opgave 1Chips
Pringles-chips zijn vooral een succes
geworden door de beroemde koker waarin je
de chips wel vijftien maanden kunt bewaren.
Pringles worden in Nederland onder andere
verkocht in kokers van 88 stuks. Op de
verpakking staat dat er 165 gram in zit. De
chips wegen per stuk natuurlijk niet allemaal
precies hetzelfde. We nemen aan dat het
gewicht van een Pringles-chip normaal verdeeld is met een gemiddeld
gewicht van 1,89 gram en een standaardafwijking van 0,06 gram.
Deze chips moeten volgens de producent een bepaald minimumgewicht
hebben. Toch kan het gebeuren dat geproduceerde chips lichter zijn dan
het minimumgewicht. Dat te lichte deel vormt 0,2% van het
geproduceerde totaal.
13pBereken het minimumgewicht dat een chip volgens de producent moet
hebben.
Ook van het merk Lay’s worden chips in kokers
gedaan. Op foto 2 zijn kokers uit Shanghai te zien
waarin 92 stuks zitten en waarbij op de verpakking een
inhoud van 180 gram staat.
Het gewicht van een Lay’s-chip is ook normaal
verdeeld. Een Lay’s-chip weegt gemiddeld 1,97 gram
met een standaardafwijking van 0,08 gram.
Ongeveer 35% van de Lay’s-chips weegt meer dan 2 gram. Iemand
beweert dat het percentage Pringles-chips die meer dan 2 gram wegen
meer dan tien keer zo klein is als het percentage Lay’s-chips die meer
dan 2 gram wegen.
23pOnderzoek met een berekening of deze bewering juist is.
Zowel bij een koker Pringles als bij een koker Lay’s kan het gebeuren dat
de inhoud minder weegt dan het aantal gram dat op de verpakking staat.
36pBereken van welk merk de kans daarop het kleinst is.
Een mooie bijkomstigheid van de koker is dat de chips niet snel breken. In
een supermarkt in Amstelveen klagen klanten echter geregeld over het
feit dat de Pringles-chips in de kokers gebroken zijn. De
supermarktmanager legt de klacht bij de fabrikant neer. De reactie van de
fabrikant is dat hoogstens 2% van de kokers gebroken chips zou bevatten
en dat de rest door onzorgvuldigheid van transport, winkelpersoneel of de
klant zou komen.
Een consumentenorganisatie besluit een steekproef van 20 kokers uit een
grote verzameling Pringleskokers te nemen net voordat de kokers op
transport naar de supermarkt gaan. In 2 van de 20 kokers blijken
gebroken chips te zitten.
46pOnderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om de verklaring
van de fabrikant in twijfel te trekken. Gebruik een significantieniveau van
5%.
opgave 2Ontslagvergoeding
Als een werknemer ontslagen wordt, moet zijn werkgever hem vaak een
bepaald bedrag betalen: de zogenoemde ontslagvergoeding. Er zijn
verschillende manieren om de hoogte van dit bedrag vast te stellen. Een
veelgebruikte manier is de kantonrechtersformule. Deze formule is in
1996 opgesteld door de gezamenlijke kantonrechters en wordt sindsdien
veel toegepast in rechtszaken betreffende ontslag.
De kantonrechtersformule voor de ontslagvergoeding (in euro’s) luidt als
volgt:
hoogte ontslagvergoeding = A ⋅ B ⋅ C
Hierbij geldt:
− A is het Aantal gewogen dienstjaren;
− B is de Beloning per maand: dat is het meest recente maandsalaris in
euro’s;
− C is de Correctiefactor: deze wordt door de rechter vastgesteld
afhankelijk van de situatie. In een ‘neutraal’ geval geldt C = 1.
Voor de berekening van A kijken we naar de leeftijd en het aantal
dienstjaren bij de betreffende werkgever. Deze dienstjaren worden als
volgt gewogen:
− dienstjaren tot de leeftijd van 40 jaar tellen voor 1;
− dienstjaren van 40 tot 50 jaar tellen voor 1,5;
− dienstjaren vanaf 50 jaar tellen voor 2.
Voor elke periode wordt het aantal dienstjaren afgerond op gehele jaren.
Hierbij wordt dus een aantal dienstjaren van bijvoorbeeld 27,3 jaar geteld
als 27 jaar en een aantal dienstjaren van 36,8 jaar geteld als 37 jaar.
Bijvoorbeeld: voor een werknemer die geboren is op 11 februari 1965, die
per 1 maart 1995 bij een werkgever in dienst kwam en daar per 1 april
2008 ontslagen is, geldt: A = 10 ⋅1 + 3 ⋅1,5 = 14,5.
Mevrouw De Wilde, geboren op 12 mei 1953, wordt na een dienstverband
van precies 14 jaar per 1 mei 2008 ontslagen. Haar maandsalaris was
toen € 3464.
De rechter gebruikt de kantonrechtersformule en besluit dat in haar geval
geldt: C = 0,75.
53pBereken haar ontslagvergoeding.
Per 1 januari 2009 is de kantonrechtersformule aangepast. In de nieuwe
formule wordt de factor A (het aantal gewogen dienstjaren) als volgt
berekend:
− dienstjaren tot de leeftijd van 35 jaar tellen voor 0,5;
− dienstjaren van 35 tot 45 jaar tellen voor 1;
− dienstjaren van 45 tot 55 jaar tellen voor 1,5;
− dienstjaren vanaf 55 jaar tellen voor 2.
We gaan er in deze opgave van uit dat de aanpassing geen gevolgen
heeft voor de factoren B en C.
Voor een zekere werknemer, die ontslagen wordt na een dienstverband
van precies 19 jaar, geldt volgens de oude regeling:
A = 16 ⋅1 + 3 ⋅1,5 = 20,5. Uitgaande van C = 1 bedraagt zijn
ontslagvergoeding volgens de kantonrechtersformule € 91 700.
65pBereken hoeveel procent lager zijn ontslagvergoeding zou zijn als hij
onder de nieuwe regeling zou vallen. Ga hierbij weer uit van C = 1.
Voor veel mensen pakt de nieuwe regeling ongunstiger uit dan de oude.
73pOnderzoek of er een situatie mogelijk is waarbij een werknemer erop
vooruit gaat door de nieuwe regeling.
opgave 4Uitslagen voorspellen
In de tijd voor Tweede Kamerverkiezingen worden allerlei onderzoeken
gedaan naar kiezersgedrag.
Media publiceren vrijwel elke dag voorspellingen gebaseerd op
onderzoek. Zo ging het ook voor de verkiezingen in juni 2010. Op 3 juni
publiceerde de krant Tubantia de persoonlijke voorspellingen van
elf lijsttrekkers over de te verwachten zetelverdeling voor de elf partijen.
Zie tabel 1. Deze tabel staat vergroot op de uitwerkbijlage.
tabel 1
PVV SP GroenLinks Trots op NL PvdA CDA D66 VVD P.v.d.Dieren SGP ChristenUnie s r e/d li W . G r e m e o/R . E a m es l a/H . F k nod r e V . R n/e ho C . J e dn e/n ek l a/B . P . J d l o t h ce P . A e tt u/R . M e m e i hT . M ji aa t S . d . v . K t e o/v uo R . A CDA 29 27 29 28 27 34 26 29 24 28 28 PvdA 29 30 33 26 35 28 28 29 29 27 32 SP 10 18 11 14 9 17 13 11 21 12 10 VVD 29 29 31 27 34 32 30 34 31 34 32 PVV 25 15 11 14 16 12 15 17 12 17 14 GroenLinks 8 10 13 9 9 9 12 10 9 10 10 ChristenUnie 8 7 6 6 7 5 6 6 6 7 10 D66 8 10 12 10 9 10 15 10 12 10 10 P.v.d.Dieren 1 2 2 3 2 1 3 2 4 2 2 SGP 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 Trots op NL 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 Totaal 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150
In tabel 1 valt onder andere op dat de voorspellingen van Wilders en
Thieme behoorlijk van elkaar verschillen, terwijl de voorspellingen van
Rutte en Van der Staaij tamelijk dicht bij elkaar liggen.
Om voorspellingen met elkaar te kunnen vergelijken, gebruiken we het
begrip afstand. Om de afstand tussen twee voorspellingen te berekenen,
tellen we alle verschillen tussen de voorspelde zetelaantallen bij elkaar
op. Zo is de afstand tussen de voorspellingen van Roemer (lijsttrekker
SP) en Halsema (lijsttrekker GroenLinks) 24, want de som van de
positieve verschillen tussen hun voorspellingen is:
(29 − 27) + (33 − 30) + (18 − 11) + (31 − 29) + (15 − 11) +
(13 − 10) + (7 − 6) + (12 − 10) + (2 − 2) + (2 − 2) + (0 − 0) = 24
133pOnderzoek of de afstand tussen de voorspellingen van Wilders en Thieme
meer dan tweemaal zo groot is als de afstand tussen de voorspellingen
van Roemer en Halsema.
Je kunt een overzicht maken van alle onderlinge afstanden tussen de
voorspellingen van de lijsttrekkers. Een klein stukje van dat overzicht zie
je in tabel 2. Zo lees je bijvoorbeeld af dat de afstand tussen de
voorspellingen van Roemer en Halsema 24 is.
tabel 2
Als je dat hele overzicht zou bekijken, dan zou opvallen dat alle afstanden
even getallen zijn. Ook bij diverse andere tabellen van dit type valt op dat
al deze afstanden even zijn.
143pOnderzoek of het in het algemeen mogelijk is dat een afstand tussen twee
voorspellingen een oneven getal is.
Na afloop van de verkiezingen kun je de voorspellingen van ieder van de
lijsttrekkers met de werkelijke uitslag vergelijken. Dat doen we hier op
twee verschillende manieren. Bij de eerste methode berekenen we de
afstand tussen de voorspelling en de werkelijke uitslag. Die werkelijke
uitslag van de verkiezingen op 9 juni 2010 staat in tabel 3.
tabel 3
De voorspelling van Roemer blijkt de kleinste afstand, namelijk 22, tot de
werkelijke uitslag op te leveren.
De afstand tussen de voorspelling van Wilders en de werkelijke uitslag
blijkt exact gelijk te zijn aan de afstand tussen de voorspelling van
Van der Staaij en de werkelijke uitslag.
152pBereken deze afstand.
Een andere methode om voorspellingen te vergelijken met de werkelijke
uitslag is om te kijken naar het totaal aantal juist voorspelde zetels. Als
een partij bijvoorbeeld 8 zetels haalt terwijl er 5 voorspeld zijn, dan krijgt
de voorspeller daar 5 punten voor. En als er 8 zetels behaald worden
terwijl er 10 voorspeld zijn, dan krijgt de voorspeller 8 punten.
Op deze manier is het aantal juist voorspelde zetels van Roemer:
21 + 30 + 15 + 29 + 15 + 10 + 5 + 10 + 2 + 2 = 139
Als je het aantal juist voorspelde zetels van Wilders vergelijkt met het
aantal juist voorspelde zetels van Van der Staaij, blijkt ook nu weer dat
deze aantallen aan elkaar gelijk zijn.
Dat is niet toevallig als je kijkt naar het aantal juist voorspelde zetels en
de afstand tussen de voorspelling en de werkelijke uitslag. Tussen deze
afstand (de eerste methode) en het aantal juist voorspelde zetels (de
tweede methode) bestaat een verband. Bij de afstand let je op de
verschillen (altijd positief) en bij de tweede methode tel je het aantal goed
voorspelde zetels. Het verband heeft de volgende vorm:
aantal juist voorspelde zetels = a ⋅ afstand + b
164pBereken de waarden van a en b in bovenstaand verband.
opgave 5Toevalvoetbal
Nederlandse competitie
De eindstand van de Nederlandse voetbalcompetitie van het seizoen
2008-2009 staat in onderstaande tabel.
tabel
De 18 ploegen hebben een hele competitie tegen elkaar gespeeld, dat
betekent dat elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuiswedstrijd en
een uitwedstrijd heeft gespeeld.
173pBereken hoeveel wedstrijden er in totaal zijn gespeeld.
Voor een overwinning krijgt een ploeg 3 punten, voor een gelijkspel 1 punt
en voor een verliespartij geen punten.
De kampioen, AZ, heeft 4 wedstrijden verloren en in de overige
30 wedstrijden 80 punten gehaald.
184pBereken hoeveel wedstrijden AZ gewonnen heeft.
Competitie met even sterke ploegen
Op een Engelse website met voetbalstatistieken wordt gekeken in
hoeverre een competitie-uitslag zoals die in de tabel staat, wordt bepaald
door het verschil in sterkte tussen de ploegen en in hoeverre door toeval.
Daartoe bekijken we eerst een competitie waarin alle ploegen even sterk
zijn en alle uitslagen alleen door toeval bepaald worden. Dit noemen we
een toevalscompetitie. Wel houden we in onze toevalscompetitie rekening
met verschil tussen uit- en thuiswedstrijden.
Daarom nemen we aan dat elke wedstrijd met kans pt gewonnen wordt
door de thuisspelende ploeg, met kans pu gewonnen wordt door de
uitspelende ploeg, en met kans pg in een gelijkspel eindigt.
Omdat we hier een toevalscompetitie bekijken, zijn deze kansen voor elke
ploeg en voor elke wedstrijd gelijk. Er geldt natuurlijk: pt + pu + pg = 1.
Vanwege het verschil tussen uit- en thuiswedstrijden zijn pt en pu niet
gelijk aan elkaar.
Omdat een overwinning 3 punten oplevert en een gelijkspel 1 punt, geldt
nu voor elk team het volgende: voor een thuiswedstrijd is het verwachte
aantal punten te berekenen met de formule μt = 3pt + pg en voor een
uitwedstrijd is dat te berekenen met de formule μu = 3pu + pg.
Omdat elke ploeg in totaal 17 thuis- en 17 uitwedstrijden speelt, is voor
elke ploeg het verwachte aantal punten in de hele competitie gelijk aan
μTotaal = 17μt + 17μu.
Dit is te herleiden tot
μTotaal = 51 − 17 pg
194pVoer deze herleiding uit.
We nemen aan dat het aantal punten van elke ploeg in de
toevalscompetitie bij benadering normaal verdeeld is met gemiddelde
μTotaal ≈ 46,6 en standaardafwijking σTotaal ≈ 7,4.
AZ werd in de competitie van 2008-2009 kampioen met 80 punten.
We vragen ons af hoe groot voor een ploeg in de toevalscompetitie de
kans is om 80 punten of meer te halen.
203pBereken deze kans met behulp van de normale verdeling.
Vergelijking beide competities
Volgens de Engelse website wordt de standaardafwijking van het aantal
punten in de werkelijke competitie niet alleen bepaald door toeval maar
ook door het verschil in sterkte tussen de ploegen. In dat geval zou de
standaardafwijking in de werkelijke competitie dan ook groter moeten zijn
dan de standaardafwijking in de toevalscompetitie.
Met behulp van de tabel aan het begin van deze opgave kun je voor de
Nederlandse competitie van het seizoen 2008-2009 de standaardafwijking
van het aantal punten berekenen.
213pOnderzoek of deze standaardafwijking inderdaad groter is dan de
standaardafwijking in de toevalscompetitie.
