bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2023, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Een gebroken functie

De functie f wordt voor x > 0 gegeven door f(x) = 2x + (1)/(x).
De functie f heeft een minimum.
13p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Extremen en optimaliseren 1pexact

Bereken exact dit minimum.
Lijn k is de scheve asymptoot van de grafiek van f.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de lijnen
met vergelijking x = a en x = 2a met a > 0. In de figuur is dit vlakdeel
voor een zekere waarde van a grijsgemaakt.
figuur
figuur
De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a.
25p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Primitiveren 1p · +1exact

Bewijs dit.
Verder is gegeven de lijn met vergelijking y = 3. Deze lijn en de grafiek
van f sluiten een vlakdeel W in dat wordt gewenteld om de lijn met
vergelijking y = 3.
34p

Inhoud van omwentelingslichamen 3p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1pGR mag

Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.

opgave 3Buigen van metalen platen

In de werktuigbouw moeten vaak metalen platen in een bepaalde hoek
worden gebogen. Een van de technieken die daarbij worden gebruikt is
vrijbuigen. Daarbij ligt de metalen plaat op een matrijs met een bepaalde
vorm. Hierna wordt een stempel met kracht op de plaat gedrukt, zodat
deze de gewenste vorm krijgt. In figuur 1 is dit in een vooraanzicht
weergegeven. In figuur 2 zie je een voorbeeld van een metalen plaat na
het buigen.
figuur 1
figuur 2
figuur 1
figuur 2
Tijdens het vrijbuigen treedt vervorming op: aan de buitenkant rekt het
metaal iets op en aan de binnenkant wordt het samengedrukt. In het
inwendige van de metalen plaat bevindt zich de neutrale lijn: de lengte
hiervan blijft gelijk na vervorming. In deze opgave nemen we aan dat de
dikte van de plaat bij het buigen gelijk blijft.
In figuur 3 is het vooraanzicht van een metalen plaat met een dikte van
d mm zowel vóór als na het buigen weergegeven. Wanneer de plaat wordt
gebogen over een hoek van 45°, verandert rechthoek ABCD in de vorm
A'B'C'D'. Hierbij is boog C'D' de boog van een cirkel met middelpunt M
en straal 2d en A'B' de boog van een cirkel met middelpunt M en straal
3d. De neutrale lijn P'Q' is een cirkelboog op een afstand van 0,4d van
boog C'D'. Verder geldt dat de lengte van de neutrale lijn gelijk blijft, dus
de lengte van boog P'Q' is gelijk aan de lengte van PQ.
figuur 3
45p

Formules en vergelijkingen opstellen 3p · Rekenen met een gegeven formule 2pexact

Bereken algebraïsch hoeveel procent de oppervlakte van vlakdeel
A'B'C'D' groter is dan de oppervlakte van vlakdeel ABCD. Geef je
eindantwoord als geheel getal.
De kracht die uitgeoefend moet worden op een metalen plaat om deze te
buigen, hangt af van het soort metaal, de dikte van het metaal en de
breedte van de opening van de matrijs. De formule om deze kracht uit te
rekenen luidt:
F = (R ⋅ d)/(V)^2 1 + (4d)/(V)
(formule 1)
Hierbij is:
− F de benodigde kracht (in kN/m);
− R een constante die afhangt van het soort metaal;
− d de dikte van het metaal (in mm);
− V de breedte van de opening van de matrijs (in mm).
Voor het buigen van een metalen plaat met een dikte van 10 mm op een
matrijs met een opening van 200 mm is een kracht van 420 kN/m nodig.
Als je deze metalen plaat zou buigen op een matrijs met een opening van
100 mm is meer kracht nodig.
53p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pexact

Bereken algebraïsch hoeveel kracht er nodig is om deze metalen plaat te
buigen op een matrijs met een opening van 100 mm breed. Geef je
eindantwoord als een geheel getal.
Om bij een gegeven plaatdikte de breedte van de opening van de matrijs
te berekenen, wordt de volgende formule gebruikt:
V = d1,75
(formule 2)
Door formule 1 en formule 2 te combineren krijg je een formule die de
benodigde kracht F uitdrukt in R en d.
Er is een plaatdikte d waarbij de benodigde kracht F minimaal is.

opgave 4Gedraaide parabool

De bewegingsvergelijkingen van een punt P worden gegeven door: / x P ( t ) = 2 t 2 y P ( t ) = 2 t uuur Punt M is het midden van lijnstuk OP . Vector MP wordt uuuur rechtsom geroteerd om M over 90 ° . Zo ontstaat de beeldvector MQ . In figuur 1 is voor een waarde van t de situatie weergegeven.…

De bewegingsvergelijkingen van een punt P worden gegeven door: / x P ( t ) = 2 t 2 y P ( t ) = 2 t uuur Punt M is het midden van lijnstuk OP . Vector MP wordt uuuur rechtsom geroteerd om M over 90 ° . Zo ontstaat de beeldvector MQ . In figuur 1 is voor een waarde van t de situatie weergegeven. figuur 1 Tijdens de beweging van P beschrijft ook het punt Q een baan. In figuur 1 is deze baan gestippeld weergegeven. De bewegingsvergelijkingen van Q worden gegeven door: / x Q ( t ) = t + t 2 2 / y Q ( t ) = t − t

opgave 5Absolute sinus

De functie f wordt gegeven door In de figuur is de grafiek van f als doorgetrokken lijn weergegeven. figuur In de figuur zijn de toppen A en B van de grafiek van f aangegeven. A en B zijn de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y -as. Er bestaat een sinusoïde die gegeven…

De functie f wordt gegeven door In de figuur is de grafiek van f als doorgetrokken lijn weergegeven. figuur In de figuur zijn de toppen A en B van de grafiek van f aangegeven. A en B zijn de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y -as. Er bestaat een sinusoïde die gegeven wordt door g ( x ) = a + b sin( x ) , waarvan twee opeenvolgende toppen samenvallen met de punten A en B. De grafiek van g is in de figuur gestippeld weergegeven.

opgave 6Logaritmische functies

De functie f wordt gegeven door:
figuur 1
136p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 2pexact

figuur 1
f(x) = ln(x)
De functie g wordt gegeven door:
g(x) = 1 + e^2 ⋅ (1 − ln(x))
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g
weergegeven. De raaklijnen aan de
grafieken van f en g snijden elkaar
loodrecht in het snijpunt.
Bewijs dit.
In figuur 2 zijn de grafieken van f en
figuur 2
144p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

g opnieuw weergegeven.
Ook is voor een waarde van q de lijn
met vergelijking y = q weergegeven.
Deze lijn snijdt de grafiek van g in
punt A en de grafiek van f in punt B,
waarbij punt A links van punt B ligt.
Er geldt dat AB = 3.
Bereken de bijbehorende waarde
van q. Geef je eindantwoord in één
figuur 2
decimaal.

naslagBissectrice in een rechthoek

Gegeven is rechthoek OABC met O(0,0), A(8,0) en C(0,4).
De punten F en E zijn de middens van respectievelijk OA en BC. Op de
negatieve y-as ligt punt P(0, p). Punt D is het snijpunt van het verlengde
van lijnstuk PF en lijnstuk AC. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
De lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED.

opgave 85p 15 Bewijs dit voor het geval p = − 2.

M(4,2) is het snijpunt van AC en EF. Cirkel c heeft middelpunt M en gaat
door D. Afhankelijk van de positie van punt P (en dus van de waarde van
p) is de cirkel groter of kleiner. Er is precies één waarde van p waarvoor
cirkel c raakt aan OA en BC. In figuur 2 is deze situatie weergegeven.
figuur 2
figuur 2
166p

Gelijkvormigheid 2p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1p · +1exact

Bereken exact deze waarde van p.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 9Exponentiële breuk

De functie f wordt gegeven door f(x) = (1)/(ex + 1).
De grafiek van f heeft twee horizontale asymptoten.
173p

Eigenschappen van functies en grafieken 3pexact

Bereken exact de afstand tussen deze twee horizontale asymptoten.
Een primitieve van f is F(x) = x − ln (ex+1).
183p

Kettingregel 2pexact

Bewijs dit.
Lijn k heeft vergelijking x = a, met a > 0.
De grafiek van f, de x-as, de y-as en lijn k sluiten een vlakdeel in. De
oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van a kleiner dan ln (2).
194p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Ongelijkheden oplossen 2pexact

Bewijs dit.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.