bronnen

Eindexamen wiskunde C vwo 2011, tijdvak 1

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES Kansrekening -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal…

OVERZICHT FORMULES Kansrekening -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X : = n ⋅ E ( X ) σ ( S ) = n ⋅ σ ( X ) ) = E ( X ) Binomiale Voor de binomiaal verdeling verdeelde toevalsvariabele X , waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: = = ⎛ n ⎞ ⋅ k ⋅ − n − k P( X k ) ⎜ ⎟ p (1 p ) met k = 0, 1, 2, 3, …, n ⎝ k ⎠ Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Voor Normale een verdeling toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en Z = is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < Logaritmen regel voorwaarde g log a + g log b = g log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g − g = g a log a log b log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log a p = p ⋅ g log a g >0, g ≠ 1, a >0 p log a g log a = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log a p log g g >0, g 1, a >0, p >0, p 1

opgave 1Autobanden

De meeste personenauto’s hebben 4 banden. Als een auto 1160 kg zwaar is,
moet elke band 290 kg dragen. Van een auto die bijvoorbeeld 1800 kg zwaar is,
moet elke band 450 kg dragen. Een zwaardere auto heeft daarom een zwaarder
type band nodig.
Om te zien hoeveel kg een band kan dragen, staat op elke band een code. Een
voorbeeld daarvan is de code 190/60 R 15 88. Het laatste getal, 88, heet de
belastingsindex. Deze index bepaalt het gewicht dat de band kan dragen. Dit
verband wordt beschreven met de formule:
G = 45 ⋅1,0291B
Hierin is B de belastingsindex en is G het gewicht in kg dat de band kan dragen.
13p
Bereken hoeveel procent de band met belastingsindex 88 meer kan dragen dan
de band met belastingsindex 66.
Een bepaalde band kan een gewicht van 750 kg dragen.
23p
Bereken de belastingsindex van deze band.
Als een band te weinig spanning heeft, dan zit er te weinig lucht in die band. Als
de spanning van een band bijvoorbeeld 3 bar1) hoort te zijn en de spanning is
maar 2,7 bar dan is de spanning maar 90% van de voorgeschreven waarde. In
dat geval zegt men dat de band 10% onderspanning heeft.
Rijden met onderspanning heeft nadelige gevolgen voor het milieu. Als je rijdt
met een band met onderspanning, dan verbruikt de auto extra brandstof.
Stichting ‘De Groene Garage’ wil automobilisten daar bewust van maken.
Volgens ‘De Groene Garage’ bestaat er een bijna lineair verband tussen het
percentage extra brandstofverbruik en het percentage onderspanning. Dit
verband is weergegeven in figuur 1.
figuur 1
Verband onderspanning en extra brandstofverbruik
8 % extra 7 brandstof- 6 verbruik 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 % onderspanning
noot 1 bar: meest gebruikte eenheid van druk (vergelijk: meter is de eenheid van lengte)
De banden van de auto van de familie Wagenaar hebben een onderspanning
van 50%. De auto verbruikt daardoor 1 liter benzine per 15,5 km.
34p
Hoeveel km kan deze auto met 1 liter benzine rijden als de banden de
voorgeschreven spanning zouden hebben? Geef een duidelijke berekening of
toelichting.
Volgens ‘De Groene Garage’ is een ander nadelig gevolg van onderspanning dat
banden sneller slijten. In figuur 2 zie je de invloed weergegeven die
onderspanning heeft op de levensduur van een band.
figuur 2
Verband levensduur en onderspanning 100 levensduur 90 van de band 80 in % van 70 het maximum 60 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 bandenspanning in % van de voorgeschreven waarde
De heer Groenwold komt bij een tankstation om de bandenspanning te laten
controleren. De banden hebben een spanning van 2,4 bar. Volgens de
pompbediende is de onderspanning zodanig dat de levensduur van de banden
met 40% verminderd is.
43p
Bereken hoeveel bar de voorgeschreven spanning van deze banden is.
Wanneer een band zo versleten is dat er minder dan 1,6 mm profiel op zit, dan
wordt die band afgekeurd bij de jaarlijkse keuring (APK). De versleten band
moet dan worden vervangen.
Volgens ‘De Groene Garage’ is de jaarlijkse slijtage van de banden normaal
verdeeld met een gemiddelde van 1,5 mm en een standaardafwijking van
0,45 mm.
Bij de APK van vorig jaar had de linker voorband van de heer Groenwold nog
een profiel van 2,8 mm.
54p
Bereken de kans dat deze band wordt afgekeurd bij de eerstvolgende jaarlijkse
keuring.

opgave 2Voorzittersverkiezing

In september 2007 konden de leden van de PvdA via een ledenraadpleging een
nieuwe partijvoorzitter kiezen.
Aan deze ledenraadpleging deden 26 360 leden mee. Die 26 360 leden vormden
44,1% van het aantal PvdA-leden van dat moment.
62p
Bereken hoeveel leden de PvdA op dat moment had.
Voor de functie van partijvoorzitter waren 7 kandidaten. Bij de ledenraadpleging
konden de leden via een stemformulier elke kandidaat een plaatsnummer geven:
nummer 1 voor de meest gewenste voorzitter, nummer 2 voor de op één na
meest gewenste voorzitter en zo verder tot nummer 7 voor de minst gewenste
voorzitter. Zo werd iedere kandidaat door elke deelnemer op één van de
plaatsen 1 tot en met 7 gezet.
Door deze stemprocedure waren er veel manieren waarop een stemformulier
ingevuld kon worden. Een bepaalde volgorde kan natuurlijk vaker voorkomen.
Een onderzoeker beweerde: “Elke mogelijke volgorde komt gemiddeld ruim
5 keer voor”.
73p
Ga door berekening na of deze bewering juist is.
Om partijvoorzitter te worden, had een kandidaat de meerderheid nodig van de
uitgebrachte stemmen. In de tabel staan op de bovenste rij de eerste
voorkeuren van de deelnemers. Er was duidelijk geen kandidaat die in eerste
instantie de meerderheid van de stemmen haalde. Zolang nog geen kandidaat
de meerderheid had, werden de stemformulieren in een aantal stappen
verwerkt.
tabel
stap De Baedts Van Dekken Mulder Ploumen Pronk Tesfaye Voerman 1 totalen 844 1824 1645 9645 10292 203 1907 herverdeeld 42 17 24 54 43 23 2 totalen 886 1841 1669 9699 10335 1930 herverdeeld 351 75 221 93 146 3 totalen…

stap De Baedts Van Dekken Mulder Ploumen Pronk Tesfaye Voerman 1 totalen 844 1824 1645 9645 10292 203 1907 herverdeeld 42 17 24 54 43 23 2 totalen 886 1841 1669 9699 10335 1930 herverdeeld 351 75 221 93 146 3 totalen 2192 1744 9920 10428 2076 herverdeeld 410 713 229 392 4 totalen 2602 10633 10657 2468 herverdeeld 738 1120 610 5 totalen 3340 11753 11267 herverdeeld 2520 820 6 totalen 14273 12087

Bij elke stap viel de kandidaat met de minste stemmen af. Deze stemmen
werden verdeeld onder de overgebleven kandidaten volgens de
voorkeursvolgorde op de betreffende stemformulieren.
Bij de eerste stap viel de kandidaat af met de minste stemmen, Tesfaye.
Van de leden die hem op plaats 1 hadden gezet, werd nu de tweede voorkeur
beschouwd als nieuwe voorkeur voor plaats 1. Hun stemmen verhuisden dus
naar een andere kandidaat. Er waren bijvoorbeeld 43 leden die Tesfaye
nummer 1 hadden gegeven en Pronk nummer 2. Hun stemmen verhuisden dus
van Tesfaye naar Pronk.
Bij de tweede stap viel de kandidaat af die op dat moment de minste stemmen
had: De Baedts.
Ook zijn stemmen werden weer verdeeld volgens de voorkeur van de leden die
hem of Tesfaye op 1 hadden gezet. Hun stemmen vielen nu toe aan de
overgebleven kandidaat die zij de hoogste positie hadden gegeven.
Bij de derde stap werden de stemmen op Mulder als volgt verdeeld: 410 naar
Van Dekken, 713 naar Ploumen, 229 naar Pronk en 392 naar Voerman.
Hierdoor viel Voerman af bij stap 4.
Van Dekken en Voerman stonden bij stap 4 bijna gelijk. Als een aantal stemmen
niet naar Van Dekken, maar naar Voerman zou zijn gegaan, zouden Voerman
en Van Dekken deze ronde gelijk geëindigd zijn.
84p
Bereken dit aantal.
Pas bij stap 6 viel de beslissing en werd Ploumen als nieuwe voorzitter
aangewezen.
Na afloop van de ledenraadpleging kiest een journalist willekeurig 6 leden uit de
26 360 leden die gebruik maakten van de raadpleging. Hij is benieuwd hoeveel
van hen Ploumen hoger hebben gezet dan Pronk.
95p
Bereken de kans dat meer dan de helft van deze 6 leden Ploumen hoger heeft
gezet dan Pronk.

opgave 3Levensduur van woningen

In Nederland is de levensduur van woningen wisselend. Soms werden en
worden betrekkelijk nieuwe woningen gesloopt. Maar er zijn ook nu nog
woningen die al eeuwen bestaan en telkens gerenoveerd worden.
Door de Technische Universiteit Delft is onderzoek gedaan naar dit verschijnsel.
Voor koopwoningen is het resultaat weergegeven in de figuur. De figuur staat
ook vergroot en gedetailleerder op de uitwerkbijlage.
figuur
100 overlevings- 90 percentage 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 leeftijd (in jaren)
In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat in Nederland zo’n 60% van de
koopwoningen een leeftijd van 125 jaar haalt. Of, een ander voorbeeld, je kunt
zien dat de leeftijd van 100 jaar door zo’n 77% van deze woningen gehaald
wordt. Deze percentages noemen we overlevingspercentages.
We vragen ons af bij welke leeftijd het overlevingspercentage het sterkst daalt.
104puitwerkbijlage
Schat deze leeftijd met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage en bepaal
hoeveel procent van de koopwoningen rond die leeftijd jaarlijks wordt gesloopt.
Voor huurwoningen zijn de overlevingspercentages anders dan voor
koopwoningen. Voor huurwoningen wordt het verloop van het
overlevingspercentage goed benaderd met de formule:
p = 56 + (484)/(10 + 1,023t)
Hierin is t de leeftijd van de woning in jaren en p het overlevingspercentage. De
grafiek van p verloopt op een vergelijkbare manier als bovenstaande figuur.
113p
Welke overlevingspercentages p zijn bij bovenstaande formule mogelijk? Licht je
antwoord toe.
123p
Bereken welke leeftijd door precies 70% van de huurwoningen gehaald wordt.
Behalve t = 0 is er nog één leeftijd waarbij het overlevingspercentage
huurwoningen even groot is als dat van koopwoningen. Met de gegevens voor
koopwoningen uit de figuur en de formule voor huurwoningen is deze leeftijd bij
benadering te bepalen.
134puitwerkbijlage
Onderzoek voor welke leeftijd dat het geval is. Je mag daarbij de uitwerkbijlage
gebruiken. Licht je werkwijze toe.
Uit ander onderzoek is gebleken dat bedrijfsgebouwen een veel kortere
levensduur hebben dan woningen. We nemen aan dat voor bedrijfsgebouwen de
levensduur normaal verdeeld is waarbij het gemiddelde 55 jaar bedraagt. De
standaardafwijking is 17 jaar. Een makelaar van bedrijfsgebouwen heeft een
overzicht van 1512 bedrijfsgebouwen en vraagt zich af hoeveel gebouwen van
100 jaar of ouder er in dat overzicht zitten.
144p
Bereken hoeveel gebouwen van 100 jaar of ouder hij in dat overzicht mag
verwachten, uitgaande van die normale verdeling.

opgave 4Kwartetten

Een supermarktketen houdt een actie: “Kwartetten”. Bij elke vijf euro aan boodschappen krijg je een kaart waarop één van de volgende zes producten staat afgebeeld: aardbeienijs, kauwgum, chocoladereep, frisdrank, chips of douchegel. Als je vier kaarten met hetzelfde product erop hebt, krijg je dat…

Een supermarktketen houdt een actie: “Kwartetten”. Bij elke vijf euro aan boodschappen krijg je een kaart waarop één van de volgende zes producten staat afgebeeld: aardbeienijs, kauwgum, chocoladereep, frisdrank, chips of douchegel. Als je vier kaarten met hetzelfde product erop hebt, krijg je dat product als prijs. Op sommige kaarten staat geen product, maar een hand met kaarten: dat is een joker. Je mag ook gebruik maken van een joker: in plaats van vier kaarten met hetzelfde product kun je ook drie kaarten met dat product en één joker gebruiken voor een prijs. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken. De eigenaar van de supermarktketen heeft er voor gezorgd dat 4% van alle kaarten een joker is. Verder zijn er van elk product evenveel kaarten gemaakt, dus 16% kaarten met aardbeienijs, 16% met kauwgum, enzovoort. De kaarten die de klanten krijgen, zijn willekeurig over de supermarkten verdeeld. Er zijn 200 000 kaarten gedrukt. De actie duurt twee weken. Meneer De Vries krijgt in deze twee weken in totaal 10 kaarten. Het aantal jokers dat hij krijgt, noemen we X . De kansverdeling van X kan benaderd worden met een binomiale verdeling.

Waarom mag de kansverdeling van X benaderd worden met een binomiale verdeling? Geef de twee argumenten die hiervoor nodig zijn.
Bereken de kans dat er bij die 10 kaarten van meneer De Vries minstens één joker is. Janneke heeft boodschappen gedaan voor zichzelf en twee medestudenten: Kees en Michiel. Ze heeft zes kaarten gekregen: twee met een chocoladereep erop, één met kauwgum, één met chips en twee met douchegel. Janneke,…

Bereken de kans dat er bij die 10 kaarten van meneer De Vries minstens één joker is. Janneke heeft boodschappen gedaan voor zichzelf en twee medestudenten: Kees en Michiel. Ze heeft zes kaarten gekregen: twee met een chocoladereep erop, één met kauwgum, één met chips en twee met douchegel. Janneke, Kees en Michiel willen de kaarten verdelen: ieder twee. Ze willen alledrie het liefst de twee kaarten met de chocoladereep. Ze besluiten dat ieder uit de zes kaarten er blindelings twee mag trekken. Janneke vindt dat zij het eerst twee kaarten mag trekken, omdat zij de boodschappen gedaan heeft. Michiel beweert dat het voor de kans op de twee kaarten met de chocoladereep niets uitmaakt of je als eerste, tweede of derde twee kaarten trekt. Veronderstel dat de volgorde is: Janneke, Michiel, Kees. De kans dat Michiel de beide chocoladekaarten krijgt, is de kans op de volgorde: eerst twee niet- chocoladereepkaarten en vervolgens de twee kaarten met de chocoladereep (gevolgd door de twee overblijvende niet-chocoladereepkaarten). Deze kans is 4 3 2 1 1 gelijk aan: ⋅ ⋅ ⋅ = . 6 5 4 3 15

Bereken voor elk van de twee andere studenten op vergelijkbare wijze de kans om beide chocoladekaarten te krijgen en onderzoek daarmee of Michiel gelijk heeft.
De eigenaar van de supermarktketen probeert van tevoren in te schatten welke inkomsten hij door deze actie misloopt. In de tabel staan de prijzen van de producten. tabel product aardbeien- ijs douche- gel frisdrank chocolade- reep chips kauwgum prijs (in euro) 2,50 1,80 1,15 0,90 0,90 0,90 We gaan…

De eigenaar van de supermarktketen probeert van tevoren in te schatten welke inkomsten hij door deze actie misloopt. In de tabel staan de prijzen van de producten. tabel product aardbeien- ijs douche- gel frisdrank chocolade- reep chips kauwgum prijs (in euro) 2,50 1,80 1,15 0,90 0,90 0,90 We gaan uit van de volgende denkbeeldige situatie: er zijn 10 000 klanten, die gemiddeld elk 20 kaarten krijgen tijdens de twee weken dat de actie duurt. Bij elke kaart is voor precies 5 euro aan boodschappen gedaan. Door kaarten te ruilen of door samen te werken, kunnen klanten meer prijzen winnen tijdens deze actie. We nemen aan dat al deze klanten hun kaarten onderling ruilen of aan elkaar weggeven, zodat alle 200 000 kaarten gebruikt worden voor een kwartet. De klanten gebruiken de jokers bij het duurste product. Je mag maximaal één joker per kwartet gebruiken. In de hierboven beschreven situatie heeft de eigenaar maximaal inkomstenverlies. Dit bedrag is een klein percentage van het bedrag dat de klanten hebben uitgegeven voor de kaarten.

Bereken dit percentage.

opgave 5Dennenhout

Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat
een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m3 hout het bos
op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van
bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte.
Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt
van de volgende formule:
V = f ⋅ d2 ⋅ h met diameter d en hoogte h beide in m (meter)
In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m3. De factor f heet de
vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de
diameter d van de boom.
Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove
den (Pinus sylvestris). Zie de figuur.
Voor de grove den wordt het verband tussen de
figuur
194p
vormfactor f en de diameter d (in m) bij
benadering gegeven door de volgende formule:
f = 0,30 ⋅ d2 − 0,36 ⋅ d + 0,46
In een bos staat een grove den met een diameter
van 0,16 m.
Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze
boom afneemt als de diameter van deze boom
met 100% toeneemt.
Naarmate de diameter van een grove den groter
is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den
geldt bij benadering het volgende verband tussen
figuur
de hoogte h en de diameter d:
h = 44 ⋅ d0,65
Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m.
Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt.
204p
Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.
Op basis van de formule f = 0,30 ⋅ d2 − 0,36 ⋅ d + 0,46 en de formule h = 44 ⋅ d0,65
kan V = f ⋅ d2 ⋅ h als V = (0,30 ⋅ d2 − 0,36 ⋅ d + 0,46) ⋅ d2 ⋅ 44 ⋅ d0,65 worden
geschreven.
Dit kan weer worden geschreven als V = a ⋅ d4,65 + b ⋅ d3,65 + c ⋅ d2,65. Hierin zijn a,
b en c constanten.
213p
Bereken a, b en c in twee decimalen nauwkeurig.
Een bos met grove dennen moet worden gekapt. Alvorens tot de kap over te
gaan wordt eerst een schatting gemaakt van de houtopbrengst. Hiertoe worden
de diameters van de bomen opgemeten en ingedeeld in klassen van
verschillende grootte. Zie de tabel.
tabel
diameter in m frequentie volume in m 3 van een boom met een diameter gelijk aan het klassenmidden 0 – 0,05 2730 0,0011 0,05 – 0,10 1854 0,0200 0,10 – 0,15 1261 0,0747 0,15 – 0,20 874 0,1763 0,20 – 0,25 437 0,3330 0,25 – 0,30 131 0,5516
In de derde kolom van de tabel staat het volume in m3 van een boom met een
diameter gelijk aan het klassenmidden.
Zo is bij de klasse 0,25 – 0,30, de onderste rij in de tabel dus, af te lezen dat
een boom met een diameter van 0,275 m een volume heeft van 0,5516 m3.
Als we ervan uitgaan dat de diameter van elke boom in iedere klasse precies
gelijk is aan het klassenmidden van die klasse, dan kunnen we met behulp van
de tabel een schatting maken voor de totale houtopbrengst.
223p
Maak deze schatting voor de totale houtopbrengst in m3.