opgave 1Showroom
Op de foto zie je de showroom van een autobedrijf in Lochem. De pijl in
de foto geeft de voorkant van de showroom aan.
foto
De showroom heeft de vorm van een balk met afmetingen 18 bij 18 bij
2,8 meter met daarbovenop een regelmatige piramide met hetzelfde
vierkante grondvlak en hoogte 5,6 meter.
13pOppervlakte, inhoud en schaal 3p
Bereken de inhoud van de showroom. Geef je antwoord in een geheel
aantal m3.
Een opvallend aspect in het ontwerp van de showroom is dat de
opstaande ribben van het piramidevormige dak tot op de grond verlengd
zijn. Dat betekent dat de vier ijzeren balken van de top tot aan de grond
doorlopen. Links voor op de foto is van een van deze ijzeren balken het
deel dat buiten de showroom zit goed te zien.
Op de uitwerkbijlage is de grond aangegeven waarop de showroom is
gebouwd.
23puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 3p
Teken op de uitwerkbijlage op schaal 1: 200 het vooraanzicht van de
showroom inclusief de ijzeren balken. Laat daarbij ramen, deuren en
dergelijke buiten beschouwing.
Op de uitwerkbijlage is het onderste balkvormige deel van de showroom
in perspectief getekend. De horizon is ook getekend.
36pPerspectief en aanzichten 6p
Teken in deze tekening de drie ijzeren balken die zichtbaar zijn. Geef
hierbij door middel van punten duidelijk de eindpunten aan van de ijzeren
balken op de grond.
opgave 2Het internet der dingen
Tegenwoordig zijn er steeds meer apparaten die via het internet met
elkaar in verbinding kunnen staan. Denk bijvoorbeeld aan smartphones en
smartwatches maar ook aan de ‘slimme’ deurbel en thermostaat,
enzovoorts.
Als bijvoorbeeld vier apparaten A, B, C en D volledig onderling met elkaar
verbonden zijn – dat wil zeggen dat ieder apparaat met ieder ander
apparaat verbonden is – dan zijn daar zes verbindingen voor nodig. In
figuur 1 wordt dit geïllustreerd, waarbij de lijnen de onderlinge
verbindingen voorstellen.
figuur 1
43pTelproblemen 3p
Bereken het minimale aantal onderling volledig verbonden apparaten
waarbij er meer dan honderd verbindingen nodig zijn.
Elk apparaat dat met het internet verbonden is, heeft zijn eigen, unieke
IP-adres nodig. IP-adressen kunnen worden geschreven als acht groepen
van vier zogeheten hexadecimale cijfers, gescheiden door dubbele
punten. Hiervoor worden de gewone cijfers 0 tot en met 9 uitgebreid met
de cijfers A (=10) tot en met F (=15). Dus A tot en met F zijn in deze
toepassing ook cijfers en géén letters.
van een geldig IP-adres:
2001:0DB8:85A3:0000:1319:8A2E:0370:7344
53pTelproblemen 3p
Bereken hoeveel IP-adressen er theoretisch mogelijk zijn. Geef je
antwoord in de vorm a ⋅10b met a in één decimaal en b als geheel getal.
Het totaal aantal apparaten (‘dingen’) die via internetverbindingen met
andere apparaten of systemen in contact staan en daarmee gegevens
uitwisselen, wordt het internet der dingen genoemd. Het internet der
dingen wordt afgekort tot IoT (naar het Engels: Internet of Things).
In figuur 2, uit een internet-artikel uit november 2013, gaat men uit van
31% jaarlijkse groei van het IoT.
figuur 2
De grafiek in figuur 2 uit het internet-artikel en de aanname van 31%
jaarlijkse groei uit datzelfde artikel spreken elkaar tegen.
74pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken na hoeveel hele weken het IoT verdubbeld is bij 31% jaarlijkse
groei.
De 31% jaarlijkse groei uit het eerder genoemde internet-artikel is
inmiddels naar beneden bijgesteld. In figuur 3 zie je hoe het IoT zich
volgens een ander onderzoek sinds het jaar 2015 ontwikkelt. Hierin zijn
de gegevens voor de jaren na 2018 voorspelde gegevens. De trendlijn is
gestippeld weergegeven.
figuur 3
In december 2015 was de omvang van het IoT 15,41 miljard apparaten. In
december 2025 is dit (volgens de voorspelling) 75,44 miljard.
Ook volgens de gegevens in figuur 3 groeit het IoT bij benadering met een
83pExponentiële functies en groei 3p
Bereken dit percentage met behulp van de gegevens van de jaren 2015
en 2025. Geef je antwoord in één decimaal.
De trendlijn in figuur 3 kan benaderd worden met de volgende formule:
I = 14,7 ⋅1,17t
Hierin is I de omvang van het IoT in miljarden en t de tijd in jaren met
t = 0 in december 2015. Veronderstel dat de formule voor I ook na 2025
geldt.
opgave 3Fibonacci-klok
Op internet is een bijzondere klok te koop:
de Fibonacci-klok. Zie de foto.
De klok is gebaseerd op een bekende wiskundige
rij: de rij van Fibonacci. Van deze rij zijn de
eerste tien termen de getallen:
1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55
Op de foto zie je dat de klok uit vijf vierkanten
bestaat. Deze vierkanten stellen de getallen uit de rij van Fibonacci voor.
Dit is ook in onderstaande figuur weergegeven.
figuur
De getallen in de figuur geven een maat voor de lengte van de zijden van
de vierkanten in de figuur aan.
102pOppervlakte, inhoud en schaal 2p
Bereken hoeveel keer zo groot de oppervlakte van het grootste vierkant
is als de oppervlakte van het op één na grootste vierkant. Geef je
antwoord in één decimaal.
Achter elk van de vierkanten zitten drie lampjes verborgen: een rood, een
groen en een blauw. Van deze lampjes brandt er steeds hooguit één.
Hierdoor zijn er voor elk vierkant 4 mogelijkheden: het vlak staat ‘uit’, óf
het vlak heeft een kleur: rood, groen of blauw. Met behulp van deze
kleuren kun je de tijd aflezen.
De klok werkt volgens de 12-uurs-notatie. Daarbij wordt 12.00
weergegeven als 0.00.
Elke 5 minuten verspringt de klok. Als de werkelijke tijd bijvoorbeeld 14.50
of 14.53 is, geeft de klok op beide tijdstippen 2.50 weer.
De klok heeft veel meer standen dan dat er tijden zijn die de klok kan
weergeven.
114pTelproblemen 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel keer zo veel. Geef je antwoord als geheel getal.
Je kunt de tijd op de klok als volgt aflezen:
− Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de rood
gekleurde vierkanten bij elkaar op. Dat zijn de uren.
− Tel de waarden van getallen in de blauw gekleurde en de groen
gekleurde vierkanten bij elkaar op en vermenigvuldig de uitkomst
met 5. Dat zijn de minuten.
De blauw gekleurde vierkanten tellen dus bij zowel de uren als de minuten
mee. In tabel 1 zie je een manier om met alleen maar rood en groen
gekleurde vierkanten de tijd 7.25 weer te geven.
tabel 1
Op een bepaald moment branden de lampjes op de klok zoals in tabel 2 is
weergegeven.
tabel 2
123pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bereken welke tijd de klok volgens tabel 2 weergeeft.
Op deze klok kunnen veel tijden op meer dan een manier worden
weergegeven. In tabel 3 staan twee verschillende manieren om de tijd
7.25 weer te geven.
tabel 3
134pGeef nog twee andere manieren om de tijd 7.25 weer te geven.
Iemand wil een vergelijkbare Fibonacci-klok met groene, rode en blauwe
lampjes maken, die de werkelijke tijden op de minuut nauwkeurig kan
weergeven in de 24-uurs notatie (dus van 0.00 tot en met 23.59). Die klok
moet dan aan twee eisen voldoen:
1 Het grootst mogelijke getal moet een optelling zijn met als uitkomst
(minstens) 59.
2 Alle getallen van 0 t/m 59 moeten kunnen worden gevormd.
Om zo’n klok te maken, moeten er aan de klok uit de figuur vierkanten
worden toegevoegd die Fibonacci-getallen voorstellen.
opgave 4Unieke woorden
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze
opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal
verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer
unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.
In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een
tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:
U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.
We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze
opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal
verschillend.
152pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze
opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.
Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het
verband tussen U en T bepaald. Zie figuur 1.
figuur 1
In figuur 1 is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De
gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T.
Figuur 1 staat ook vergroot op de uitwerkbijlage.
On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen
8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds
minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt
gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden
tegengekomen.
165puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 4p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur op de
uitwerkbijlage hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je
dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.
De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U
en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap
bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.
De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de
zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek.
Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald.
Zie figuur 2, waarin log(U) tegen log(T) is uitgezet.
figuur 2
De grafiek in figuur 2 geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1
en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-
Heap.
Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
172pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Ga met behulp van figuur 2 na of deze tekst voldoet aan de wet van
Herdan-Heap.
Een formule voor de gestippelde lijn in figuur 2 is
log(U) = 0,49log(T) + 1,64
183pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de
eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.
De formule log(U) = 0,49log(T) + 1,64 kan geschreven worden als
U = 43,65 ⋅ T0,49.
Stel nu dat je RCV1 in zijn geheel gaat lezen. Als je dan drie keer zo ver
bent gekomen, wil dat niet zeggen dat je ook drie keer zo veel unieke
woorden bent tegengekomen. Met behulp van de formule U = 43,65 ⋅ T0,49
kun je berekenen hoeveel procent meer unieke woorden je dan wel bent
tegengekomen.
opgave 5Examenzitting
Om ervoor te zorgen dat tijdens een zitting van een centraal examen alles
eerlijk en in heel Nederland zo gelijk mogelijk verloopt, zijn er strikte
regels.
Hieronder zie je een voorbeeld van een aantal regels die in het
examenreglement van een school in Nederland opgenomen zijn.
Gang van zaken tijdens zittingen van het centraal examen
1. Het bevoegd gezag draagt er zorg voor dat het nodige toezicht bij het
centraal examen wordt uitgeoefend.
…
7. Een kandidaat die te laat komt, mag tot uiterlijk een half uur na de
aanvang van de zitting worden toegelaten. (Hij/zij levert zijn werk in op
het tijdstip dat voor de andere kandidaten geldt.)
8. Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren of
het examenlokaal verlaten.
9. Gedurende het laatste kwartier mag de kandidaat geen werk inleveren
en het examenlokaal niet verlaten.
In deze opgave laten we het recht op tijdverlenging, dat voor een aantal
kandidaten geldt, buiten beschouwing. Ook gaan we ervan uit dat alle
De zitting van het centraal examen vwo wiskunde C duurt 180 minuten.
202pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken hoeveel procent van de tijd kandidaten het examenlokaal mogen
verlaten. Geef je antwoord in hele procenten.
We voeren de volgende notaties in:
− H: het eerste halfuur van de examenzitting is bezig;
− U: het eerste uur van de examenzitting is bezig;
− K: het laatste kwartier van de examenzitting is bezig.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt van een Venn-diagram van
een examenzitting. De rechthoek stelt de hele examenzitting voor en het
gebied voor U is hierin al getekend.
212puitwerkbijlageLogisch redeneren 2p
Vul het Venn-diagram op de uitwerkbijlage op de juiste wijze aan met de
gebieden voor H en K.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
Verder voeren we de volgende notaties in:
− V: de kandidaat mag de zaal verlaten;
− I: de kandidaat mag zijn/haar werk inleveren.
Johan vertaalt regel 8 met de volgende formule:
. Dit is
echter niet de bedoeling van regel 8, want de bedoeling van regel 8 is dat
de kandidaat het eerste uur van de examenzitting geen werk mag
inleveren en het examenlokaal niet mag verlaten.
ohan juist zou zijn, kunnen er twee situaties optreden
die niet de bedoeling zijn van regel 8.
223pLogisch redeneren 3p
Geef de vertaling van de formule van Johan en geef vervolgens de twee
situaties die volgens deze formule kunnen optreden, maar niet de
bedoeling zijn van regel 8.
Voor het laatste onderdeel gaan we ervan uit dat regel 8 luidt:
"Het eerste uur van de zitting mag de kandidaat geen werk inleveren én
het examenlokaal niet verlaten."
Volgens regels 8 en 9 geldt voor het eerste uur en het laatste kwartier
precies hetzelfde. Door middel van één logische bewering over U, K, V,
en I kunnen regels 8 en 9 tegelijkertijd beschreven worden.
233pLogisch redeneren 3p
Noteer deze bewering met behulp van logische symbolen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
