opgave 1Wie is de Mol?
‘Wie is de Mol?’ is een tv-programma
waarin tien bekende Nederlanders
opdrachten uitvoeren. Een van hen is
de Mol, die het spel probeert te
saboteren.
Het tv-programma wordt goed bekeken. De kijkcijfers van de afleveringen
van 2016 zijn in de figuur weergegeven.
figuur
Als het uitgesteld kijken ook meegeteld wordt, zie je zowel van aflevering
5 naar 6 als van aflevering 7 naar 8 een toename van de kijkcijfers.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken of de procentuele toename van de kijkcijfers van aflevering 5
naar 6 groter is dan de procentuele toename van aflevering 7 naar 8.
Per aflevering krijgen de kandidaten een aantal vragen. Om de vragen
goed te kunnen beantwoorden, moeten de kandidaten elkaar voortdurend
in de gaten houden.
Bij een diner in een van de afleveringen kunnen de kandidaten kiezen uit
kipschotel, paddenstoelenrisotto of maaltijdsalade. De volgende twee
uitspraken over de voorkeur van de Mol zijn allebei waar:
A De Mol houdt óf van kipschotel óf van paddenstoelenrisotto.
B De Mol houdt óf van maaltijdsalade óf niet van kipschotel.
Stel dat de Mol niet van maaltijdsalade houdt.
22pLogisch redeneren 2p
Beredeneer aan de hand van bovenstaande uitspraken of de Mol dan van
paddenstoelenrisotto houdt.
Tijdens een opdracht werd de vraag gesteld of hun gezamenlijke huisdier,
de hond Evert, mocht blijven of weg moest. Als Evert meer ‘weg-
stemmen’ kreeg dan ‘blijf-stemmen’, moest hij weg. Vervolgens werden de
drie kandidaten die nog in het spel waren ondervraagd: Manu, Harco en
Irene. Hieronder zie je de beweringen van deze drie:
− Harco: “Irene vindt Evert heel stom en Manu knuffelt heel vaak met
Evert.”
− Manu: “Ik ben allergisch voor Evert en kan daarom nooit met hem
ravotten of knuffelen. En ik vind het wel vervelend dat ik Evert soms
moet uitlaten, maar ik heb Evert geen ‘weg-stem’ gegeven.”
− Irene: “Ik heb zowel Harco als Manu samen met Evert zien ravotten en
bovendien weet ik zeker dat een van beiden Evert heeft weggestemd.”
Slechts een van de drie is de Mol en mag liegen; we nemen aan dat de
twee anderen de waarheid spreken.
Om uit te zoeken wie de Mol is, bekijken we de volgende twee
beweringen:
M: Manu spreekt de waarheid
I: Irene spreekt de waarheid
Uit bovenstaande beweringen volgt dat geldt:
opgave 3Plastic
In de zomer van 1907 slaagde de Belgisch-Amerikaanse scheikundige
Leo Baekeland er als eerste in om plastic te maken. De jaren erna
ontwikkelden scheikundigen verschillende soorten plastic. Vanaf 1950
startte de massaproductie van plastic, waardoor de jaarlijkse
plasticproductie wereldwijd flink begon toe te nemen. Zie de figuur.
figuur
In de periode 1977 - 2002 is de jaarlijkse plasticproductie bij benadering
exponentieel toegenomen.
54pExponentiële functies en groei 4p
Bereken de jaarlijkse procentuele toename in de periode 1977 - 2002.
Geef je antwoord in één decimaal.
In 2002 was de jaarlijkse plasticproductie 200 miljoen ton. Daarna nam de
jaarlijkse plasticproductie tot 2015 jaarlijks met een groeifactor van
ongeveer 1,037 toe.
Wanneer de groei op deze manier doorgaat, zal de jaarlijkse
plasticproductie in een zeker jaar meer dan één miljard ton zijn.
63pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in welk jaar dat voor het eerst is.
De toenemende plasticproductie zorgt voor een toenemende hoeveelheid
plastic afval. In 2015 kwam er 250 miljoen ton plastic afval vrij en men
gaat ervan uit dat de hoeveelheid plastic afval die jaarlijks vrijkomt met
4,1% per jaar zal toenemen. Tegelijkertijd wordt er een steeds groter
percentage plastic afval gerecycled. In 1990 werd 2% van de vrijgekomen
hoeveelheid plastic gerecycled. De jaren erna nam dit percentage lineair
toe met 0,7% per jaar tot 11,8% in 2004.
Wanneer deze trend in recycling ook na 2004 doorzet, zal in 2050 een
substantieel deel van het plastic afval dat in dat jaar vrijkomt gerecycled
worden.
73pLineaire functies 1p · Exponentiële functies en groei 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel miljoen ton plastic afval in 2050 in dat geval gerecycled
zal worden. Geef je antwoord in gehele miljoenen tonnen.
Voor de voorspelling voor de jaren na 2015 van de totale hoeveelheid
vrijgekomen plastic afval had men de volgende uitgangspunten:
− Tot en met 2014 was er in totaal 6050 miljoen ton plastic afval
vrijgekomen.
− In 2015 kwam daar 250 miljoen ton bij.
− Na 2015 nam de hoeveelheid jaarlijks vrijgekomen plastic afval met
4,1% per jaar toe.
Op basis hiervan voorspelde men dat er tot en met 2018 in totaal (op
honderden miljoenen ton afgerond) 7100 miljoen ton plastic afval vrij zou
komen.
83pRijen en recursie 3p
Geef uitsluitend met behulp van bovenstaande uitgangspunten deze
voorspelde hoeveelheid in gehele miljoenen tonnen nauwkeurig.
opgave 4The Mastaba
De in 2020 overleden Bulgaarse kunstenaar Christo werkte sinds 1977
aan een – nooit afgerond – project genaamd The Mastaba. Met dit project
wilde hij uiteindelijk in Abu Dhabi de grootste sculptuur ter wereld
realiseren. De naam Mastaba verwijst naar de zogeheten mastabagraven
van de Egyptenaren, nog voor de tijd dat ze piramides gebruikten.
The Mastaba moest 150 meter hoog worden met een grondvlak van
300 meter breed en 225 meter lang. Het horizontale bovenvlak is
evenwijdig met het grondvlak en moest 126,8 meter breed worden. In
figuur 1 zie je een schets uit 1977 van The Mastaba.
Het voor- en achtervlak van The Mastaba zijn verticaal en zijn
symmetrisch. Zie figuur 2.
93pOppervlakte, inhoud en schaal 2p · Perspectief en aanzichten 1p
Teken het bovenaanzicht van The Mastaba op schaal 1:2500.
Christo heeft vele perspectivische schetsen van The Mastaba gemaakt. In
figuur 1 is een van die schetsen te zien.
In de figuur op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een
perspectieftekening zoals geschetst in figuur 1. Een deel van de schuin
opstaande ribbe rechts is al getekend. De horizon is scheef en deze is
ook getekend.
104puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
Maak de perspectieftekening op de uitwerkbijlage af.
Het was Christo’s bedoeling dat alle zijvlakken van The Mastaba uit
olievaten opgebouwd zouden worden.
Ondanks dat The Mastaba niet gerealiseerd is, heeft Christo wel al
verschillende – weliswaar kleinere – indrukwekkende varianten van The
Mastaba gebouwd.
Zo heeft hij in 2018 in Hyde Park in Londen een mastaba van 20 meter
hoog met een grondvlak van 40 meter breed en 30 meter lang
gerealiseerd. Ook van deze mastaba waren alle zes de zijvlakken uit
olievaten opgebouwd. Hiervoor waren 7506 olievaten nodig. Zie foto 1 en
figuur 3.
De mastaba in Londen is een verkleining van wat uiteindelijk The Mastaba
had moeten worden.
113pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Geef een schatting van het aantal olievaten dat Christo nodig zou hebben
gehad voor The Mastaba. Licht je antwoord toe met een berekening. Geef
je antwoord in tienduizenden nauwkeurig.
Christo’s fascinatie voor mastaba’s
van olievaten bestond al voordat hij het
idee kreeg voor The Mastaba. Zo heeft hij
al in 1968, dus nog voor de start van het
project The Mastaba, in Philadelphia het
kunstwerk 1240 Oil Barrels Mastaba
gebouwd. Op foto 2 zie je dit kunstwerk
gedeeltelijk afgebeeld.
Dit kunstwerk is kleiner dan Christo
eigenlijk had bedacht, omdat zijn
oorspronkelijke idee niet in de ruimte zou
passen waar het kunstwerk tentoongesteld
moest worden.
In zijn oorspronkelijke idee zou dit kunstwerk volledig – dus niet alleen de
buitenzijden – uit lagen met olievaten zijn opgebouwd en wel als volgt:
− Elke laag is negen olievaten lang.
− De onderste laag is twintig olievaten breed.
− Elke laag is één olievat minder breed dan de laag eronder.
− Het kunstwerk bestaat uit twaalf lagen.
In de titel 1240 Oil Barrels Mastaba slaat 1240 op het aantal olievaten dat
uiteindelijk echt gebruikt is voor het kunstwerk. Met Christo’s
oorspronkelijke idee zouden er meer olievaten zijn gebruikt en zou de titel
dus ook anders zijn geweest.
124pRijen en recursie 4p
Bereken welk getal op de plaats van 1240 in de titel zou hebben gestaan
als Christo zijn oorspronkelijke idee uit had kunnen voeren.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 5Temperatuursverwachting
Tegenwoordig kun je op veel plaatsen de verwachte temperatuur vinden.
Zo ook op de website van het KNMI. Het KNMI kan aan de hand van
weerkaarten de temperatuur voor een aantal dagen voorspellen.
Op 21 januari 2018 heeft het KNMI een grafiek gemaakt van de verwachte
temperatuur van 22 januari tot en met 5 februari van dat jaar. In figuur 1
zie je een stukje van deze grafiek. Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
Ook zie je in deze figuur twee stippellijnen. Deze lijnen geven het
gemiddelde van de minimumtemperatuur en het gemiddelde van de
maximumtemperatuur voor de periode 1981 – 2010 weer. Als de
temperatuur tussen deze twee stippellijnen in zit, noemen we de
temperatuur normaal voor de tijd van het jaar.
In figuur 1 is te zien dat het volgens de verwachting in de week van
22 januari 2018 behoorlijk warm zou worden voor de tijd van het jaar.
133puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel procent
van de tijd het volgens de verwachting in de week van 22 januari 2018
warmer zou zijn dan normaal. Geef je antwoord in hele procenten.
In figuur 1 is de gemiddelde minimumtemperatuur 0,4 °C en de
gemiddelde maximumtemperatuur 6,0 °C. Als de verwachte temperatuur
netjes zou schommelen tussen de twee horizontale stippellijnen, dan krijg
je een grafiek zoals in figuur 2 te zien is. In de rest van de opgave
noemen we dit de ‘normale’ temperatuur.
figuur 2
Bij deze ‘normale’ temperatuur past een periodiek verband.
143pSinusoïden: periode, amplitude en formule 3p
Geef de evenwichtsstand, de amplitude en de periode van dit verband.
De grafiek van de normale temperatuur gedurende een aantal dagen
noemen we de modellijn. In de figuur op de uitwerkbijlage staat de
modellijn getekend voor de periode vanaf 29 april tot en met 4 mei. Deze
modellijn geeft een wiskundig model van de temperatuur gedurende deze
periode. Elke nacht bereikt de temperatuur in het wiskundige model de
stippellijn die hoort bij de gemiddelde minimumtemperatuur en gedurende
de dag bereikt de temperatuur de stippellijn die hoort bij de gemiddelde
maximumtemperatuur. Deze beide stippellijnen zijn evenwijdig.
Omdat de gemiddelde minimum- en maximumtemperatuur hier niet
constant zijn, schommelt de modellijn om een lineaire trendlijn.
opgave 7Jongleren
Bij jongleren gaat het om het in de lucht gooien, in de lucht houden en
opvangen van voorwerpen. Deze voorwerpen blijven tijdens het jongleren
van hand naar hand en in de lucht rondgaan. Zie de foto.
Op de foto zie je de Amerikaanse jongleur James Reid jongleren met drie
verschillende, nogal vreemde voorwerpen: een bowlingbal, een mes en
een speelgoedkip. Meestal wordt er echter met ballen, kegels en ringen
gejongleerd. In de figuur zie je een typisch pakket voor jongleurs,
bestaande uit drie identieke ringen, drie identieke ballen en drie identieke
kegels.
Een jongleur kiest uit het pakket drie voorwerpen om mee te jongleren. Hij
zou bijvoorbeeld een bal (B), een kegel (K) en een ring (R) kunnen
kiezen. Dit noteren we met BKR.
203pTelproblemen 3p
Noteer op dezelfde manier alle overige mogelijkheden om drie
voorwerpen uit het pakket te kiezen.
De rest van deze opgave gaat over jongleren met minimaal drie ballen,
door één jongleur, waarbij de jongleur altijd twee handen gebruikt.
Hiervoor bestaat een verband tussen een aantal variabelen, gegeven door
de formule van Shannon:
2 ⋅ (V + H) = B ⋅ (L + H)
Hierin is:
− V de vluchttijd, dat is de tijd die een bal in de lucht is tussen het
gegooid en weer opgevangen worden (in seconden);
− H de handtijd, dat is de tijd die een bal in één van de handen is
tussen het vangen en het gooien van de bal (in seconden);
− L de leegtijd, dat is de tijd dat een hand leeg is tussen het gooien van
een bal en het vangen van de volgende bal (in seconden);
− B het aantal ballen dat je gebruikt.
De formule van Shannon geldt alleen als alle ballen op dezelfde manier
van de ene naar de andere hand worden gegooid, dus even snel en even
hoog.
Door ballen hoger of lager te gooien, kunnen jongleurs de vluchttijd
variëren. De maximale hoogte hmax in meters die de ballen bereiken, kan
worden benaderd met de volgende formule:
hmax = 1,225V2 + 1,5
Een jongleur jongleert met vijf ballen. Hij jongleert met een handtijd van
0,25 seconden en een leegtijd van 0,35 seconden.
224pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding.
Als je met steeds meer ballen wilt jongleren, waarbij je die ballen telkens
even lang in de lucht wilt houden en je handen steeds even lang leeg wilt
houden, moet je de ballen steeds sneller door je handen laten gaan.
