opgave 1Zonnepanelen1)
Veel mensen denken erover om zonnepanelen aan te schaffen. Bedrijven
spelen daarop in en geven daar allerlei informatie over op hun websites.
Op een dergelijke website tref je de volgende tekst aan:
Omdat de elektriciteitsprijs voortdurend stijgt, kan investeren in zonnepanelen interessant zijn. Laten we om te beginnen eens uitgaan van een stijging van de elektriciteitsprijs van 5% per jaar. Verder gaan we uit van een zonnepanelen-installatie met een opbrengst van 1750 kWh (kilowattuur) elektriciteit per jaar en een aanschafprijs van € 2995.
13pHoeveel jaar duurt het, volgens de informatie op deze website, voordat de
elektriciteitsprijs verdubbeld is?
Voor het vervolg van deze opgave gaan we niet meer uit van een
jaarlijkse stijging van de elektriciteitsprijs maar van een vaste prijs van
€ 0,225 per kWh.
noot 1 Deze gehele opgave is gebaseerd op gegevens zoals die in 2013 bekend waren.
In onderstaande tabel zie je een overzicht van de prijs en opbrengst van
verschillende zonnepaneelsystemen van een ander bedrijf. Om de
opbrengst in euro's te berekenen, rekent men met de prijs die de eigenaar
van de zonnepanelen zou moeten betalen als hij de elektriciteit van een
elektriciteitsbedrijf zou moeten kopen.
tabel
De overheidssubsidie2) van 15% van de aanschafprijs is nog niet verwerkt in
de prijzen van de tabel. De overheidssubsidie bedraagt maximaal € 650.
De terugverdientijd is de periode die het duurt tot het aankoopbedrag
van het systeem is terugverdiend via besparing op de elektriciteitskosten.
In het begin van 2013 schafte iemand het systeem van 12 zonnepanelen
aan met overheidssubsidie.
24pBereken, uitgaande van de verwachte elektriciteitsopbrengst, in welk jaar
het aankoopbedrag volledig is terugverdiend.
Als je de panelen zelf installeert, is de aanschafprijs lager. De aanbieder
rekent dan € 1300 vaste kosten voor het systeem en € 325 per paneel. De
elektriciteitsopbrengst van de panelen verandert niet bij een doe-het-
zelfsysteem. Bij de volgende vragen laten we de subsidie buiten
beschouwing.
Voor T, de terugverdientijd in jaren, kun je dan de volgende formule
opstellen:
met x het aantal panelen dat aangeschaft wordt.
34pLeid deze formule af uit de gegevens.
44pLaat met behulp van de afgeleide van T zien dat de terugverdientijd daalt
als je meer panelen aanschaft.
noot 2 In 2013 werd er door de overheid subsidie verstrekt bij het aanschaffen van
zonnepanelen.
opgave 2De sociale ladder
In het najaar van 2012 publiceerde NRC Handelsblad een artikel over de
inkomensverdeling in de Verenigde Staten.
In dit artikel wordt een model beschreven waarin per inkomensklasse
aangegeven wordt hoe groot de kans is dat je, als je geboren bent in een
gezin in die inkomensklasse, zelf terechtkomt in een bepaalde
inkomensklasse. Zie onderstaande figuur. Er worden vijf even grote
inkomensklassen onderscheiden. Dit model gebruiken we in de rest van
de opgave.
figuur
INDELING INKOMENSGROEPEN VAN DE OUDERS
kansen van kinderen
Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat van de kinderen met ouders in de laagste
inkomensklasse 4% in de hoogste inkomensklasse terecht zal komen.
Dus: als je in de laagste inkomensklasse geboren wordt, heb je 4% kans
om zelf in de hoogste inkomensklasse terecht te komen.
De bewering "Amerikanen zitten vast op de sociale ladder" die in het
artikel gedaan wordt, wekt de suggestie dat de kans heel groot is dat
iemand in dezelfde inkomensklasse terechtkomt als zijn ouders.
53pBereken hoeveel procent van de mensen in de VS volgens de figuur in
dezelfde inkomensklasse als hun ouders zal komen.
Iemand die in de laagste inkomensklasse geboren is, heeft (zie figuur)
een kans van 0,57 om zelf in een hogere inkomensklasse terecht te
komen. We kijken nu naar een groep van 200 mensen die allemaal in de
laagste inkomensklasse geboren zijn.
64pBereken de kans dat meer dan de helft van deze mensen in een hogere
inkomensklasse terechtkomt.
Er zijn wel kritische geluiden als het gaat om de gegevens uit de figuur.
Dat slechts 4% van alle kinderen van ouders uit de laagste klasse het tot
de hoogste klasse zou brengen, vindt men wel erg weinig.
Om te onderzoeken of die 4% inderdaad te laag is ingeschat, heeft men
een steekproef van 600 Amerikanen genomen van wie de ouders uit de
laagste inkomensklasse kwamen. Hiervan bleken 34 personen nu tot de
hoogste inkomensklasse te behoren.
76pOnderzoek of dit resultaat voldoende aanleiding geeft om te concluderen
dat die 4% te laag is ingeschat. Neem een significantieniveau van 5%.
In het krantenartikel stond bij de figuur rechtsonder naast de 8%:
"8% kans dat je in de hoogste inkomensklasse geboren wordt en in de
laagste inkomensklasse terechtkomt." Volgens Nico is die tekst niet juist:
de kans dat een willekeurig iemand in de VS in de hoogste
inkomensklasse geboren wordt en later in de laagste inkomensklasse
terechtkomt, is niet 8%.
83pLaat zien dat Nico gelijk heeft door te berekenen hoe groot deze kans dan
wel is.
opgave 3Eén miljard hartslagen
Een veelgehoorde bewering is dat het hart van zoogdieren gedurende hun
leven ongeveer een miljard keer slaat. We gaan dat in deze opgave
onderzoeken.
Een zeker hondenras heeft een gemiddelde hartslag van 125 slagen per
minuut. Met behulp van de bewering kun je dan de gemiddelde
levensduur van dit ras berekenen.
92pBereken zo de gemiddelde levensduur in jaren van dit hondenras.
Naar aanleiding van deze bewering kan een formule voor het verband
tussen de hartslag en de levensverwachting opgesteld worden:
Hier is L de levensverwachting (in jaren) en H de hartslag (in slagen per
minuut).
104pToon aan dat deze formule uit de veelgehoorde bewering volgt.
Bij controle blijkt dat er dieren zijn waarvoor de formule ongeveer klopt,
maar ook dieren waar de formule helemaal niet voor klopt, zoals de aap
en de muis. In werkelijkheid is het verband anders. In de figuur is de
hartslag van een aantal soorten zoogdieren uitgezet tegen hun
levensverwachting. Langs de verticale as is een logaritmische
schaalverdeling gebruikt.
figuur
hartslag H 1000 (slagen per minuut) mmmuuuiiisss hhhaaammmsssttteeerrr rrraaattt aaaaaappp mmmaaarrrmmmooottt kkkaaattt hhhooonnnddd 100 gggiiirrraaafff tttiiijjjgggeeerrr eeezzzeeelll pppaaaaaarrrddd llleeeeeeuuuwww ooollliiifffaaannnttt wwwaaalllvvviiisss 10 0 10 20 30 40 50 60 70 levensverwachting L (jaren)
De punten die de hamster en de walvis weergeven, liggen nagenoeg op
de getekende rechte lijn. De walvis heeft een levensverwachting van
60 jaar en een hartslag van 25 slagen per minuut. De hamster heeft een
levensverwachting van 3 jaar en een hartslag van 450 slagen per minuut.
Het verband tussen H (de hartslag in slagen per minuut) en L (de
levensverwachting in jaren) is (bij benadering) exponentieel en is dus te
schrijven als:
H = b ⋅ gL
Uit de grafiek volgt dat b bij benadering 520 is en g bij benadering 0,95.
114pBereken met behulp van de gegevens van de hamster en de walvis g in
drie decimalen en b in gehelen.
Met de formule H = 520 ⋅ 0,95L kun je de hartslag berekenen als je de
levensverwachting weet. Logischer is het om de levensverwachting te
berekenen als je van een zoogdier de hartslag gemeten hebt.
Daarom willen we de formule H = 520 ⋅ 0,95L herleiden tot de vorm:
L = a ⋅ log(H) + b
125pVoer deze herleiding uit. Geef a en b in 2 decimalen nauwkeurig.
