Eindexamen wiskunde A vwo 2004 tijdvak 2 (wiskunde A1,2)

opgave 1APK

Auto’s moeten elk jaar gekeurd worden. Deze wettelijk verplichte keuring wordt APK,

Algemene Periodieke Keuring, genoemd en wordt uitgevoerd door garagebedrijven.

Om na te gaan of de garagebedrijven de keuringen goed uitvoeren, voert de RDW, de Rijks

Dienst voor Wegverkeer, controles uit. De RDW doet dit steekproefsgewijs. Dat wil

zeggen: van alle auto’s die worden gekeurd door de garagebedrijven, selecteert de RDW er

een aantal en onderwerpt die auto’s aan een controle. Op deze wijze controleert de RDW

3% van alle gekeurde auto’s.

Een garagebedrijf gaat op een dag 5 auto’s keuren.

13p

Bereken de kans dat geen van deze 5 auto’s door de RDW wordt gecontroleerd. Geef je

antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

Voor het beoordelen van de kwaliteit van de garagebedrijven hanteert de RDW een

puntensysteem:

Ieder garagebedrijf begint met 0 punten. Als bij controle door de RDW blijkt dat de keuring

van een auto niet goed is verricht, krijgt het garagebedrijf 1,5 strafpunten. Als de keuring

van een auto wel goed is uitgevoerd, krijgt het garagebedrijf 0,4 bonuspunten. Strafpunten

en bonuspunten worden met elkaar verrekend. Als een garagebedrijf bijvoorbeeld

0,8 bonuspunten en 1,5 strafpunten heeft gekregen, levert dit 0,7 strafpunten op. Daarmee

komt het aantal punten voor dit bedrijf op –0,7.

Garagebedrijf Hendriks heeft 0 punten. Bij dit bedrijf wordt 20% van de keuringen niet

goed uitgevoerd. De RDW voert vijf keer een controle bij Hendriks uit.

24p

Bereken de kans dat garagebedrijf Hendriks na deze vijf controles meer dan 0 punten heeft.

Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

Met behulp van het puntensysteem van de RDW kunnen we narekenen dat bij een

garagebedrijf waar 15% van de keuringen niet goed wordt uitgevoerd, elke uitgevoerde

controle gemiddeld 0,115 punten oplevert. Dus acht controles door de RDW leveren zo’n

bedrijf naar verwachting 0,92 punten op.

Garagebedrijf Kampman voert slechts 10% van de keuringen niet goed uit. Acht controles

door de RDW zullen dit garagebedrijf naar verwachting meer punten opleveren.

Garagebedrijf Kampman heeft 0 punten.

34p

Bereken hoeveel punten garagebedrijf Kampman naar verwachting zal hebben nadat de acht

controles zijn uitgevoerd.

Mede door de APK neemt de gemiddelde levensduur van personenauto’s toe. In het begin

van de jaren negentig van de vorige eeuw was een personenauto na 9 à 10 jaar rijp voor de

sloop. In 1998 lag de gemiddelde levensduur al een stuk hoger. Deze gemiddelde

levensduur kun je berekenen met behulp van de gegevens in figuur 1. Daarin vind je in de

vorm van een samengesteld staafdiagram de verdeling naar leeftijd van de personenauto’s

die in 1998 werden gesloopt.

leeftijd sloopauto's in jaren

Legenda:

44p

Bereken met behulp van de gegevens in figuur 1 hoe groot in 1998 de gemiddelde

levensduur was van personenauto’s op het moment van slopen.

opgave 2Kaartspel

Een set speelkaarten bestaat uit 52 kaarten, figuur 2

verdeeld in de soorten schoppen (

), harten

(

), ruiten (

) en klaveren (

). Iedere soort

bevat 13 kaarten, met de opdruk 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9, 10, boer, vrouw, heer of aas.

Het kaartspel bridge wordt gespeeld door vier

spelers, die ieder 13 kaarten krijgen. Zie

figuur 2.

We gaan er bij deze opgave van uit dat het

delen van de kaarten op aselecte wijze

gebeurt. Dat betekent dat bij elk spel iedere

speler evenveel kans heeft op een bepaalde

kaart.

Arie, Bert, Clemens en Douwe spelen bridge.

De kans dat Clemens bij een spel precies twee klaverenkaarten krijgt, is ongeveer 0,2.

54p

Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.

Arie heeft gedurende een lange periode bijgehouden hoeveel klaverenkaarten hij bij elk spel

kreeg. Het resultaat van 10 000 spellen vind je in tabel 1.

tabel 1

aantal klaverenkaarten 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 of meer frequentie 130 802 2060 2865 2385 1245 414 87 12 0

Het aantal van 10 000 spellen is erg groot. Dat betekent dat we de uitkomsten in tabel 1

goed kunnen gebruiken om de theoretische kansen op de bijbehorende aantallen

klaverenkaarten te benaderen.

63p

Gebruik tabel 1 om de kans te berekenen dat je in 10 spellen precies één keer géén

klaverenkaarten krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

Douwe heeft een histogram opgesteld van de gegevens uit tabel 1. Op grond hiervan

vermoedt hij dat het aantal klaverenkaarten K per spel bij benadering normaal verdeeld is.

76puitwerkbijlage

Zet de cumulatieve kansverdeling die volgt uit tabel 1 uit op normaal

waarschijnlijkheidspapier op de uitwerkbijlage en geef je oordeel over het vermoeden van

Douwe. Licht je antwoord toe.

Wanneer de kaarten aselect worden gedeeld, is de verwachtingswaarde van het aantal

klaverenkaarten dat een speler per spel krijgt gelijk aan 3,25 en de bijbehorende

standaardafwijking gelijk aan 1,365.

Veel spelcomputers gebruiken het software-programma ‘Split’ om het delen van de kaarten

te simuleren. Bert vermoedt al een tijdje dat ‘Split’ hem te weinig klaverenkaarten geeft.

Daarom houdt hij gedurende 100 spellen bij hoeveel klaverenkaarten hij krijgt. Dat blijken

er in totaal 302 te zijn.

86p

Onderzoek of er voldoende aanleiding is om te veronderstellen dat het programma ‘Split’

Bert te weinig klaverenkaarten geeft. Neem als significantieniveau 5%. Je kunt hierbij

gebruik maken van het feit dat het totale aantal klaverenkaarten bij 100 spellen bij

benadering normaal verdeeld is.

opgave 3Woorden tellen

In ziekenhuizen verschijnen veel rapporten die over de behandeling van patiënten gaan. In dergelijke rapporten komen, naast het gewone taalgebruik, ook veel medische termen voor. Bij twee ziekenhuizen heeft men onderzoek gedaan naar het woordgebruik in deze rapporten. Hiervoor heeft men van 5000 rapporten geteld hoe vaak ieder woord in totaal voorkwam. Deze rapporten bevatten samen 996 734 woorden. Toch waren er in totaal slechts ongeveer 20 000 verschillende woorden. Dit komt omdat er woorden zijn die heel vaak gebruikt worden. Om je hiervan een idee te geven zie je in tabel 2 de tien woorden die het meest frequent in de rapporten werden gebruikt. woord een de van met en het in is ik geen frequentie 40 361 36 485 34 231 27 667 26 869 22 965 22 082 13 681 11 416 11 363 rangnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tabel 2 Je ziet dat in de tabel de woorden op rangnummer , in volgorde van hun frequentie, zijn genoemd. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat het woord ‘met’ in totaal 27 667 keer is geteld en dat dit woord rangnummer 4 heeft. De onderzoekers J. B. Estoup en G. K. Zipf hebben geprobeerd in allerlei teksten een verband te vinden tussen het rangnummer r van een woord en de bijbehorende frequentie f r . In 1949 vond Zipf de formule: Deze formule wordt ook wel de ‘wet van Zipf’ genoemd. De waarde van C hangt af van het totale aantal woorden in de tekst. Volgens Zipf is C de oplossing van de vergelijking: 2,3 ⋅ C ⋅ log C = aantal woorden in de tekst De rapporten van één van de ziekenhuizen bevatten samen 495 378 woorden.

→ Bereken de waarde van C die bij de rapporten van dit ziekenhuis hoort. Rond af op duizendtallen. Voor de 996 734 woorden in de rapporten van beide ziekenhuizen samen geldt C = 88 000. In figuur 3 zijn van alle gebruikte woorden de frequenties uitgezet tegen de rangnummers. Op beide assen is gekozen voor een logaritmische schaalverdeling. De woorden uit tabel 2 vind je in figuur 3 terug als de bovenste 10 punten. Om de wet van Zipf en de werkelijkheid met elkaar te kunnen vergelijken, is in figuur 3 ook de grafiek van f r = 88000 r getekend. Figuur 3 is ook afgedrukt op de uitwerkbijlage.

figuur 3 1 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1.000 2.000 5.000 10.00020.000 50.000 100.000 rangnummer De wet van Zipf geldt voor algemene teksten zoals krantenartikelen en dergelijke. Omdat medische rapporten niet ‘algemeen’ zijn, vertonen de grafieken opmerkelijke verschillen. Tussen de rangnummers 2 en (ongeveer) 2200 zijn de werkelijke frequenties groter dan de frequenties volgens de wet van Zipf.

→ Onderzoek of dit verschil bij r = 100 groter is dan bij r = 500. Licht je antwoord toe. Iemand trekt uit figuur 3 de volgende twee conclusies: 1. In deze medische rapporten heeft een meerderheid van de gebruikte woorden een hogere frequentie dan de wet van Zipf voorspelt voor teksten met deze omvang. 2. Deze medische rapporten bevatten minder verschillende woorden dan de wet van Zipf voorspelt voor teksten met deze omvang.

→ Geef over elk van deze conclusies een gemotiveerd oordeel. In figuur 3 zie je dat er in de medische rapporten woorden voorkomen die dezelfde frequentie hebben. Volgens de wet van Zipf zou dit niet kunnen. Deze wet, f r = 88000 r , zegt dat f r steeds minder snel afneemt naarmate r toeneemt.

opgave 4Het vierde gewas

In de akkerbouw is het normaal dat een boer op zijn grond niet elk jaar hetzelfde gewas

verbouwt. Om te voorkomen dat ziekteverwekkers in de bodem te veel invloed krijgen, is

het beter in de loop van de jaren verschillende gewassen te verbouwen.

Het bedrijf Zaanstra heeft 36 ha akkerland. Op 12 ha ervan worden aardappelen geteeld, op

12 ha suikerbieten en op de overige 12 ha granen. Een jaar later wordt er op de drie stukken

land gewisseld van gewas en een jaar later nog een keer. Zo wordt elk gewas eens per drie

jaar op elk stuk grond verbouwd.

Per jaar kost het bewerken van één ha aardappelen aan menskracht 19 werkdagen. Voor

suikerbieten is dat 20 werkdagen en voor granen 24 werkdagen.

Bij het bedrijf overweegt men nog een gewas te gaan telen en het akkerland dus te verdelen

over vier gewassen, elk 9 ha. Dan krijgen ziekteverwekkers nog minder kans en dat

verhoogt de kwaliteit van de oogst.

Het bedrijf stelt als voorwaarde dat het totale aantal werkdagen per jaar niet hoger mag

worden. Dat betekent dat er voor zo’n vierde gewas ten hoogste 189 werkdagen per jaar

beschikbaar zijn.

133p

Laat zien dat het getal 189 juist is.

Voor dit vierde gewas heeft het bedrijf de keuze uit verschillende plantensoorten, waarvan

de zaden veel bruikbare oliën en vetten bevatten. In tabel 3 staan enkele gegevens over deze

plantensoorten.

tabel 3

akkermoesbloem komkommerkruid teunisbloem werkdagen (per ha) 16 22 24 oogst in kg (per ha) 1000 800 800 opbrengst (per kg) € 3,00 € 4,00 € 4,50

Voor het bewaren van de oogst van deze gewassen beschikt het bedrijf over een koelruimte,

waar men ten hoogste 8400 kg zaden kan opslaan.

We kunnen de conclusie trekken dat het voor Zaanstra niet mogelijk is de 9 ha helemaal te

gebruiken voor de teelt van slechts één van de drie plantensoorten akkermoesbloem,

komkommerkruid of teunisbloem.

143p

Toon dit aan.

We willen nagaan welke verdeling van de beschikbare 9 ha grond over de drie

plantensoorten de grootst mogelijke opbrengst oplevert. Het aantal ha dat wordt gebruikt

voor akkermoesbloem geven we aan met x, dat voor komkommerkruid met y en dat voor

teunisbloem dus met 9 – x – y.

Naast de voorwaarden x ≥ 0 en y ≥ 0 gelden voor mogelijke oplossingen ook de

voorwaarden:

I x + y ≤ 9

II x ≤ 6

155p

Toon aan dat de voorwaarden II en III volgen uit bovenstaande gegevens.

168p

Onderzoek bij welke verdeling van de grond over de drie plantensoorten de jaarlijkse

opbrengst voor Zaanstra zo groot mogelijk is.

opgave 5Al doende leert men

In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd voor de tweede keer, enz. Zo bleken werknemers 16 minuten nodig te hebben om handeling A voor de eerste keer te verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd 12,8 minuten. Dus wanneer een werknemer handeling A twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd = 14,4 minuten. Deze 14,4 minuten zie je in tabel 4. De andere waarden in deze tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend. aantal keren dat handeling A is verricht ( n ) 1 2 3 4 5 6 gemiddelde handelingstijd in minuten 16 14,4 13,1 12,1 11,3 10,7 tabel 4 Met behulp van tabel 4 kunnen we berekenen dat een werknemer 8,1 minuten nodig heeft om handeling A voor de 5e keer te verrichten.

→ Geef zo’n berekening. We willen een formule opstellen voor de gemiddelde handelingstijd H n . Daartoe kijken we eerst naar de tijd T n die een werknemer nodig heeft om handeling A voor de n -de keer te verrichten. T n kan goed worden benaderd met de volgende formule: T n = 6 + 10 ⋅ 0,68 n − 1 In deze formule is T n in minuten. Inderdaad levert deze formule T 1 ≈ 16 en T 2 ≈ 12,8. Aan deze formule kun je zien dat de handelingstijd steeds korter wordt naarmate n toeneemt. Toch zal er altijd enige tijd nodig blijven om handeling A uit te voeren. Dat betekent dat er op den duur vrijwel geen tijd meer wordt gewonnen.

→ Hoeveel minuten is de handelingstijd op den duur korter dan de eerste handelingstijd? Licht je antwoord toe. Om een formule voor H n op te kunnen stellen, merken we op dat geldt: We moeten dus eerst de som T 1 + T 2 + T 3 + … + T n van de eerste n termen berekenen. Elk van deze termen bestaat uit een constante (het getal 6) en een exponentieel deel. De exponentiële delen vormen een meetkundige rij. Dat betekent dat we voor de som ervan gebruik kunnen maken van de somformule van een meetkundige rij. Dat leidt tot de volgende formule voor de gemiddelde handelingstijd: H n = 6 +