opgave 1Aalscholvers en vis
In het IJsselmeergebied leven veel aalscholvers. Deze vogels voeden zich
met vis. Zij zijn daarom een concurrent voor de visserij in het
IJsselmeergebied.
In de periode 1997-2001 is uitgebreid onderzoek gedaan naar de
visconsumptie van aalscholvers. Hiervoor werden braakballen van
aalscholvers geanalyseerd.
Eén keer per dag braakt een
aalscholver een bal uit met alle
onverteerbare resten van de vissen
die hij die dag gegeten heeft. In zo'n
braakbal zitten onder andere otolieten
(gehoorsteentjes) van verschillende
vissoorten (zie foto). Deze worden
gesorteerd op vissoort en de lengtes
worden gemeten.
Met behulp van formules kan men
dan de lengte en het gewicht berekenen van de vissen waarvan ze
afkomstig zijn. Zo wordt vastgesteld wat de aalscholver die dag gegeten
heeft.
In tabel 1 staan de gebruikte formules voor twee belangrijke vissoorten
die op het menu staan van de aalscholver.
tabel 1
In deze formules is O de gemeten otolietlengte in mm, L de lengte van de
vis in mm en G het gewicht van de vis in gram.
De lengtes van de otolieten van baarzen die in de braakballen werden
aangetroffen, varieerden van 1,0 tot en met 9,5 mm.
12pBereken de kleinste en de grootste lengte van de baarzen die de
aalscholvers uit het onderzoek hebben gegeten en rond je antwoorden af
op mm.
In een braakbal wordt een otoliet van een pos aangetroffen. Deze otoliet
heeft een lengte van 3,4 mm.
24pBereken het gewicht van deze pos. Geef je antwoord in gram in één
decimaal nauwkeurig.
De visstand in het IJsselmeer
Om te onderzoeken hoeveel vis er in het IJsselmeer aanwezig is, wordt
op verschillende tijden en plaatsen met een sleepnet gevist dat tussen
twee boten is bevestigd. Doordat de boten een vaarsnelheid van slechts
5 km per uur hebben, kan een deel van de vis ontsnappen door snel weg
te zwemmen. Hoe sneller de vissoort is, hoe kleiner het percentage van
de vis van die soort dat gevangen wordt. Hiervoor maakt men een
wiskundig model. In tabel 2 staat informatie hierover.
tabel 2
In de tabel kun je bijvoorbeeld aflezen dat als de vissoort half zo snel
(x = 0,5) is als de boten er 95% wordt gevangen. Van een vissoort die vier
keer zo snel (x = 4) is als de boten wordt slechts 5% gevangen. Om voor
alle zwemsnelheden het percentage dat gevangen wordt te berekenen,
stelt men een exponentiële formule op van de vorm: p = b ⋅ gx. Hierin is p
het percentage gevangen vis en x de verhouding van de snelheid van de
vissoort ten opzichte van de vaarsnelheid van de boten (5 km per uur) en
b en g constanten.
34pBereken de waarde van b en g in deze formule op basis van de gegevens
in tabel 2 voor x = 1 en x = 4.
In werkelijkheid gebruikten de onderzoekers de volgende formule:
p = 128,5 ⋅ 0,437x
Voor x = 0 is deze formule niet realistisch, omdat er dan volgens de
formule 128,5% van de aanwezige vis gevangen wordt.
44pBereken tot welke viszwemsnelheid in km per uur de formule in elk geval
niet realistisch kan zijn.
De viszwemsnelheid bij het onderzoek werd bepaald op basis van de
soort en de lengte van de vis. Een bepaalde vissoort van 18 cm lang heeft
een zwemsnelheid van 0,66 meter per seconde.
53pBereken hoeveel procent van de werkelijk aanwezige hoeveelheid van
deze vissoort volgens de formule van de onderzoekers gevangen werd.
opgave 2Sociale psychologie
Psychologen denken dat een man door een gesprek met een mooie vrouw
zo afgeleid kan zijn dat daardoor zijn denk- en leerprestaties na het
gesprek tijdelijk verminderen. De afdeling sociale psychologie van de
Radboud Universiteit Nijmegen onderzocht dit verschijnsel in 20091). Deze
opgave gaat over enkele experimenten die daarbij werden gebruikt.
Eerste experiment: de 2-back-taak
In het eerste experiment moest een aantal mannelijke proefpersonen een
test op de computer doen. Deze test was een zogenoemde 2-back-taak:
op het scherm verschijnt met tussenpozen steeds een willekeurig gekozen
letter van het alfabet. De proefpersoon moet deze letter onthouden en
vergelijken met de letter twee stappen later. Als de letters hetzelfde zijn,
moet hij de linkertoets indrukken, anders de rechtertoets. Zie het
voorbeeld in tabel 1.
tabel 1
De proefpersoon moet voor een 2-back-taak 200 keer een toets
indrukken.
64pBereken de kans dat de proefpersoon in dat geval meer dan 10 keer de
linkertoets moet indrukken.
Na deze test hadden de (mannelijke) proefpersonen een kort gesprek met
een mannelijke onderzoeker of een vrouwelijke onderzoeker. Hierna
moesten ze opnieuw een 2-back-taak doen. Nu werd er niet gekeken naar
het aantal goede antwoorden maar naar de reactietijd bij de goede
antwoorden. De (mannelijke) proefpersonen die een gesprek hadden
gehad met een vrouw scoorden op deze test aanzienlijk minder goed dan
degenen die met een man gesproken hadden. In tabel 2 zie je voor beide
groepen de resultaten van deze laatste test.
tabel 2
noot 1 Het hier genoemde onderzoek had alleen betrekking op heteroseksuelen.
We veronderstellen dat de reactietijden van beide groepen normaal
verdeeld zijn.
73pBereken de kans dat een willekeurig gekozen man uit de groep die een
gesprek had met een vrouw beter scoorde dan het gemiddelde van de
groep die een gesprek had met een man.
Tweede experiment
In een tweede experiment was een groep van 112 proefpersonen
betrokken, bestaande uit 54 mannelijke en 58 vrouwelijke willekeurig
gekozen studenten. Voor dit experiment werden tweetallen gevormd.
Veronderstel dat van deze personen er steeds willekeurig twee aan elkaar
gekoppeld werden, zonder erop te letten of de persoon een man of vrouw
is.
85pBereken de kans dat de eerste twee tweetallen die zo gevormd werden
allebei uit een man en een vrouw bestonden. Rond je antwoord af op
vier decimalen.
De proefpersonen van elk tweetal moesten met elkaar een gesprek van
5 minuten voeren. Na dit gesprek moesten ze individueel een test doen.
Ook hier werd gekeken naar de gemiddelde reactietijd bij de goede
antwoorden.
Op grond van eerder onderzoek mogen we aannemen dat de reactietijd
van mannen in het algemeen na zo'n gesprek normaal verdeeld is met
een gemiddelde van 594 milliseconde en een standaardafwijking van
53 milliseconde.
Zoals al eerder vermeld, vermoeden psychologen dat mannen die een
gesprek met een vrouw gevoerd hebben, gemiddeld een langere
reactietijd hebben. De 22 mannen in dit onderzoek die een gesprek met
een vrouw gevoerd hadden, bleken een gemiddelde reactietijd van
631 milliseconde te hebben.
94pBereken, uitgaande van de genoemde normale verdeling, de kans dat de
gemiddelde reactietijd van een groep van 22 willekeurig gekozen mannen
631 milliseconde of meer is.
opgave 3Fietsen en energie
De formules voor het basisenergieverbruik, de energie die iemand per
dag nodig heeft voor alle activiteiten van een lichaam in rust, zoals
hartwerking, ademhaling, enzovoort, staan in tabel 1. In deze formules is
B het basisenergieverbruik in kcal (kilocalorieën) per dag en G het
lichaamsgewicht van de persoon in kg.
tabel 1
basisenergieverbruik
Er gelden verschillende formules voor jongvolwassen en voor oudere
personen. We vragen ons af welke van deze twee groepen het laagste
basisenergieverbruik heeft. Dit hangt volgens de formules in tabel 1 af
van het lichaamsgewicht van een persoon.
104pOnderzoek bij welke lichaamsgewichten tussen 40 en 120 kg de
jongvolwassenen een lager basisenergieverbruik hebben dan de ouderen.
Als iemand sport, is de totale energie die hij of zij nodig heeft groter dan
het basisenergieverbruik. De formule voor de totale energie T per dag is
T = 1,3B + S. Hierbij is B het basisenergieverbruik per dag en S het
energieverbruik voor het sporten per dag zoals fietsen, zwemmen en
hardlopen.
In tabel 2 staat het energieverbruik in kcal per kg lichaamsgewicht per uur
bij fietsen bij een aantal snelheden. Neem aan dat het energieverbruik
tussen de aangegeven snelheden in lineair verloopt.
tabel 2
energieverbruik bij fietsen
Frits is 58 jaar en weegt 70 kg. Hij doet mee aan de fietselfstedentocht in
Friesland, een tocht waarbij op één dag 240 km gefietst wordt. We nemen
aan dat hij de hele tocht rijdt met een snelheid van 25 km/uur.
114pBereken het totale energieverbruik van Frits op deze dag.
In tabel 2 zie je dat voor een fietser het extra energieverbruik per uur
toeneemt bij toenemende snelheid.
Koen fietst met een snelheid van 20 km per uur. Hij weegt 57 kg. Hij wil
zijn snelheid zo veel verhogen dat hij 200 kcal per uur meer gaat
verbruiken.
124pBereken met welke snelheid Koen moet gaan fietsen om dit te bereiken.
Geef je antwoord in gehele km/u.
Bij een hogere snelheid wordt per uur een grotere afstand afgelegd. Je
kunt voor elke snelheid die in tabel 2 vermeld wordt, het energieverbruik
per kg lichaamsgewicht bij het fietsen per afgelegde kilometer berekenen.
Alex beweert dat dit voor elke snelheid gelijk is. Bert zegt dat dit hoger is
bij hogere snelheden en Carolien beweert dat dit lager is bij hogere
snelheden. Eén van deze drie personen heeft gelijk.
134pOnderzoek met behulp van tabel 2 wie van de drie gelijk heeft.
Bij een duatlon wordt er gefietst en hardgelopen1). Er zijn verschillende
afstanden mogelijk voor de twee onderdelen. Zo bestaat de
Powermanduatlon uit 60 km fietsen en 20 km hardlopen. De Zwitserse
duatlon echter, gaat over 150 km fietsen en 40 km hardlopen.
Je zou een duatlon kunnen samenstellen waarbij voor elk onderdeel het
energieverbruik voor het sporten even groot is. We gaan daarbij uit van
een atleet die met een dusdanige snelheid hardloopt, dat zijn
energieverbruik 1 kcal per afgelegde kilometer is. De atleet fietst met een
snelheid waarbij hij 0,4 kcal per km verbruikt. De genoemde waarden voor
het energieverbruik gelden steeds per kg lichaamsgewicht.
145pBereken de afstanden voor het fietsen en het hardlopen in een duatlon
van in totaal 21 km waarbij het energieverbruik van deze atleet voor elk
onderdeel steeds even groot is.
noot 1 Het hardlopen bij een duatlon wordt verdeeld in een stuk voor en een stuk na het
fietsen maar dat is voor deze opgave niet van belang.
opgave 4Panelen van Panhuysen
In figuur 1 zie je (een bewerking van) een paneel van een kunstwerk van
Paul Panhuysen. Het vierkante paneel is opgebouwd uit 9 bij 9 vakjes, in
totaal 81.
Voor de vulling van de vakjes heeft Panhuysen gebruikgemaakt van
negen verschillende vormen.
In figuur 2 zie je welke negen vormen gebruikt zijn: acht stukken van een
vierkant met afgeronde hoeken en een leeg vakje in het midden.
Op elke rij van figuur 1 komt elk van deze negen vormen precies één keer
voor.
153pBereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn om negen
verschillende vormen op één rij te zetten.
De kunstenaar heeft niet alleen negen verschillende vormen gebruikt,
maar ook negen verschillende kleuren. De vormen kunnen dus in negen
verschillende kleuren voorkomen. Bij een leeg vakje is geen kleur te zien.
163pBereken hoeveel zichtbaar verschillende mogelijkheden er zijn voor het
eerste vakje linksboven van een paneel.
De kunstenaar heeft zichzelf de volgende beperkingen opgelegd: in een rij
en in een kolom mag niet twee keer dezelfde vorm voorkomen. Hetzelfde
geldt voor de kleuren.
Panhuysen heeft een handige manier gebruikt om de 81 vakjes op die
manier te vullen: door middel van sudoku's. In figuur 3 zie je een
voorbeeld van een sudoku.
figuur 3
In een sudoku worden de cijfers 1 tot en met 9 gebruikt en elk cijfer komt
in elke rij en in elke kolom precies één keer voor1). Panhuysen nummerde
de kleuren als volgt: 1 = donkerrood, 2 = lichtrood, 3 = oranje, 4 = geel,
5 = groen, 6 = lichtblauw, 7 = donkerblauw, 8 = crème en 9 = zwart. De
volgorde van de kleuren op het paneel van figuur 1 liet hij corresponderen
met die in de sudoku van figuur 3.
Voor de vormen gebruikte hij dezelfde procedure.
173pOnderzoek of hij voor de volgorde van de vormen van figuur 1 ook de
sudoku van figuur 3 heeft gebruikt.
Het totale kunstwerk van Panhuysen bestaat uit een serie van acht
verschillende panelen van elk 81 vakjes. Al die panelen zijn door middel
van sudoku's opgebouwd. In de figuur op de uitwerkbijlage zie je een
ander paneel uit de serie van Panhuysen. In een aantal vakjes is met een
cijfer de kleur aangegeven. Het vakje rechtsonder is afgedekt met een
grijs vakje.
183pTeken de juiste vorm in het afgedekte vakje en geef aan welke kleur die
vorm heeft. Licht je antwoord toe.
noot 1 Ook in de negen blokken van 3 bij 3 waarin de sudoku verdeeld kan worden, komen
de cijfers 1 tot en met 9 één keer voor, maar dat is voor deze opgave niet van belang.
opgave 5Craps
Craps is een bekend Amerikaans casinospel. De speler, de shooter
genoemd, gooit met twee zuivere dobbelstenen. Is bij de eerste worp de
som van de ogen 7 of 11, dan heeft hij gewonnen. Is de som 2, 3 of 12,
dan heeft de bank gewonnen. Bij alle andere worpen (met som 4, 5, 6, 8,
9 of 10) gaat het spel nog verder.
In het vervolg van de opgave wordt met een worp van 2, 3, 4 enzovoorts
steeds bedoeld een worp met twee dobbelstenen waarbij de som van het
aantal ogen gelijk is aan 2, 3, 4 enzovoorts.
foto
De kans dat de shooter na één worp gewonnen heeft, is twee keer zo
groot als de kans dat hij na één worp verloren heeft.
194pLaat dat met een berekening zien.
Als de eerste worp gelijk is aan 4, 5, 6, 8, 9 of 10, dan gooit de shooter
opnieuw. Hij gooit de dobbelstenen dan net zo lang tot hij hetzelfde aantal
ogen als in zijn eerste worp gooit of 7. In het eerste geval wint hij, in het
tweede geval wint de bank. Zie het schema in de figuur.
figuur
zelfde als 1e worp: shooter wint Na 1e worp worp van 7: (van 4, 5, 6, 8, 9 of 10) bank wint zelfde als 1e worp: shooter wint niet hetzelfde als 1e worp én geen 7: worp van 7: doorgaan met bank wint gooien niet hetzelfde als 1e worp én geen 7: enzovo ort doorgaan met gooien
We rekenen het door voor het geval waarin de eerste worp een 4 is. De
shooter wint als hij weer 4 werpt en de bank wint als de shooter 7 werpt.
Als hij iets anders werpt dan 4 of 7, moet hij opnieuw gooien en is de
situatie precies hetzelfde als vóór de worp. Dat levert de volgende
vergelijking op:
p = P(4) + P(geen 4 en geen 7) ⋅ p
Hierbij is p de kans dat de shooter na een eerste worp van 4 alsnog wint.
P(4) is de kans dat hij in een beurt som 4 werpt en P(geen 4 en geen 7) is
de kans dat hij in een beurt geen 4 en ook geen 7 werpt.
204pBereken P(4) en P(geen 4 en geen 7) en bereken met behulp daarvan de
kans p.
De shooter kan bij een eerste worp van 4 winnen maar ook bij andere
eerste worpen. Men kan berekenen dat de totale kans dat de shooter wint
bij dit spel gelijk is aan
.
De shooter betaalt voor elk spelletje € 10 aan de bank: de inzet. Als de
shooter wint, betaalt de bank € 20 uit aan de shooter. Als de shooter
verliest, krijgt hij niets uitbetaald. Zie de tabel.
tabel
213pBereken de verwachtingswaarde van de winst voor de bank bij één
spelletje. Rond je antwoord af op centen.
