bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2022, tijdvak 2

naslagOVERZICHT FORMULES

Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x

naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅     = ⋅ d x d g d x

Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠

regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 2Dauwpunt

Als je op een zomerse dag een glas limonade op tafel zet, dan kan het
glas binnen de kortste keren aan de buitenkant nat zijn. Dat komt doordat
waterdamp uit de lucht neerslaat op het glas. We noemen dat condens.
Condens ontstaat als de temperatuur van het glas lager is dan het
zogenaamde dauwpunt: de temperatuur waarbij waterdamp uit de lucht
condenseert.
Het dauwpunt Td in °C is afhankelijk van de luchttemperatuur en de
luchtvochtigheid en kan worden berekend met formule 1:
, met ln (formule 1)
Hierin is L de luchttemperatuur in °C en R de (relatieve) luchtvochtigheid
in% (met 0 < R ≤ 100).
Hoewel de eerste condens al eerder ontstaat, is de condens pas goed
zichtbaar als de temperatuur van het glas minimaal 3 °C onder het
dauwpunt ligt.
Op een dag is de luchttemperatuur 23 °C en de luchtvochtigheid 65%. Op
tafel staat een glas limonade. Het glas heeft een temperatuur van 12 °C.
13p

Rekenen met een gegeven formule 3p

Onderzoek of er dan goed zichtbare condens op het glas ontstaat.
Er wordt vaak gezegd dat een hoge luchtvochtigheid oncomfortabel is.
Amerikaans onderzoek toonde echter aan dat comfortgevoel niet alleen
bepaald wordt door de luchtvochtigheid, maar ook door het dauwpunt. In
de tabel wordt het verband tussen het dauwpunt en het comfortgevoel
aangegeven.
tabel
dauwpunt (°C) comfortgevoel ≥ 26 ernstig onaangenaam 24 - < 26 zeer onaangenaam 21 - < 24 behoorlijk onaangenaam 18 - < 21 enigszins onaangenaam 16 - < 18 voor de meeste mensen acceptabel 13 - < 16 comfortabel 10 - < 13 zeer comfortabel < 10 aan de droge kant
De zomer van 2018 was in heel Europa erg warm. Bij een hoge
luchttemperatuur is het dauwpunt ook hoog en dan wordt de
luchttemperatuur dus als onaangenaam ervaren. In Nederland liep de
temperatuur op tot 33 °C en in het zuiden van Spanje zelfs tot 46 °C.
In Nederland werd de maximumtemperatuur als zeer onaangenaam
ervaren, terwijl in Spanje de veel hogere maximumtemperatuur dankzij
een lage luchtvochtigheid als enigszins onaangenaam werd ervaren.
25p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Redeneren en uitleggen in de context 1p

Bereken de minimale luchtvochtigheid in Nederland bij de
maximumtemperatuur in de zomer van 2018. Geef je antwoord in hele
procenten.
In de winter zetten de meeste mensen hun verwarming op 20 °C.
Bij een vaste luchttemperatuur van 20 °C kan formule 1 herleid worden
tot:
T_d = (237,7 ⋅ (ln(R) − 3,265))/(20,535 − ln(R))
(formule 2)
34p

Formules herleiden en omwerken 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p

Laat deze herleiding zien.
In de winter is de luchtvochtigheid in huis vaak aan de lage kant. Als de
luchtvochtigheid lager is dan 30%, is dit schadelijk voor de gezondheid.
In een huiskamer met een luchttemperatuur van 20 °C blijkt het dauwpunt
3 °C te zijn.
43p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p

Onderzoek met behulp van formule 2 of de luchtvochtigheid in deze
huiskamer schadelijk is voor de gezondheid.
Ga verder op de volgende pagina.

opgave 3Skûtsjesilen

Elk jaar vindt in Friesland het skûtsjesilen plaats. Dit zijn zeilwedstrijden
met oude vrachtschepen, skûtsjes genaamd. Er zijn twee organisaties die
deze wedstrijden organiseren: de SKS1) en de IFKS2).
tabel
tabel
Voor het jaarlijkse SKS-kampioenschap
worden 11 wedstrijden gezeild, waaraan
14 skûtsjes meedoen.
Voor elke wedstrijd krijgen de skûtsjes punten
in volgorde van aankomst. De winnaar krijgt
0,9 punt. Nummer twee krijgt 2 punten,
nummer drie krijgt 3 punten, enzovoort.
Zie de tabel.
uitslag punten winnaar 0,9 2e plaats 2 3e plaats 3 … … 14e plaats 14
Na afloop van de 11 wedstrijden wordt voor elk skûtsje het slechtste
resultaat geschrapt. De punten van de overige 10 wedstrijden worden per
skûtsje bij elkaar opgeteld. Het skûtsje dat dan de minste punten heeft, is
kampioen.
53p

Redeneren en uitleggen in de context 3p

Onderzoek of het theoretisch mogelijk is dat elk skûtsje in de einduitslag
een geheel aantal punten heeft.
noot 1 SKS = Sintrale Kommisie Skûtsjesilen
noot 2 IFKS = Iepen Fryske Kampioenskippen Skûtsjesilen
De afmetingen van de deelnemende skûtsjes zijn niet identiek. Om er toch
een eerlijke wedstrijd van te maken, wordt voor elk skûtsje het maximaal
toegestane zeiloppervlak berekend.
In eerste instantie rekende de SKS met formule Amels, maar deze
formule is in 2000 aangepast en opnieuw aangepast in 2016:
S = 1,90 ⋅ L ⋅ (B + 2D)
(formule Amels)
S = 2,15 ⋅ L ⋅ (B + 2D)
(formule 2000)
S = 2,15 ⋅ L ⋅ ((2)/(3)B + 1,25 + 2D)
(formule 2016)
Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van
het skûtsje, B de breedte en D de diepgang (L, B en D in meters).
De invoering van formule 2000 had tot gevolg dat elk skûtsje hetzelfde
percentage extra zeil mocht hebben.
62p

Procenten, verhoudingen en eenheden 2p

Bereken het percentage extra zeil dat elk skûtsje van formule 2000 mag
hebben ten opzichte van formule Amels. Geef je antwoord in hele
procenten.
Een van de skûtsjes is 17,13 m lang en 3,57 m breed en mag volgens
formule 2000 een maximaal zeiloppervlak van 160,2 m2 hebben.
74p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p

Bereken hoeveel m2 zeiloppervlak dit skûtsje volgens formule 2016 meer
mag hebben dan volgens formule 2000. Geef je antwoord in één
decimaal.
Voor het IFKS-kampioenschap worden andere regels gehanteerd voor het
maximaal toegestane zeiloppervlak. Hier wordt gebruikgemaakt van de
volgende formule:
S = (3,2525 − 0,05L) ⋅ L ⋅ B (formule IFKS)
Hierin is S het maximaal toegestane zeiloppervlak in m2, L de lengte van
het skûtsje en B de breedte (L en B in meters).
Voor een skûtsje met een breedte van 3,52 m en een diepgang van
0,42 m geeft formule 2016 van de SKS een zeiloppervlak dat 25 m2 groter
is dan het toegestane zeiloppervlak volgens formule IFKS.
83p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p

Bereken de lengte van dit skûtsje. Geef je antwoord in meters en in twee
decimalen.
Een skûtsje heeft altijd een lengte L tussen de 12 en 20 meter.
Bij een vaste breedte van het skûtsje geldt: hoe langer het skûtsje, des te
groter het maximaal toegestane zeiloppervlak.
Dit is echter niet meteen duidelijk te zien in formule IFKS.
Om dit aan te tonen kun je een vaste waarde voor B kiezen en daarna
laten zien dat de afgeleide (dS)/(dL) van formule IFKS positief is.
95p

Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules herleiden en omwerken 1p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +2

Kies een vaste waarde voor , stel hiermee de afgeleide op en toon
aan, zonder een schets te maken, dat voor een skûtsje de afgeleide van
formule IFKS positief is.

opgave 4Waalbrug

De Waalbrug is een verkeersbrug die Nijmegen en Lent met elkaar verbindt. In figuur 1 is een schematische tekening van de Waalbrug weergegeven. Hierin zijn de rechthoekjes de pijlers van de brug en is de horizontale lijn het De Waalbrug heeft vijf bogen, waarvan er vier zich geheel onder het wegdek…

De Waalbrug is een verkeersbrug die Nijmegen en Lent met elkaar verbindt. In figuur 1 is een schematische tekening van de Waalbrug weergegeven. Hierin zijn de rechthoekjes de pijlers van de brug en is de horizontale lijn het De Waalbrug heeft vijf bogen, waarvan er vier zich geheel onder het wegdek bevinden. De middelste boog, de zogenaamde hoofdboog , heeft een boven- en een onderrand. De onderrand komt tussen de punten A en B boven het wegdek uit. In figuur 1 is het wegdek als x -as genomen en gaat de y -as door de top van de hoofdboog. Voor de onderrand van de hoofdboog kan de volgende formule worden opgesteld: 244 π Hierin zijn x en y in meters.

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p

Bereken de afstand van het wegdek tussen de punten A en B . Geef je antwoord in gehele meters.
De formule van de bovenrand wordt verkregen door formule 1 in verticale richting te herschalen met factor 1,17 en vervolgens met 1,87 omhoog te schuiven. Met behulp van de formules voor de boven- en de onderrand kan de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand van de hoofdboog worden…

De formule van de bovenrand wordt verkregen door formule 1 in verticale richting te herschalen met factor 1,17 en vervolgens met 1,87 omhoog te schuiven. Met behulp van de formules voor de boven- en de onderrand kan de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand van de hoofdboog worden berekend.

Transformaties van grafieken 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p

Bereken de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand bij het hoogste punt van de hoofdboog. Geef je antwoord in meters en in één decimaal. De gehele lengte van het wegdek dat hoort bij de hoofdboog – het stuk tussen de twee middelste pijlers – bedraagt 244 meter. Zie figuur 2. figuur 2 Net…

Bereken de verticale afstand tussen de boven- en de onderrand bij het hoogste punt van de hoofdboog. Geef je antwoord in meters en in één decimaal. De gehele lengte van het wegdek dat hoort bij de hoofdboog – het stuk tussen de twee middelste pijlers – bedraagt 244 meter. Zie figuur 2. figuur 2 Net als de hoofdboog bestaan de andere vier bogen uit een halve periode van een sinusfunctie. Voor de boog direct rechts van de hoofdboog kan een formule worden opgesteld van de vorm y = a + b ⋅ sin ( c ( x − d ) ) . Hiervoor zijn de volgende gegevens van belang, zie figuur 2: − De pijlers zijn 7 meter breed. − De boog begint direct naast de pijler op 11 meter onder het wegdek. − Het hoogste punt van de boog raakt het wegdek. − Het wegdek dat boven de boog ligt, heeft een lengte van 95 m.

opgave 5Bonte vliegenvanger

figuur
De bonte vliegenvanger is een trekvogel die in de lente
en zomer in Nederland broedt en in Afrika overwintert. In
Nederland nam het aantal bonte vliegenvangers aan
het eind van de twintigste eeuw af. Daarna namen
de aantallen weer toe. Zie de figuur.
figuur
figuur
De aantallen worden gegeven als percentages, waarbij het aantal in 1990
op 100% gesteld is. De relatieve aantallen bonte vliegenvangers per jaar
ten opzichte van 1990 zijn in de figuur weergegeven met stippen.
In de figuur is door middel van een stippellijn een kwadratische trendlijn
getekend. Deze trendlijn bereikt een minimum van 81% in 1998 en is
daarna stijgend. Ook na 2008 heeft deze trend zich doorgezet.
De formule voor de trendlijn kan worden geschreven als:
V = c ⋅ t2 + 81
Hierin is V het aantal bonte vliegenvangers als percentage van het aantal
in 1990, t de tijd in jaren met t = 0 in 1998 en c een constante.
In 2015 was het werkelijke aantal bonte vliegenvangers 50% hoger dan in
1990.
134p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1p · +1

Bereken met behulp van de figuur de waarde van c in de formule en
onderzoek vervolgens of het werkelijke aantal bonte vliegenvangers in
2015 in overeenstemming met de formule was.
Om de afname en de toename van het aantal bonte vliegenvangers te
verklaren, gebruiken onderzoekers een model waarbij ze uitgaan van
precies twee typen bonte vliegenvangers, type A en type B. De vogels van
type A starten eerder met broeden dan die van type B. In de loop der
jaren is er steeds vroeger veel voedsel beschikbaar voor de jonge vogels,
waardoor er steeds meer vogels van type A en minder van type B komen.
Voor elk van de typen A en B nemen we het volgende aan:
− Het aantal volwassen vogels in (de lente van) jaar n + 1 is het aantal
volwassen vogels uit jaar n dat de winter overleefd heeft plus het
aantal jonge vogels dat er in jaar n bij gekomen is en die de winter
overleefd hebben.
− Er zijn evenveel volwassen mannetjes als vrouwtjes. Deze vormen
allemaal paartjes, elk paartje maakt een nest.
− Jonge vogels worden geboren in een nest. Ze zijn na een jaar
volwassen of ze hebben de winter niet overleefd.
Van beide typen overleeft 50% van de volwassen vogels de winter.
Van type A vliegen gemiddeld 5,9 jongen per nest uit en van deze jongen
overleeft 20% de winter. Voor type B is dit ongunstiger: er vliegen
gemiddeld 5,0 jongen per nest uit en daarvan overleeft 18% de winter.
Met behulp van deze gegevens kan het volgende model opgesteld
worden:
An+1 = 1,09 ⋅ An met beginwaarde A0
Bn+1 = 0,95 ⋅ Bn met beginwaarde B0
Hierin is An het aantal volwassen vogels van type A en Bn het aantal
volwassen vogels van type B in jaar n.
144p

Procenten, verhoudingen en eenheden 3p · Rijen en recursie 1p

Leg uit hoe de formule Bn+1 = 0,95 ⋅ Bn volgt uit de gegevens.
In het verleden waren er veel meer volwassen vogels van type B.
Neem aan dat in een zeker jaar het aantal volwassen vogels van type B
vijf keer zo groot was als het aantal volwassen vogels van type A.
153p

Rijen en recursie 3p

Bereken na hoeveel jaar het aantal volwassen vogels van type A dan voor
het eerst groter is dan dat van type B.
In 1984 waren er 60 000 bonte vliegenvangers. Het totale aantal vogels N
in jaar t, met t = 0 in 1984, kan worden benaderd met de volgende
continue formule:
^N^(^t^)^ =^6^0^0^0^0^ ⋅ (^a^ ⋅^1^,^0^9^t^ +^b^ ⋅^0^,^9^5^t)
Hierin is a het beginaandeel van type A en b het beginaandeel van type
B. Dus als er in jaar 0 bijvoorbeeld 20% van type A is en dus 80% van
type B, dan is a = 0,2 en b = 0,8. In dat geval is er een minimumaantal
bonte vliegenvangers in 1990.
We weten dat a en b samen 1 moeten zijn, dus a + b = 1.
Nu kunnen we de afgeleide van N(t), met t = 0 in 1984, als volgt
benaderen:
N'(t)=60000⋅(a⋅0,086⋅1,09t−(1−a)⋅0,051⋅0,95t)
162p

Formules herleiden en omwerken 1p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1p

Toon dit aan.
We willen onderzoeken met welke waarden van a en b dit model zou
kunnen passen bij de waargenomen trend van de aantallen bonte
vliegenvangers in de figuur. We zien dat dan het totale aantal vogels
minimaal moet zijn in 1998.
173p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Extremen en optimaliseren 1p

Onderzoek met behulp van de formule van de afgeleide bij welke
beginverdeling van type A en type B het totale aantal vogels minimaal is
in 1998. Geef de beginverdeling in hele procenten.
Ga verder op de volgende pagina.

opgave 6Afname van de kindersterfte in Mali

Een van de landen met de hoogste kindersterfte ter wereld is Mali in
West-Afrika. De kindersterfte in een bepaald jaar is gedefinieerd als het
percentage kinderen van onder de vijf jaar dat in dat jaar komt te
overlijden. In deze opgave wordt met ‘kinderen’ steeds ‘kinderen onder de
vijf jaar’ bedoeld.
In 1900 waren er wereldwijd naar schatting 33,1 miljoen kinderen, van wie
er zo’n 12 miljoen in dat jaar kwamen te overlijden. In 2007 was het aantal
kinderen met 380% gestegen ten opzichte van 1900, terwijl er in dat jaar
2,8 miljoen minder kinderen kwamen te overlijden dan in 1900.
184p

Procenten, verhoudingen en eenheden 4p

Bereken hoeveel keer zo klein de kindersterfte in 2007 was als in 1900.
Geef je antwoord als geheel getal.
In Mali nam het aantal kinderen in de periode 1960-2015 flink toe. We
gebruiken hiervoor het volgende model:
K = 240900 ⋅ e0,0203t
(formule 1)
Hierin is K het aantal kinderen in Mali en t de tijd in jaren met t = 0 op
31 december 1960. Het aantal kinderen wordt net als de kindersterfte aan
het einde van ieder jaar bepaald.
193p

Exponentiële functies en groei 3p

Bereken, zonder waarden voor K uit te rekenen, het percentage waarmee
het aantal kinderen in Mali volgens formule 1 iedere 10 jaar toeneemt.
Geef je antwoord in één decimaal.
Het aantal kinderen S dat jaarlijks in Mali komt te overlijden kun je
berekenen door het totale aantal kinderen in Mali te vermenigvuldigen met
het deel van de kinderen dat komt te overlijden. Er geldt dus:
S = 0,01⋅ P ⋅ K
(formule 2)
Hierin is P het percentage kinderen dat jaarlijks komt te overlijden.
In 1960 was de kindersterfte in Mali 41,2%. In 2015 was dit percentage
gedaald tot 11,4%. Neem aan dat de afname van dit percentage P in de
periode 1960-2015 lineair is verlopen.
Formule 2 kan met behulp van deze gegevens worden herleid tot:
S = (99251 − 1305t) ⋅ e0,0203t (formule 3)
In deze formule is S het aantal kinderen in Mali dat overlijdt in het jaar t,
met t de tijd in jaren en t = 0 op 31 december 1960.
203p

Lineaire functies 2p · Formules herleiden en omwerken 1p

Leid formule 3 uit de gegevens af.
figuur
figuur
In de figuur zie je de grafiek van S. In de grafiek is te zien dat het aantal
kinderen dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1960, dus vanaf t = 0, eerst
toenam en pas later begon af te nemen.
214p

Product- en quotiëntregel 2p · Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 2p

Stel de formule op van de afgeleide S' en toon met behulp van deze
afgeleide aan dat volgens dit model de afname van het aantal kinderen
dat jaarlijks in Mali overlijdt na 1990 steeds sneller gaat.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

opgave 7Rondetijden

Bij het langebaanschaatsen spelen rondetijden een belangrijke rol. Bij
korte afstanden, zoals de 500 meter, gaat het erom zo snel mogelijk na de
start een zo hoog mogelijke snelheid te krijgen en daarna die snelheid zo
lang mogelijk vast te houden. Op middellange afstanden zoals de
3000 meter werkt dat echter niet, omdat de schaatser dan ruim voor de
finish al zo vermoeid raakt dat hij haast niet meer vooruitkomt.
figuur bij de opgave
Veel schaatsers proberen op de middellange afstanden hun race zó in te
delen dat ze elke ronde iets langzamer rijden dan de ronde ervoor, zodat
ze niet voor het eind van de wedstrijd instorten. De toename van de
rondetijden wordt verval genoemd. Een schaatser die bijvoorbeeld eerst
een ronde in 36 seconden aflegt en daarna in 39 seconden, heeft een
verval van 3 seconden.
Amateurschaatser Piet Versnel is aan het trainen om de 3000 meter in
minder dan 5 minuten af te leggen. De 3000 meter bestaat uit een eerste
deel van 200 meter en daarna nog zeven volledige ronden van elk 400
meter.
De tijd over de eerste 200 meter van Piet is na enkele maanden trainen
gelijk aan 23,3 seconden. Piet weet dat hij 65% langer doet over de
eerste volledige ronde dan over de eerste 200 meter.
Hij wil de 3000 meter zó rijden dat zijn verval gedurende de 7 volledige
ronden elke ronde constant is.
226p

Procenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rijen en recursie 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p

Onderzoek hoe groot het verval van Piet Versnel maximaal mag zijn om
de 3000 meter in minder dan 5 minuten af te leggen. Geef je antwoord in
seconden en in twee decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.