bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2015, tijdvak 1

opgave 1Gifgebruik in de aardappelteelt

Het lijkt goed te gaan met het terugdringen van het gifgebruik in de
aardappelteelt. Nederlandse aardappelboeren gebruikten in 1998
gemiddeld 32 kg chemische bestrijdingsmiddelen (gif) per hectare (ha). In
2007 was dat gedaald tot 24,5 kg per ha. En het gebruik daalt nog steeds.
Neem aan dat dit gebruik lineair afnam en ook na 2007 op dezelfde wijze
lineair blijft afnemen.
13p
Bereken hoeveel kg gif per ha er dan in 2015 gebruikt wordt.
In Nederland zijn aardappelen erg vatbaar voor een agressieve
schimmelziekte, de zogenaamde aardappelziekte. Niet-biologische boeren
bestrijden deze ziekte door regelmatig, ongeveer één keer per week, gif te
spuiten. Biologische boeren gebruiken geen gif, maar verbranden zieke
planten of verwijderen ze van het land.
Boer Jacobs is een niet-biologische boer. Hij heeft twee stukken
akkerland waarop hij aardappels verbouwt, één in de Noordoostpolder en
één in (Zuidelijk) Flevoland. In de figuur zie je een overzicht van het
gifgebruik van Jacobs in het jaar 2007 voor beide akkers. Elk punt in de
figuur geeft een bespuiting met gif aan. Het punt A hoort bijvoorbeeld bij
de elfde bespuiting van het seizoen in Flevoland. In de figuur kun je zien
dat de totale kosten per ha van alle bespuitingen tot en met deze
bespuiting bijna 400 euro zijn.
figuur
700 totale kosten per ha 600 (€) 500 Flevoland 400 A 300 200 Noordoostpolder 100 0 mei juni juli augustus
Boer Jacobs zegt dat hij in 2007 op zijn akker in Flevoland niet alleen
vaker moest spuiten dan in de Noordoostpolder, maar dat ook de
gemiddelde kosten per ha per bespuiting hoger waren.
24p
Onderzoek of hij gelijk heeft met beide uitspraken.
Boer Jacobs denkt dat hij in Flevoland meer moet spuiten dan in de
Noordoostpolder omdat er in Flevoland veel biologische boeren zijn. Zij
beginnen pas met de bestrijding als de aardappelziekte al duidelijk
zichtbaar is. Hierdoor kan de ziekte zich verspreiden naar akkers van
niet-biologische boeren, zodat zij extra gif moeten spuiten. Samen met
enkele andere boeren denkt hij dat alle niet-biologische boeren in
Flevoland hierdoor ongeveer 20% extra gif moeten spuiten.
In Flevoland werden in 2007 op een oppervlakte van 20 700 ha
aardappelen geteeld. Zonder biologische teelt zou gemiddeld 24,5 kg gif
per ha aardappelen worden gespoten. In 2007 werd er echter op 680 ha
van de 20 700 ha biologisch geteeld.
Neem aan dat het waar is dat in Flevoland door de biologische teelt alle
niet-biologische boeren 20% meer gif zouden spuiten. Dan zou er in
Flevoland in totaal meer gif worden gebruikt dan in een situatie waarin
geen enkele boer zijn aardappels biologisch teelt.
35p
Bereken hoeveel procent meer gif er dan in totaal gebruikt zou worden.
Door het kweken van nieuwe aardappelrassen die veel minder gevoelig
zijn voor de aardappelziekte, zal in de toekomst de invloed van
biologische boeren op het gifgebruik van niet-biologische boeren sterk
verminderen.
Steeds meer mensen willen biologisch geteelde aardappelen kopen.
Hierdoor neemt in Flevoland het aantal hectaren waarop aardappelen
biologisch geteeld worden, vanaf 2007, toen het 680 ha was, exponentieel
toe. Hierdoor zal dit aantal hectaren iedere 12 jaar verdubbelen.
Neem aan dat de totale oppervlakte voor aardappelen in Flevoland vanaf
2007 gelijk blijft aan 20 700 ha.
45p
Bereken in welk jaar in Flevoland het aantal hectaren biologisch geteelde
aardappelen voor het eerst meer dan 10% van de totale oppervlakte voor
aardappelen zal zijn.

opgave 2Zout strooien

Als in de winter gladheid of sneeuw wordt verwacht, strooit men zout op de wegen. Een van de zoutsoorten die hiervoor wordt gebruikt is steenzout. Informatie over steenzout staat in de tabel. We nemen aan dat de korrelgrootte van steenzout bij benadering normaal verdeeld is. Je ziet in de tabel dat…

Als in de winter gladheid of sneeuw wordt verwacht, strooit men zout op de wegen. Een van de zoutsoorten die hiervoor wordt gebruikt is steenzout. Informatie over steenzout staat in de tabel. We nemen aan dat de korrelgrootte van steenzout bij benadering normaal verdeeld is. Je ziet in de tabel dat de korrelgrootte van de middelste 80,0% van de korrels tussen 1,0 en 2,5 mm is. Je kunt berekenen dat de standaardafwijking van de korrelgrootte ongeveer 0,59 mm is.

Bereken deze standaardafwijking in mm in drie decimalen nauwkeurig. Steenzout bevat veel grote korrels, die bij het strooien gemakkelijk doorstuiteren naar de zijkanten van de weg. Het blijkt dat de 2% grootste steenzoutkorrels op deze manier bijna allemaal verloren gaan.
Bereken hoeveel mm de korrelgrootte van deze 2% grootste korrels minstens is. figuur -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 temperatuur (ºC)
Door zout te strooien, smelten sneeuw en ijs bij een temperatuur lager dan 0 °C. Hoeveel sneeuw of ijs er kan smelten, wordt aangegeven met de smeltcapaciteit . In de figuur is de smeltcapaciteit af te lezen bij verschillende temperaturen. Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat 1 kg zout bij een…

Door zout te strooien, smelten sneeuw en ijs bij een temperatuur lager dan 0 °C. Hoeveel sneeuw of ijs er kan smelten, wordt aangegeven met de smeltcapaciteit . In de figuur is de smeltcapaciteit af te lezen bij verschillende temperaturen. Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat 1 kg zout bij een temperatuur van –5 °C ongeveer 11,5 kg sneeuw of ijs laat smelten. Op een stuk wegdek ligt 0,2 kg sneeuw per m 2 . De temperatuur is –2 °C en er wordt zout gestrooid in een dosering van 15 gram/m 2 .

Laat met behulp van de figuur en een berekening zien dat deze dosering voldoende is om alle sneeuw te laten smelten. De vriespuntdaling V is het aantal graden dat het vriespunt van water lager wordt dan 0 °C. Met behulp van de volgende formule kan V worden Hierin is D de dosering van het zout in…

Laat met behulp van de figuur en een berekening zien dat deze dosering voldoende is om alle sneeuw te laten smelten. De vriespuntdaling V is het aantal graden dat het vriespunt van water lager wordt dan 0 °C. Met behulp van de volgende formule kan V worden Hierin is D de dosering van het zout in gram/m 2 en H de hoeveelheid neerslag (in de vorm van sneeuw, ijs of water) in kg/m 2 . Bij 0,2 kg sneeuw per m 2 wordt zout gestrooid in een dosering van 15 gram/m 2 .

Laat met behulp van de formule zien dat het vriespunt daalt tot beneden –2 °C. Vaak wordt er al gestrooid voordat er sneeuw ligt. Als bekend is hoeveel neerslag er zal vallen en wat de minimumtemperatuur wordt, kan de dosering van tevoren berekend worden. Voor een bepaalde nacht wordt een…

Laat met behulp van de formule zien dat het vriespunt daalt tot beneden –2 °C. Vaak wordt er al gestrooid voordat er sneeuw ligt. Als bekend is hoeveel neerslag er zal vallen en wat de minimumtemperatuur wordt, kan de dosering van tevoren berekend worden. Voor een bepaalde nacht wordt een hoeveelheid sneeuw van 0,35 kg/m 2 verwacht. Men gaat strooien met zout in een zodanige dosering dat de vriespuntdaling 4,5 °C is.

Bereken hoeveel gram/m 2 zout er gestrooid moet worden. Bij een vriespuntdaling van 4,5 °C kan de formule zo worden herleid dat D wordt uitgedrukt in H .
Geef deze herleiding.

opgave 3Profielwerkstukpresentaties

Op een school worden op één avond alle 72 profielwerkstukpresentaties
van de havo gehouden. Elke presentatie duurt 20 minuten. De leerlingen
hebben gewerkt in groepjes en ieder groepje is daarbij begeleid door een
docent. Voor deze avond is een aantal lokalen gereserveerd. In elk lokaal
geldt het volgende tijdschema.
TIJD   19.30-19.50 uur Presentatieronde 1 19.50-20.10 uur Presentatieronde 2 20.10-20.30 uur Presentatieronde 3 20.30-20.50 uur Pauze 20.50-21.10 uur Presentatieronde 4 21.10-21.30 uur Presentatieronde 5
figuur bij de opgave
Er zijn twee docenten per lokaal aanwezig voor de beoordeling van de
presentaties.
112p
Bereken met bovenstaande gegevens hoeveel docenten er minimaal
nodig zijn voor de beoordeling op deze avond.
De coördinator die moet zorgen voor de verdeling van de presentaties
over de lokalen, heeft een tabel met de 15 beschikbare lokalen. In deze
tabel vult hij bij elk lokaal het aantal presentaties in. Daarvoor heeft hij de
volgende mogelijkheden:
1 Hij kiest 1 lokaal waarin hij 2 presentaties plaatst, in de overige
14 lokalen komen dan 5 presentaties.
2 Hij kiest 3 lokalen waarin hij 4 presentaties plaatst, in de overige
12 lokalen komen dan 5 presentaties.
3 Hij kiest 1 lokaal waarin hij 3 presentaties plaatst, daarna kiest hij
1 lokaal waarin hij 4 presentaties plaatst. In de overige 13 lokalen
komen dan 5 presentaties.
Bij de laatste mogelijkheid is de verdeling bijvoorbeeld zo:
Lokaal L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11 L12 L13 L14 L15 Aantal presentaties 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 5 5
Je kunt berekenen dat er bij deze laatste mogelijkheid 210 manieren zijn
om de tabel in te vullen. Ook bij de twee andere mogelijkheden zijn er
meerdere manieren om de tabel in te vullen.
125p
Bereken het totaal aantal manieren waarop de coördinator de tabel kan
invullen.
De coördinator weet niet welke docent een groepje begeleid heeft. Hij
deelt per lokaal de groepjes leerlingen willekeurig in. Een docent mag niet
de presentatie beoordelen van een groepje dat hij of zij zelf begeleid
heeft.
Mevrouw Isakson en een collega zitten samen in een lokaal waarin
5 presentaties worden gehouden. Mevrouw Isakson heeft 4 groepjes
begeleid, haar collega heeft 3 andere groepjes begeleid.
134p
Bereken de kans dat mevrouw Isakson en haar collega alle groepjes die
in hun lokaal zijn ingedeeld, samen mogen beoordelen.
De volgorde van de presentaties wordt in elk lokaal door loting bepaald.
Carla en Irene presenteren samen. In hun lokaal worden 5 presentaties
gehouden. Hun vrienden Aron en Gino presenteren ook samen, in een
ander lokaal waarin voor de pauze 3 presentaties en direct na de pauze
1 presentatie gehouden wordt. Carla en Irene willen graag bij de
presentatie van hun vrienden zijn. Er mag echter alleen in de pauze van
lokaal gewisseld worden.
144p
Bereken de kans dat Carla en Irene bij de presentatie van Aron en Gino
kunnen zijn.

opgave 4Sociaal netwerk

Facebook is een sociaalnetwerksite, opgericht door Mark Zuckerberg
in februari 2004. In het begin konden alleen studenten van Harvard
College lid worden, later werden ook studenten van andere universiteiten
toegelaten. In september 2006 werd Facebook geheel openbaar. Iedereen
vanaf 13 jaar, waar ook ter wereld, kreeg de mogelijkheid om zich te
registreren en actief gebruik te gaan maken van de site.
Het aantal actieve gebruikers steeg de eerste jaren spectaculair. Zie
figuur 1, waarin het aantal actieve gebruikers op verschillende momenten
is aangegeven.
figuur 1
1000 aantal actieve gebruikers A 900 (in miljoenen) 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 12 24 36 48 60 72 84 96 t (maanden)
Op 1 december 2005, dat is bij t = 0, waren er 5,5 miljoen actieve
gebruikers, 43 maanden later, op 1 juli 2009, waren het er al 244 miljoen.
Neem aan dat er in deze periode bij benadering sprake was van
exponentiële groei.
154p
Bereken voor deze periode het groeipercentage per maand.
In de maanden na 1 juli 2009 groeide het aantal actieve gebruikers niet
meer exponentieel maar bij benadering lineair, van 244 miljoen op
1 juli 2009 tot 493 miljoen op 1 augustus 2010. Er werd in 2011 voorspeld
dat de groei zich op deze manier zou voortzetten.
164p
Bereken hiermee het aantal actieve gebruikers op 1 december 2013.
Het bleek erg optimistisch om aan te nemen dat de groei zich lineair
voortzet. Al in 2011 voorspelden sommigen dat de groei verder zou
afnemen. In figuur 2 zie je een grafiek die bij deze voorspelling past.
figuur 2
1000 aantal actieve gebruikers A 900 (in miljoenen) 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0 12 24 36 48 60 72 84 96 t (maanden)
Bij deze grafiek hoort de formule:
A = (4500)/(5 + 310 ⋅ 0,926t)
Hierin is A het aantal actieve gebruikers in miljoenen en t de tijd in
maanden met t = 0 op 1 december 2005.
173p
Bereken voor welke gehele waarde van t er volgens de formule voor het
eerst meer dan 730 miljoen actieve gebruikers zijn.
Volgens de formule zal het aantal actieve gebruikers uiteindelijk
nauwelijks meer toenemen en een grenswaarde benaderen.
183p
Bepaal deze grenswaarde met behulp van de formule.

opgave 5Lingo

Lingo is een woordspel dat sinds 1989 elke
figuur 1
werkdag op de Nederlandse televisie wordt
lingokaart team A
gespeeld. In deze opgave werken we met een
vereenvoudigde versie van het spel.
12 20 28
64 18 4 54
Twee teams van twee personen, team A en
team B, spelen tegen elkaar. Elk team krijgt aan 14 26 50
het begin van het spel een lingokaart met
32 38 58 2
25 getallen, waarvan er 8 worden weggehaald.
Zie figuur 1, waar de lingokaart te zien is van
22 44 30
team A, dat speelt met de even getallen. Ook
krijgt elk team een bak met 17 blauwe en 3 groene ballen. Op de
17 blauwe ballen staan de 17 overgebleven getallen van de lingokaart, op
de groene ballen staat niets.
Het team dat aan de beurt is, moet een woord raden. Lukt dat, dan mogen
beide spelers van dat team ieder een bal uit de bak trekken. Een
getrokken bal gaat niet terug in de bak.
Als een blauwe bal getrokken wordt, wordt het getal dat erop staat
weggehaald op de lingokaart. Bij het trekken van een groene bal moet
dezelfde speler nogmaals een bal trekken. Als een team alle groene
ballen heeft getrokken, krijgt dit team een extra prijs. Gemiddeld wordt
1 keer per week zo’n extra prijs toegekend.
Neem aan dat de kans, dat er op een willekeurige dag een extra prijs
wordt toegekend iedere dag gelijk is aan 0,2.
194p
Bereken de kans dat in een bepaalde week (maandag tot en met vrijdag)
op meer dan 1 dag een extra prijs wordt toegekend.
Team A begint en raadt het eerste woord.
203p
Bereken de kans dat team A in deze beurt uitsluitend twee blauwe ballen
trekt.
Er zijn voor team A meerdere mogelijkheden om na het raden van het
eerste woord twee blauwe ballen te trekken. Bijvoorbeeld: speler 1 van
team A trekt eerst een groene bal en daarna een blauwe bal, speler 2
trekt vervolgens een blauwe bal. In de tabel op de uitwerkbijlage is deze
mogelijkheid genoteerd.
214puitwerkbijlage
Schrijf op deze manier in de tabel op de uitwerkbijlage alle mogelijkheden
op die er voor team A zijn na het raden van het eerste woord.
Als er op de lingokaart van een team een rij van vijf getallen (horizontaal,
verticaal of diagonaal) is weggehaald, krijgt dit team Lingo. Daarbij hoort
een geldbedrag. Het team krijgt dan een nieuwe lingokaart.
Op een bepaald moment krijgt team B de beurt. Dit team heeft alle groene
ballen al getrokken en heeft nog 13 blauwe ballen in de bak zitten. De
lingokaart van team B ziet eruit zoals in figuur 2.
figuur 2
lingokaart team B
11 41 65
3 17
43
9
1
57 51
19 35 67
Team B raadt het woord en mag twee ballen trekken.
Er zijn nu drie mogelijkheden om Lingo te krijgen:
1 De eerste speler krijgt Lingo.
2 De eerste speler trekt 41 of 57, waardoor de tweede speler een
grotere kans op Lingo heeft.
3 De eerste speler krijgt geen Lingo en trekt niet 41 of 57; de tweede
speler kan nog steeds Lingo krijgen.
225puitwerkbijlage
Bereken de kans dat team B in deze beurt Lingo krijgt. Je kunt hierbij de
kansboom en de lingokaarten op de uitwerkbijlage gebruiken.