen 1040 1272,5 kogelstoten 462,5 1001,8 werp- P=a r −b discuswerpen 249,8 893,5 nummers speerwerpen 190,2 711,3
Voor vrouwen hanteert de KNAU een vergelijkbare tabel.
In tabel 3 lezen we af dat voor hardlopen het behaalde aantal punten P wordt berekend met
de formule
P 
b. Hierbij is
t de tijd in seconden die de atleet nodig heeft om de
afstand te lopen. De getallen a en b worden afgelezen in de betreffende kolommen.
Als een man de 100 meter in 10,70 seconden loopt, dan heeft hij daarmee 880,2 punten
behaald.
183p
Bereken hoeveel seconden, in 2 decimalen nauwkeurig, een man over de 400 meter moet
doen om ook 880,2 punten te behalen.
Voor de spring- en werpnummers wordt door de KNAU de formule
P = a
b gebruikt.
Hierin is r de gesprongen hoogte of afstand in meters of de geworpen afstand in meters. Zie
tabel 3.
De International Association of Athletics Federations (IAAF) kent ook een puntensysteem.
Voor het berekenen van de punten gebruikt de IAAF andere formules dan de KNAU. Bij het
speerwerpen voor mannen ziet de IAAF-formule er als volgt uit: P = 10,14 ⋅ (r − 7)1,08.
Wanneer we de formule van speerwerpen voor mannen van de KNAU met die van de IAAF
vergelijken, dan blijkt dat voor sommige geworpen afstanden r de formule van de KNAU
meer punten oplevert dan de formule van de IAAF.
195p
Onderzoek voor welke waarden van
r dat het geval is.
De formules van de KNAU en van de IAAF die horen bij het speerwerpen voor mannen
verschillen van elkaar. Dat maakt voor het aantal te behalen punten niet zoveel uit. Er is
echter wel een opmerkelijk verschil tussen de grafieken van beide formules: de grafiek van
de IAAF stijgt steeds sneller terwijl de grafiek van de KNAU steeds langzamer stijgt.
Dat laatste geldt voor elke formule van de KNAU voor de spring- en de werpnummers.
Voor elke positieve waarde van
a hoort bij de formule
P = a
b een stijgende grafiek.
De stijging van deze grafiek verloopt bovendien steeds minder snel naarmate r toeneemt.
207p
Toon deze laatste bewering aan door gebruik te maken van differentiëren.
