bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel s ( x ) = f ( x ) − g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
Ga verder naar de volgende pagina.
opgave 1Knab
Knab is een tamelijk nieuwe bank, gestart in 2012 als onderdeel van
Aegon. In het begin groeide Knab maar langzaam: eind 2013 had de bank
nog maar 4500 klanten. Daarom besloot de bank in 2014 de zaken anders
aan te pakken. Dit leverde direct resultaat op, want het aantal klanten is in
2014 tien keer zo groot geworden.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
In de figuur zijn door middel van staven de aantallen klanten om de drie
weken weergegeven. Bovendien is de grafiek getekend van een
exponentieel model dat de werkelijke aantallen goed benadert.
Het exponentiële model wordt gegeven door de formule:
N = 4500 ⋅ e0,0463⋅t
Hierin is t de tijd in weken sinds het begin van 2014 met t = 0 in week 1
en N het aantal klanten.
In week 43 lijkt het verschil tussen het aantal klanten volgens het model
en het werkelijke aantal klanten het grootst.
23pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p
Bereken met behulp van de formule het gehele aantal weken dat in het
model nodig is voor een vertienvoudiging.
De snelheid waarmee het aantal klanten per week groeit, kun je
benaderen door de helling van de grafiek op het betreffende tijdstip te
bepalen.
34puitwerkbijlageRaaklijnen aan grafieken 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Helling en snelheid met de afgeleide 1p
Benader met behulp van de grafiek in de figuur op de uitwerkbijlage de
snelheid waarmee het aantal klanten per week groeit in week 31 van
2014. Rond je antwoord af op honderdtallen.
Je kunt de formule N = 4500 ⋅ e0,0463⋅t zó herschrijven, dat bij een gegeven
aantal klanten berekend wordt in welke week dat aantal bereikt wordt.
Dat verband is van de vorm:
t = a ⋅ ln(b ⋅ N)
opgave 2Blikstapelingen
foto
Bij het spel blikgooien krijgt de speler één of meer ballen
waarmee hij of zij moet proberen zoveel mogelijk blikken
van een toren af te gooien. Zo’n toren is altijd op
dezelfde manier opgebouwd: op de onderste laag staat
een aantal blikken en op de lagen erboven steeds één
minder. Op de foto zie je een toren met zes blikken.
We nemen in deze opgave aan dat, als een bal de toren raakt, de
onderste laag in zijn geheel blijft staan. Neem aan dat een geraakt blik
ook werkelijk van de toren afvalt en nooit “mooi” op een lager gelegen
laag terechtkomt en ook dat blikken niet blijven staan als één of meer
blikken eronder wegvallen.
Lars gooit één bal naar een toren met zes blikken, zoals op de foto.
Na zijn worp blijft de onderste laag van drie blikken staan. Er zijn nu vijf
mogelijkheden voor de overgebleven toren. Drie van deze mogelijkheden
zijn in figuur 1a, 1b en 1c schematisch getekend.
52pTelproblemen 2p
Teken de andere twee mogelijkheden.
We gaan in deze opgave deze situatie wat theoretischer bekijken. We
tellen het aantal mogelijke stapelingen van blikken op een onderste laag
van n blikken. Hierbij staat vanaf de tweede laag ieder blik steeds boven
op twee onderliggende blikken. We nemen steeds aan dat er één keer
gegooid is en dat de hele onderste laag is blijven staan.
Voor n = 1 is er maar één blik, dus is er ook één mogelijke stapeling.
Voor n = 2 zijn er twee mogelijke stapelingen. Zie figuur 2.
figuur 2
Je kunt nu met een redenering nagaan dat het aantal mogelijke
stapelingen voor n = 3 gelijk is aan 5. Deze redenering gaat als volgt:
− Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 0 blikken op de
tweede laag.
− Er zijn twee manieren met 3 blikken op de onderste laag en 1 blik op
de tweede laag.
− Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 2 blikken op de
tweede laag (figuur 1b).
− Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag, 2 blikken op de
tweede laag en 1 blik op de derde laag (figuur 1a).
Dat is samen 1 + 2 + 1 + 1 = 5 mogelijkheden.
Voor n = 4 is het aantal mogelijke stapelingen gelijk aan 14.
64pTelproblemen 4p
Toon dit aan.
De Belgische wiskundige Charles Catalan ontdekte in de 19e eeuw de
volgende formule:
Cn = C0 ⋅ Cn−1 + C1 ⋅ Cn−2 + C2 ⋅ Cn−3 +... + Cn−2 ⋅ C1 + Cn−1 ⋅ C0 met C0 = 1
Hierin is Cn het aantal mogelijke stapelingen met n blikken op de
onderste laag.
73pRijen en recursie 3p
Bereken met behulp van bovenstaande formule C5.
Voor deze rij getallen, de zogenaamde Catalan-getallen, bestaat geen
directe formule. Wel bestaat er een formule die voor grote waarden van n
de Catalan-getallen benadert. Deze formule is Bn = 0,564 ⋅ e1,386⋅n ⋅ n−1,5,
waarbij Bn een benadering is van het ne Catalan-getal (Cn).
De getallen voor Bn worden snel groter. Hoe snel dit gaat, is te
berekenen met behulp van de afgeleide van Bn. Er geldt (bij benadering):
Bn' = 0,782 ⋅ e1,386⋅n ⋅ n−1,5 − 0,846 ⋅ e1,386⋅n ⋅ n−2,5
opgave 3Kaarten schudden
Na het schudden begint een kaartspel meestal met het gelijk verdelen van
de kaarten onder een aantal spelers. Neem aan dat bij een bepaald spel
16 verschillende kaarten gelijk verdeeld worden onder vier spelers A, B, C
en D. Spelers A, B, C en D krijgen ieder dus vier kaarten.
We bekijken een stapel kaarten bestaand uit 16 verschillende kaarten.
Deze kaarten kunnen op circa 2,1⋅1013 verschillende volgordes liggen.
Het aantal volgordes waarin de kaarten kunnen liggen, is veel groter dan
het aantal mogelijkheden om de kaarten onder de vier spelers A, B, C en
D te verdelen.
104pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel keer zo groot dit aantal is. Rond af op tienduizendtallen.
In 1992 publiceerden de Amerikaanse
wiskundigen Bayer en Diaconis een
artikel over het schudden van kaarten.
Voor dit artikel hadden zij de meest
gebruikte manier van schudden
onderzocht, de zogeheten Riffle Shuffle
(zie de foto).
Zij kwamen tot de conclusie dat het met deze schudtechniek niet mogelijk
is een stapel kaarten écht willekeurig te maken, zoals bijvoorbeeld een
computer dat wel kan.
Voor het spelen van een kaartspel is het goed genoeg als de kaarten
“voldoende willekeurig” geschud zijn.
Bayer en Diaconis ontdekten tijdens hun onderzoek dat het aantal keren
dat een stapel kaarten minstens geschud moet worden om als “voldoende
willekeurig” bestempeld te worden, kan worden benaderd met de formule:
A = 1,5 ⋅2 log(n)
In deze formule is A het aantal keren dat een stapel van n kaarten
minstens geschud moet worden om als “voldoende willekeurig”
bestempeld te worden. A wordt naar boven afgerond op een geheel getal.
Het kaartspel jokeren wordt gespeeld met twee sets van 52 speelkaarten,
aangevuld met in totaal 4 zogeheten jokers.
112pRekenen met een gegeven formule 2p
Bereken hoe vaak de kaarten bij jokeren minstens geschud moeten
worden volgens de formule van Bayer en Diaconis.
Als het aantal te schudden kaarten toeneemt, neemt ook het aantal keren
dat er minstens geschud moet worden toe. Dit aantal neemt echter steeds
langzamer toe. Je kunt dit zien aan de afgeleide
.
124pAfgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p
deze formule, dus zonder getallen in te vullen of een schets te maken, dat
A afnemend stijgend is.
In de meeste casino’s kun je het spel blackjack spelen. Dat wordt over
het algemeen gespeeld met vier spellen kaarten (totaal 208 kaarten).
Het aantal keer dat zo’n groot aantal kaarten minstens geschud moet
worden is helemaal niet zo groot: volgens de formule van Bayer en
Diaconis slechts 12 keer. Dat is maar drie keer schudden meer dan bij
één spel kaarten.
Volgens de formule van Bayer en Diaconis geldt in het algemeen:
als het aantal kaarten vier keer zo groot wordt, hoeft er maar drie keer
extra geschud te worden.
opgave 4Zeepbellen
Op de foto zie je een dubbele zeepbel: twee bolvormige zeepbellen die
aan elkaar vastzitten. Beide zeepbellen zijn een deel van een bol.
Het scheidingsvlies tussen deze zeepbellen is ook een deel van een bol.
Men heeft ontdekt dat voor elke dubbele zeepbel de volgende
formule geldt:
In deze formule is a de straal van de grootste zeepbel, b de straal van de
kleinste zeepbel en c de straal van het bolvormige scheidingsvlies.
In de figuur is dit schematisch weergegeven.
De dubbele zeepbel op de foto bestaat uit een zeepbel met een straal van
2,5 cm en een zeepbel met een straal van 4 cm.
143pVergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken met behulp van bovenstaande formule de straal van het
scheidingsvlies. Rond je antwoord af op hele millimeters.
Neem nu aan dat de grootste zeepbel een vaste straal heeft van 3 cm
(dus a = 3). We vragen ons af wat er gebeurt als de straal van de kleinste
zeepbel steeds kleiner wordt: wordt het scheidingsvlies dan steeds platter
of steeds boller?
Met andere woorden: neemt c toe of af?
163pFormules herleiden en omwerken 3p
Geef deze herleiding.
Het antwoord op de vraag of het scheidingsvlies steeds platter of boller
wordt als de kleinste zeepbel steeds kleiner wordt, kunnen we ook vinden
met behulp van de afgeleide van c.
We nemen opnieuw een grootste zeepbel met een vaste straal van 3 cm.
De formule
wordt dan
met
0 < b < 3.
opgave 5Schildpadden
Sommige mensen hebben een schildpad als huisdier. Bepaalde soorten
houden onder natuurlijke omstandigheden een winterslaap. De eigenaar
kan ervoor kiezen om zijn schildpad ook in winterslaap te laten gaan,
omdat hij anders de hele winter extra licht en warmte moet geven aan zijn
huisdier. Een schildpad moet een gezond gewicht hebben bij het begin
van zijn winterslaap, anders is er een kans dat hij het niet overleeft. Om
vast te stellen of de schildpad een gezond gewicht heeft, wordt vaak de
Jackson Ratio gebruikt.
De Jackson Ratio
R wordt berekend met de formule
.
Hierin is G het gewicht van de schildpad in gram en L de lengte van
het schild van de schildpad in cm.
Voor de Griekse landschildpad geldt de volgende vuistregel: een
schildpad kan veilig aan een winterslaap beginnen als zijn Jackson Ratio
tussen 0,18 en 0,22 ligt.
Jesse heeft een Griekse landschildpad met een schildlengte van 15 cm en
wil hem een winterslaap laten houden.
183pOngelijkheden oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in hele grammen nauwkeurig tussen welke waarden zijn gewicht
dan mag liggen volgens de vuistregel.
De lengte van het schild moet recht gemeten worden, bijvoorbeeld door
de schildpad met ingetrokken kop tussen een schuifmaat te zetten (zie
foto 1). Veronderstel dat iemand toch de lengte over het schild heen meet
(zie foto 2).
193pEvenredigheden en machtsverbanden 2p · Redeneren en uitleggen in de context 1p
Beredeneer of een schildpad door op die manier te meten een grotere of
een kleinere Jackson Ratio krijgt dan hij in werkelijkheid heeft.
Op een Engelse website staat het volgende: als je het gewicht meet in
Engelse ponden (lbs) en de schildlengte in inches, kun je de Jackson
Ratio berekenen met de formule
.
Hierin is W het gewicht in Engelse ponden en l de schildlengte in inches.
1 Engels pond (lb) ≈ 454 gram en 1 inch = 2,54 cm.
De Jackson Ratio moet dan ook weer dezelfde waarde opleveren.
203pFormules herleiden en omwerken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken de waarde van c in deze formule. Rond je antwoord af op één
decimaal.
Een andere manier om te bepalen of een Griekse landschildpad veilig aan
een winterslaap kan beginnen, is met behulp van de grafiek in
onderstaande figuur. De grafiek geeft het gewicht van gezonde
schildpadden als functie van de schildlengte. Als een schildpad met zijn
lengte en gewicht in de buurt van deze grafiek zit, is het veilig om hem in
winterslaap te laten gaan.
figuur
We vragen ons af of de grafiek van de figuur bij benadering overeenstemt
met de eerder genoemde vuistregel. Om dit te onderzoeken kunnen we in
de figuur de grafieken tekenen van de onder- en de bovengrens die horen
bij de eerder genoemde vuistregel en vervolgens het gebied dat hoort bij
die vuistregel in de figuur aangeven. De figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
opgave 6Grotere windmolens
Met behulp van windmolens wordt windenergie omgezet in elektriciteit.
De afgelopen tientallen jaren zijn steeds grotere windmolens geplaatst,
want hoe groter een windmolen, hoe groter de elektriciteitproductie door
die windmolen. In deze opgave kijken we naar de toenemende opbrengst
van windmolens bij toenemende grootte.
figuur
In de figuur zie je een schematische tekening van
een windmolen met hierin aangegeven de
ashoogte h en de ‘rotordiameter’ D.
De maximale hoeveelheid elektriciteit die men met
een windmolen kan produceren, noemt men het
vermogen van de windmolen. Dit vermogen P
wordt uitgedrukt in MW (megawatt).
Het vermogen van een windmolen hangt onder
andere af van de ashoogte. Doordat er op grotere
hoogte meer wind is en doordat de wind daar
constanter is, neemt het vermogen voor elke meter
extra ashoogte met een bepaald percentage toe.
Er geldt: bij gelijkblijvende rotordiameter neemt voor elke meter extra
ashoogte het vermogen met 0,68% toe.
Het vermogen van een windmolen hangt naast de ashoogte ook af van de
rotordiameter. Deze twee factoren spelen tegelijkertijd een rol. Dat komt
tot uiting in de formule voor het vermogen:
P = 2,21⋅10−4 ⋅ gh ⋅ D2
Hierin is P het vermogen in MW, g de groeifactor per extra meter
ashoogte, h de ashoogte in meter en D de rotordiameter in meter.
In een windmolenpark staan 40 windmolens met elk een vermogen van
0,75 MW. De molens hebben een rotordiameter van 50 meter en een
ashoogte van 45 meter. De windmolens in dit park zijn aan vervanging
toe. Men wil deze windmolens vervangen door tien gelijke windmolens
van een groter type. Men hanteert als vuistregel dat een windmolen van
dit type € 25 000,- per meter ashoogte kost. Bij de huidige windmolens is
de verhouding tussen ashoogte en rotordiameter gelijk aan
.
Deze verhouding zal ook gelden voor het grotere type windmolen, dus
voor dit type geldt: h = 0,9D.
Het totale vermogen van het park moet met de nieuwe windmolens
minstens even groot worden als het met de huidige windmolens is.
te herleiden tot 
.
van 
op en beredeneer aan de hand van de
