opgave 1Een exponentiële functie
De functie f is gegeven door f(x) = e−2x. A is het snijpunt van de grafiek van f
met de y-as. B is het snijpunt van de raaklijn aan de grafiek van f in A met de
x-as. Zie figuur 1.
figuur 1
14pBereken exact de x-coördinaat van B.
In figuur 2 is voor een waarde van p het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt
ingesloten door de grafiek van f, de lijn x = p, de x-as en de y-as.
figuur 2
25pToon aan dat de oppervlakte van dit vlakdeel voor elke positieve waarde van p
kleiner is dan
.
De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van f door deze over een afstand a
omlaag te schuiven, met 0 < a < 1. De grafiek van g heeft zowel een snijpunt met
de x-as als met de y-as.
36pBereken voor welke waarde van a deze snijpunten even ver van O(0, 0) liggen.
opgave 2Looptijden
Een gepensioneerde man bezoekt elke dag zijn hoogbejaarde moeder in een
verzorgingstehuis. Daarvoor maakt hij dagelijks een wandeling van 2,1 km.
De looptijd T van zijn wandeling is bij benadering normaal verdeeld met
verwachtingswaarde 28 minuten en standaardafwijking 2,5 minuten.
Voor de gemiddelde loopsnelheid
v tijdens de wandeling geldt
.
Hierbij is T in minuten en v in km/uur.
De man maakt de wandeling 7 keer per week.
45pBereken op hoeveel dagen per week naar verwachting zijn gemiddelde
loopsnelheid groter is dan 5,0 km/uur.
We bekijken het volgende vermoeden:
v is normaal verdeeld met verwachtingswaarde
km/uur.
Als een toevalsvariabele X normaal verdeeld is met verwachtingswaarde μ, geldt
voor elke waarde van a: P(X < μ − a) = P(X > μ + a). Zie figuur 3.
figuur 3
Als we een waarde van a kunnen vinden waarvoor P(v < 4,5 − a) niet gelijk is
aan P(v > 4,5 + a), dan geldt dat v niet normaal verdeeld is met
verwachtingswaarde 4,5.
55pToon met een berekening aan dat het vermoeden dat v normaal verdeeld is met
verwachtingswaarde 4,5 km/uur niet juist is.
opgave 4Rechthoek in ovaal
Het ovaal in figuur 6 bestaat uit een vierkant van 2 bij 2 met aan weerszijden
een halve cirkel met straal 1. M is het middelpunt van een van de halve cirkels.
figuur 6
In het ovaal wordt een rechthoek ABCD getekend met de hoekpunten op de
halve cirkels en met de zijden evenwijdig aan de zijden van het vierkant.
rad (
). Zie figuur 7. Hierin is de rechthoekige driehoek
AMS te zien met rechthoekszijden sin α en cosα.
figuur 7
74pToon aan dat deze formule juist is.
Er geldt:
cos
84pToon aan dat de formule voor
juist is.
Er is een waarde van
α, met
waarvoor de oppervlakte van rechthoek
ABCD maximaal is.
94pBereken langs algebraïsche weg de maximale oppervlakte van rechthoek
ABCD.
opgave 5Een dobbelspel
De personen K en L spelen een dobbelspel. Elk van de spelers begint met twee
fiches; de pot is dan nog leeg. Zie figuur 8.
Bij het spel wordt geworpen met speciale dobbelstenen: op vier kanten van zo'n
dobbelsteen staat een stip (•), op één kant een A en op één kant een P. Zie
foto.
De spelregels zijn:
− De spelers werpen om de beurt met één of twee dobbelstenen.
− De speler die aan de beurt is, werpt met één dobbelsteen als hij één fiche
heeft en met twee dobbelstenen als hij twee of meer fiches heeft.
− Voor elke A die een speler werpt, moet hij 1 fiche aan de andere speler
geven.
− Voor elke P die een speler werpt, moet hij 1 fiche in de pot doen.
− Voor een stip (•) hoeft hij geen fiche af te geven.
− Wanneer een speler geen fiches meer heeft, heeft hij verloren (en de andere
speler gewonnen).
Hiernaast staat een mogelijk
spelverloop waarbij speler K is
begonnen. In zijn tweede beurt
werpt speler K met één
dobbelsteen want hij heeft nog
maar één fiche.
Neem aan dat speler K begint.
De kans dat speler K na zijn eerste beurt nog 1 fiche heeft en L dan 3 fiches
heeft, is
.
103pToon dit aan.
Op een gegeven moment heeft K 2 fiches, L 1 fiche en de pot 1 fiche. Op dit
moment is L aan de beurt.
114pBereken de kans dat, na deze beurt van L, K nog één beurt krijgt en het spel
daarna afgelopen is.
Een toeschouwer heeft het spel met de computer heel vaak gesimuleerd. Op
grond van het resultaat beweert hij dat de speler die begint, 43% kans heeft om
het spel te winnen en de andere speler 57%.
De spelers K en L spelen het spel tien keer, waarbij speler K steeds begint.
Veronderstel dat de toeschouwer gelijk heeft.
126pBereken de kans dat een van beide spelers minstens zeven keer wint.
opgave 7File
Op een autoweg bevindt zich een stilstaande file, waarvan F de achterste auto
is. Op enige afstand nadert een auto A met een constante snelheid van 25 m/s.
Op tijdstip t = 0 zet de file zich in beweging. De afstand tussen A en F is dan
300 meter. Zie figuur 12.
figuur 12
We nemen aan dat auto F met
een constante versnelling van
0,80 m/s2 optrekt.
We bekijken de afstand s (in
meters) na t seconden,
gemeten vanaf de plaats waar
de voorkant van auto A op
tijdstip 0 is.
Voor de voorkant van auto A
geldt: sA(t) = 25t.
Voor de achterkant van auto F
geldt: sF(t) = 300 + 0,40t2.
In figuur 13 zijn de grafieken
van sA en sF getekend.
Als auto A niet tijdig afremt, zal hij op een gegeven moment achterop auto F
botsen.
176pBereken met welk snelheidsverschil auto A in dat geval op auto F botst.
Als de afstand tussen A en F op tijdstip t = 0 groot genoeg geweest zou zijn,
dan had A niet hoeven afremmen om een botsing te vermijden. De grafieken van
sA en sF hebben in dat geval geen punt gemeenschappelijk.
184pBereken bij welke afstanden tussen A en F op tijdstip t = 0 A niet had hoeven
afremmen. Geef je antwoord in tientallen meters nauwkeurig.
, met
en
