bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2011, tijdvak 1

naslagFormules

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. middelloodlijn, Meetkundige…

Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid. middelloodlijn, Meetkundige plaatsen: bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken: hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. hoekensom Vierhoeken: vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken: koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn, koordenvierhoek. Goniometrie sin( t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin( t − u ) = sin t cos u − cos t sin u cos( t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos( t − u ) = cos t cos u + sin t sin u

opgave 2Tussen twee grafieken

De functie f is gegeven door f(x) = √(1 − x).
In figuur 1 zijn op het interval
figuur 1
[0,1] de grafiek van f en de lijn
y = x getekend.
De grafiek van f en de lijn y = x
snijden elkaar in het punt T.
Op de lijn y = x ligt tussen
O(0, 0) en T een punt P(p,p).
De lijn y = p snijdt de grafiek
van f in het punt Q.
y 1 f y = x T p P Q O p 1 x
De rechthoek waarvan PQ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende
zijde op de x-as ligt, is in figuur 1 voor een waarde van p grijs gemaakt.
De x-coördinaat van Q is 1 − p2.
13p
Toon dit aan.
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van de rechthoek
maximaal is.
26p
Bereken exact deze waarde van p.
Het gebied V wordt begrensd
figuur 2
36p
door de grafiek van f, de y-as,
de lijn y = x en de lijn x = (1)/(2).
Zie figuur 2.
Bereken exact de inhoud van
het omwentelingslichaam dat
ontstaat wanneer V om de x-as
wordt gewenteld.
y 1 f y = x T V O 1 x x=1 2

opgave 3Raakcirkels aan een lijn

Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dat de
afstand van F tot k gelijk is aan de afstand van k tot m.
We bekijken de cirkels die door F gaan en aan k raken.
In figuur 1 zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de
middellijn vanuit F getekend. Elke middellijn heeft behalve F nog een tweede
eindpunt op de raakcirkel.
De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met
brandpunt F en richtlijn m liggen.
figuur 1
F k
m
In figuur 2 is een van de raakcirkels getekend met middelpunt M, middellijn FX
en raakpunt R. De loodlijn vanuit F op k en m snijdt k in G en m in H, dus
FG = GH. Lijn FR snijdt m in S.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
X M F = R G k = S H m
Er geldt: FR = RS.
44p
Bewijs dit.
Uit FS = 2 ⋅ FR en FX = 2 ⋅ FM en ∠XFS = ∠MFR volgt de gelijkvormigheid van
de driehoeken FXS en FMR (zhz).
Met behulp van deze gelijkvormigheid kan bewezen worden dat XS loodrecht op
m staat.
53p
Bewijs op deze manier dat XS loodrecht op m staat.
63p
Bewijs dat punt X inderdaad ligt op de parabool met brandpunt F en richtlijn m.

opgave 4Extrusie

foto Op de foto hiernaast zie je enkele staven met verschillende profielen. Profielen kunnen gemaakt worden door middel van extrusie . Bij deze techniek wordt bijvoorbeeld verwarmde kunststof door een opening geperst. De opening bepaalt de vorm van het extrusieprofiel. In figuur 1 zie je een…

foto Op de foto hiernaast zie je enkele staven met verschillende profielen. Profielen kunnen gemaakt worden door middel van extrusie . Bij deze techniek wordt bijvoorbeeld verwarmde kunststof door een opening geperst. De opening bepaalt de vorm van het extrusieprofiel. In figuur 1 zie je een illustratie hiervan. figuur 1 De druk die nodig is om het materiaal door de opening te persen, is onder andere afhankelijk van de grootte en de vorm van de opening. De invloed van de vorm hangt af van het quotiënt Hierin is P de omtrek van de opening (in cm) en A de oppervlakte van de opening (in cm 2 ). Zo geldt voor cirkelvormige openingen: We vergelijken twee openingen die gelijkvormig zijn. Zie bijvoorbeeld figuur 2. figuur 2 Van de grote opening zijn de breedte en de hoogte k keer zo groot als de breedte en de hoogte van de kleine opening.

Toon aan dat kleine opening.
figuur 3 In figuur 3 is een opening getekend waarvan één rand recht is en de andere rand de vorm van een parabool heeft. De rechte rand is 4 cm lang. De top van de parabool bevindt zich 3 cm boven het midden van de rechte rand. We nemen een assenstelsel met de x -as langs de rechte rand en de y -as…

figuur 3 In figuur 3 is een opening getekend waarvan één rand recht is en de andere rand de vorm van een parabool heeft. De rechte rand is 4 cm lang. De top van de parabool bevindt zich 3 cm boven het midden van de rechte rand. We nemen een assenstelsel met de x -as langs de rechte rand en de y -as door de top van de parabool. De parabolische rand wordt dan beschreven door de vergelijking y = 3 − ¾ x 2 , met x en y in cm.

Bereken de waarde van antwoord af op één decimaal. We vergelijken rechthoekige openingen van x bij 1 cm. In figuur 4 staan drie voorbeelden. figuur 4 1 In figuur 5 is van dergelijke rechthoekige openingen de waarde van het quotiënt figuur 5 De grafiek in figuur 5 heeft één top.
Bereken langs algebraïsche weg de x -coördinaat van deze top.

opgave 5De formule van Gompertz

Verzekeringsmaatschappijen en pensioenfondsen maken bij het berekenen van
de premies en uitkeringen een schatting van de levensverwachting van
verzekerden. Daarbij wordt vaak een formule gebruikt waarvan de vorm
gebaseerd is op de resultaten van een onderzoek uit 1825 van de
verzekeringswiskundige Benjamin Gompertz (1779 - 1865).
Voor een levensverzekering die op een leeftijd van 40 jaar afgesloten wordt,
hanteerde een verzekeringsmaatschappij in de 19e eeuw de volgende formule
van Gompertz om het percentage nog levende verzekerden met een bepaalde
leeftijd te schatten:
P(t) = 119 ⋅ e−0,0161⋅e0,0595t
Hierin is t ≥ 40 en geeft P(t) aan welk percentage van de mensen die zo’n
verzekering afsloten minstens t jaar oud wordt.
104p
Bereken hoeveel jaar na het afsluiten van de levensverzekering volgens deze
formule de helft van de polishouders is overleden.
De gegeven formule is ook te schrijven in de vorm P(t) = 100 ⋅ em−0,0161⋅e0,0595t.
113p
Bereken langs algebraïsche weg de waarde van m. Rond je antwoord af op twee
decimalen.
De algemene formule van Gompertz heeft de vorm P(t) = a ⋅ e−b⋅ekt, met
positieve waarden van a, b en k.
Een eigenschap van deze algemene formule is:
(P'(t))/(P(t)) = c ⋅ e^k^t
Hierin hangt de waarde van c af van de waarden van b en k.
124p
Druk c uit in b en k.

opgave 6Goniometrische functies

De functie f is gegeven door
figuur 1
134p
f(x) = sin x + sin(2x) op het
domein [0,π].
In figuur 1 is de grafiek van f
getekend. Deze grafiek snijdt de
x-as tussen O(0,0) en A(π,0) in
het punt B.
Bereken exact de x-coördinaat van
punt B.
y 2 1 f B A O x
Voor elke positieve waarde van a
figuur 2
is de functie fa gegeven door
fa(x) = sin x + a ⋅ sin(2x) op het
domein [0,π].
In figuur 2 is voor enkele waarden
van a de grafiek van fa getekend.
Voor een bepaalde waarde van a
heeft de grafiek van fa twee
toppen en is de x-coördinaat van
een van deze toppen (5)/(6)π.
y 2 1 O x
145p
Bereken in twee decimalen
nauwkeurig de x-coördinaat van de
andere top bij deze waarde van a.
Voor elke waarde van a waarvoor
figuur 3
155p
geldt 0 < a < (1)/(2) ligt de grafiek van
fa tussen (0,0) en (π,0) geheel
boven de x-as. In figuur 3 is een
dergelijke grafiek getekend.
Toon aan dat de oppervlakte van
het vlakdeel dat wordt begrensd
door de grafiek van fa en de x-as,
onafhankelijk is van a.
y 2 f 1 a O x

opgave 7Cirkels bij een driehoek

Gegeven is een driehoek ABC, met punt D op zijde BC. In figuur 1 is deze
driehoek getekend met zijn omgeschreven cirkel. Figuur 1 staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 1
C D A B
De cirkel door D die de lijn AB raakt in A, snijdt de omgeschreven cirkel van
driehoek ABC behalve in A ook in punt E.
163puitwerkbijlage
Teken op de uitwerkbijlage punt E. Licht je werkwijze toe.
De cirkel door D die de lijn AB raakt in B en de cirkel door D die de lijn AC raakt
in C, hebben koorde DF gemeenschappelijk. Zie figuur 2.
Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
C F D A B
174p
Bewijs dat vierhoek ABFC een koordenvierhoek is.

opgave 8Vierkant bij een derdegraadskromme

De functie f is gegeven door f(x) = bx − (1)/(3)x^3 met b > 0.
De grafiek van f snijdt de positieve x-as in A. T is de top van de grafiek van f die
ligt tussen de y-as en de verticale lijn door A. De x-as, de verticale lijn door A,
de horizontale lijn door T en de y-as sluiten de rechthoek OABC in. Zie de
figuur.
figuur
y C T B f A O x
188p
Bereken exact de waarde van b waarvoor rechthoek OABC een vierkant is.