bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2025, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Vierdegraadsfunctie

De vierdegraadsfunctie f wordt gegeven door f(x) = x4 − 30x2.
De grafiek van f heeft twee buigpunten met dezelfde y-coördinaat.
De y-coördinaat van de buigpunten is −125.
14p

De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 2p · Tweede afgeleide en buigpunten 2pexact

Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten −125 is.
De lijn door de buigpunten B en C snijdt de grafiek van f in twee andere
punten, A en D. Zie de figuur.
figuur
figuur

opgave 3Druppel

De kromme K wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
x_y(_(t_t)_) =_ = s_ci_on_s(_(t_t)_) ⋅ (cos(t) − 1)
met 0 ≤ t ≤ 2π
Deze kromme is weergegeven in de figuur.
figuur
figuur
In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.
36p

Product- en quotiëntregel 2p · Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 2p · Goniometrische formules en herleidingen 1p · +1exact

Bereken exact de coördinaten van deze drie punten.
Voor de punten op kromme K geldt:
x2 = − y4 + 2y3 − 2y +1
44p

Formules herleiden en omwerken 3p · Goniometrische formules en herleidingen 1pexact

Bewijs dit.
Kromme K sluit een vlakdeel in dat symmetrisch is in de y-as. Door dit
vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam in de
vorm van een druppel.
54p

Inhoud van omwentelingslichamen 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Primitiveren 1pexact

Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.

opgave 4Cirkels in een cirkel

Gegeven is de cirkel c1 met middelpunt M en straal 3.
Verder zijn gegeven de cirkels c2, c3 en c4, zó dat geldt:
− Cirkels c2, c3 en c4 raken cirkel c1.
− Cirkel c2 heeft middelpunt N en straal 2.
− Cirkel c3 heeft middelpunt P en straal r.
− Cirkel c4 heeft middelpunt Q en straal r.
− Cirkel c3 en c4 raken elkaar in punt S.
− Cirkels c3 en c4 raken c2.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur
figuur
Er geldt: MS = √(9 − 6r)
63puitwerkbijlage

Meetkundig bewijzen 1p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
Er geldt verder dat MN = 1.
76puitwerkbijlage

Meetkundig bewijzen 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 2p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 1p · +1exact

Bereken exact de waarde van r. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 5Een wortelfunctie en haar inverse

Voor x ≥ 0 worden de functies f en g gegeven door f(x) = √(x2 − 1)(1)/(2) en
g(x) = √(2x2 + 2). De functies f en g zijn elkaars inverse.
83p

Inverse functies 2pexact

Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.
Lijn k met vergelijking y = − x + a, met a ≥ √(2), snijdt de grafiek van f in
punt P en de grafiek van g in punt Q. Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
De lengte van lijnstuk PQ is afhankelijk van a.
PQ3a 24 a2 1
Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is.
95p

Kettingregel 2p · Extremen en optimaliseren 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1exact

Bereken exact deze waarde van a.
In figuur 2 zijn opnieuw de grafieken van f, g en k weergegeven, nu voor
a = 17. Lijn k snijdt de grafiek van f in het punt (10,7).
Vlakdeel V is het gebied dat begrensd wordt door de grafieken van f en g,
de x-as, de y-as en lijn k. In figuur 2 is V grijs gemaakt.
figuur 2
figuur 2
106p

Bepaalde integralen en oppervlakte 4p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken de oppervlakte van V. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 6Op en neer

Twee leerlingen doen als volgt een onderzoek voor hun profielwerkstuk:
Een metalen blokje hangt figuur 1
aan een lange veer die is
bevestigd aan een plafond
op een hoogte van 350 cm.
Het blokje wordt recht naar
beneden getrokken en op
t = 0 losgelaten. Het blokje
beweegt vervolgens op en
neer. Zie figuur 1.
De afmetingen van het
blokje en de wrijvingskracht
worden verwaarloosd.
figuur bij de opgave
Zowel het blokje als de veer heeft een zwaartepunt. In deze opgave
bekijken we eerst de zwaartepunten van het blokje en de veer apart.
De hoogte van het zwaartepunt van het blokje wordt benaderd door het
volgende model: Zblokje(t) = 150 − 100cos(4t)
Hierbij is Zblokje de hoogte van het zwaartepunt van het blokje in cm en
t de tijd in seconden.
Het zwaartepunt van de veer bevindt zich op elk moment in het midden
van de veer.
113p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 1pGR mag

Laat met behulp van het gegeven model van het blokje en figuur 1 zien
dat voor de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm geldt: de
amplitude is 50 en de evenwichtsstand is 250.
Op het moment dat het blokje in het laagste punt wordt losgelaten, is zijn
snelheid 0. Daarna neemt de snelheid toe tot de maximale snelheid, om
vervolgens weer af te nemen, totdat in het hoogste punt de snelheid weer 0
is. In figuur 2 is de grafiek van de snelheid v tijdens de opgaande beweging
weergegeven.
figuur 2
figuur 2
Tijdens de opgaande beweging zijn er twee hoogtes waarop de snelheid
van het blokje gelijk is aan 255 cm/seconde.
123p

Kettingregel 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken deze twee hoogtes. Geef je eindantwoord in centimeters
nauwkeurig.
De hoogte van het zwaartepunt van de veer wordt benaderd door het
volgende model: Zveer(t) = 250 − 50cos(4t)
Hierbij is Zveer de hoogte van het zwaartepunt van de veer in cm en t de tijd
in seconden.
Er kan ook gekeken worden naar het zwaartepunt van het blokje en de veer
samen. De massa van de veer is 600 gram en de massa van het blokje is
1000 gram. Ztotaal is de hoogte van het zwaartepunt van blokje en veer
samen.
133p

Formules en vergelijkingen opstellen 2p · Formules herleiden en omwerken 1pGR mag

Stel een formule op van Ztotaal in de vorm Ztotaal(t) = a + bcos(4t). Licht je
werkwijze toe.

opgave 7Een raaklijn met twee cirkels

Gegeven zijn de punten A(−6, − 6) en B(−18, − 2).
Lijn k is de lijn met vectorvoorstelling xy = 200 + t − 11.
Er bestaan twee cirkels c1 en c2 die voldoen aan de volgende eisen:
− Punt A en punt B liggen op de cirkel.
− De cirkel raakt aan lijn k.
Cirkel c1 heeft middelpunt M1 en raakt aan lijn k in het punt R1.
Cirkel c2 heeft middelpunt M2 en raakt aan lijn k in het punt R2.
Zie de figuur. In de figuur is c2 vanwege de grootte slechts gedeeltelijk
weergegeven. Middelpunt M2 valt buiten de figuur.
figuur
figuur
Voor een willekeurig punt P op de middelloodlijn van AB geldt:
P(p,3p + 32)
De loodrechte projectie van punt P op lijn k is P'. Zie de figuur.
De coördinaten van P' zijn (− p − 6, p + 26).
144p

Stelsels van lineaire vergelijkingen 3p · Vectoren en inproduct 1pexact

Bewijs dat de coördinaten van P' juist zijn.
M1 en M2 liggen, net als P, op de middelloodlijn van AB. Als P samenvalt
met M1, dan geldt dat PP' gelijk is aan de straal van de bijbehorende
cirkel en dus ook gelijk aan PB en PA. Met behulp hiervan kunnen de
coördinaten van M1 en M2 worden berekend.

opgave 8Logaritmische functies

De functie f wordt gegeven door f(x) = ln(x + 1).
De functie gp wordt gegeven door gp(x) = ln(px) voor 0 < p ≤ 1.
De grafiek van gp ligt geheel onder de grafiek van f.
In figuur 1 is de grafiek van f weergegeven. figuur 1
164p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 1pGR mag

Ook is voor een waarde van p de grafiek
van gp weergegeven.
De lijn met vergelijking x = a (met a > 0)
snijdt de grafieken van f en gp in de
punten A en B.
Voor p = 1 is er een waarde van a
waarvoor geldt: OB = OA + 2
Bereken deze waarde van a. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
figuur bij de opgave
Voor een bepaalde waarde van p geldt:
als a onbegrensd toeneemt, nadert de afstand AB tot 1.
174p

Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p · Formules herleiden en omwerken 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · +1exact

Bereken exact deze waarde van p.
De functie hq wordt gegeven door
figuur 2
186p

Kettingregel 2p · Eigenschappen van functies en grafieken 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · +1exact

h_q(x) = (1)/(2)ln(− x) + q.
In figuur 2 is voor een bepaalde waarde van
q de grafiek van hq weergegeven. Voor
deze waarde van q raakt de grafiek van hq
de grafiek van f links van de y-as.
Bereken algebraïsch deze waarde van q.
Geef je eindantwoord in twee decimalen.
figuur 2
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.