bronnen

Eindexamen wiskunde A havo 2015, tijdvak 2

opgave 1Beter spellen en rekenen

De website beterspellen.nl werd in 2011 door duizenden deelnemers
regelmatig bezocht. Op deze site kun je oefenen met de spelling van de
Nederlandse taal. Elke week kun je een score van 100 punten behalen.
Juliette was een van de deelnemers. Zij heeft van een aantal weken haar
resultaten bijgehouden. In de figuur zijn de scores van Juliette
aangegeven, evenals de gemiddelde score van alle deelnemers.
figuur
100 score 95 90 85 80 75 70 65 60 0 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 week Legenda: Juliette gemiddeld
Er is een week waarin de score van Juliette procentueel het meest afwijkt
van de gemiddelde score van alle deelnemers.
Dit is het geval in week 17 of 22.
13p
Onderzoek in welke van deze twee weken de procentuele afwijking het
grootst is en bereken deze maximale procentuele afwijking.
Op basis van bovenstaande gegevens neemt Juliette het volgende aan:
de kans dat in een willekeurige week haar score hoger is dan het
gemiddelde van alle deelnemers is gelijk aan (7)/(11). Zij vraagt zich af hoe
groot de kans is dat zij dan in de komende periode van 11 weken weer
precies 7 keer boven het gemiddelde scoort.
23p
Bereken deze kans.
Juliette oefende in dezelfde weken ook met rekenen op de website
beterrekenen.nl. Haar resultaten staan in de tabel.
tabel
week 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 gemiddelde score 82 77 86 85 81 87 75 83 80 84 84 score van Juliette 95 85 80 95 85 95 85 80 85 80 90
33p
Onderzoek in hoeveel weken Juliette bij rekenen onder het gemiddelde,
maar tegelijkertijd bij spellen boven het gemiddelde scoorde.
Op de website beterrekenen.nl kunnen de deelnemers elke werkdag, dus
5 keer per week, een test maken die uit 4 vragen bestaat. Soms is zo’n
vraag een open vraag, maar meestal is het een meerkeuzevraag. Er zijn
dan 4 antwoorden mogelijk.
De wiskundeleraar van Lotte verplicht zijn leerlingen elke week de vragen
op de website te beantwoorden. Hij verwacht van zijn leerlingen dat zij
meer dan de helft van de vragen goed beantwoorden.
In een bepaalde week zijn alle vragen meerkeuzevragen. Lotte vindt het
beantwoorden van de vragen vervelend werk en besluit alle vragen van
die week geheel op de gok in te vullen.
44p
Bereken de kans dat zij meer dan de helft van de vragen correct
beantwoordt.

opgave 2Maagbandje

In de periode 1981–2004 zijn volwassen Nederlanders gemiddeld een
stuk dikker geworden. Vooral het aantal mensen met obesitas, extreem
overgewicht, is enorm toegenomen. Zie tabel 1.
tabel 1
jaar aantal % volwassen aantal % volwassen volwassen mannen met volwassen vrouwen met mannen obesitas vrouwen obesitas 1981 5 056 000 4% 5 033 000 6% 2004 6 211 000 10% 6 452 000 12%
54p
Bereken met hoeveel procent het aantal volwassen mannen met obesitas
in 2004 is toegenomen ten opzichte van 1981.
De Body Mass Index (BMI) geeft aan of iemand een gezond gewicht heeft
of niet. Bij een BMI van 18,5 tot 25 is er sprake van een gezond gewicht.
Bij hogere waarden dan 25 is er sprake van overtollige BMI. Mensen met
obesitas hebben een BMI vanaf 35, dus een overtollige BMI van
minimaal 10.
Het is beter voor de gezondheid dat mensen met obesitas afvallen. Als
dat niet lukt, kan plaatsing van een maagbandje een oplossing zijn. Door
het maagbandje wordt de maag verkleind, zodat men minder kan eten.
Een ziekenhuis heeft bij 267 personen, 39 mannen en 228 vrouwen, een
maagbandje geplaatst en het effect ervan onderzocht. Bij dit onderzoek
berekende men voor alle personen het VOB (Verliespercentage
Overtollige BMI) twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
Bijvoorbeeld: een man met een BMI van 45 heeft een overtollige BMI van
20. Als zijn BMI na twee jaar gedaald is van 45 naar 40, is hij van zijn
overtollige BMI 5 kwijtgeraakt. Zijn VOB is dan (5)/(20) ⋅ 100(%) = 25(%). Het
VOB kan ook negatief zijn; dan is de BMI gestegen. In tabel 2 staan de
onderzoeksresultaten.
tabel 2
    mannen vrouwen   aantal personen 39 228 vóór plaatsen laagste BMI 36,2 36,1 maagbandje hoogste BMI 60,1 69,1 twee jaar na plaatsen laagste VOB 9,4(%) –10,0(%) maagbandje hoogste VOB 80,4(%) 97,8(%)
De vrouw die vóór plaatsing van het maagbandje de hoogste BMI had,
bleek twee jaar daarna een VOB van 58(%) te hebben.
64p
Bereken haar BMI twee jaar na plaatsing van het maagbandje.
Iemand concludeert op grond van de tabel: "Het is in deze groep mensen
niemand gelukt om na twee jaar een gezond gewicht te hebben."
73p
Leg uit of deze conclusie juist is.
We gaan ervan uit dat het VOB in deze groep normaal verdeeld is met
een gemiddelde van 46 en een standaardafwijking van 21.
De personen worden op grond van hun VOB ingedeeld in verschillende
klassen. De klasse met het hoogste VOB blijkt precies 35 van de
267 personen te bevatten.
84p
Bereken vanaf welk VOB iemand in deze klasse valt.
Bij 7 personen uit het onderzoek is het VOB negatief. Volgens de normale
verdeling zouden dit minder dan 7 personen moeten zijn.
94p
Bereken hoeveel personen dit volgens de normale verdeling zouden
moeten zijn.

opgave 3Gordijnen

Veel mensen hebben geplooide gordijnen voor de ramen hangen. Om zo’n gordijn te maken, heb je gordijnstof nodig. Deze wordt verkocht in verschillende stofbreedtes. In veel gevallen is de gordijnstof niet breed genoeg om er een passend gordijn mee te maken. Daarom wordt er vaak eerst een…

Veel mensen hebben geplooide gordijnen voor de ramen hangen. Om zo’n gordijn te maken, heb je gordijnstof nodig. Deze wordt verkocht in verschillende stofbreedtes. In veel gevallen is de gordijnstof niet breed genoeg om er een passend gordijn mee te maken. Daarom wordt er vaak eerst een rechthoekige lap van gemaakt door meerdere banen gordijnstof aan elkaar te naaien. Daarna worden de plooien gemaakt en wordt het geheel afgewerkt tot een gordijn, waarbij de banen altijd verticaal komen te hangen. Zie figuur 1. figuur 1 van vier banen gordijnstof naar één gordijn rechthoekige lap gemaakt van vier banen Om een gordijn met een bepaalde breedte te kunnen maken, is het nodig dat de oorspronkelijke lap minimaal 2 en maximaal 2,5 keer zo breed is als het uiteindelijke gordijn. Deze verhouding noemen we de plooiverhouding . Gerard maakt een gordijn van één baan gordijnstof met een stofbreedte van 140 cm. Hij wil dat het gordijn zo breed mogelijk wordt.

Bereken de maximale breedte van het gordijn. In vraag 10 wordt geen rekening gehouden met het afwerken van de zijkanten van het gordijn. Toch is dat wel nodig. Ook bij het aan elkaar zetten van de banen gaat gordijnstof verloren. In de ateliers waar gordijnen worden gemaakt, gebruikt men de…

Bereken de maximale breedte van het gordijn. In vraag 10 wordt geen rekening gehouden met het afwerken van de zijkanten van het gordijn. Toch is dat wel nodig. Ook bij het aan elkaar zetten van de banen gaat gordijnstof verloren. In de ateliers waar gordijnen worden gemaakt, gebruikt men de volgende formule om het aantal banen te berekenen: Hierin is B het aantal banen, G de breedte van het gordijn in cm, S de stofbreedte in cm en P de plooiverhouding. In de ateliers rekent men altijd met een geheel aantal banen; men rondt B altijd naar boven af om niet te weinig te hebben. In een atelier moet men een gordijn maken van 275 cm breed. De stofbreedte is 140 cm en men gebruikt de plooiverhouding 2,5.

Bereken het benodigde aantal banen.
figuur 2 Voor de afwerking van het gordijn aan de boven- en onderkant wordt in totaal 30 cm per baan gerekend. Als het gordijn bijvoorbeeld 100 cm hoog moet worden, is er dus 130 cm gordijnstof per baan nodig. Karen laat een gordijn maken met een breedte van 280 cm, een hoogte van 170 cm en een…

figuur 2 Voor de afwerking van het gordijn aan de boven- en onderkant wordt in totaal 30 cm per baan gerekend. Als het gordijn bijvoorbeeld 100 cm hoog moet worden, is er dus 130 cm gordijnstof per baan nodig. Karen laat een gordijn maken met een breedte van 280 cm, een hoogte van 170 cm en een plooiverhouding 2. Ze heeft hiervoor een gordijnstof gekozen met een stofbreedte van 90 cm. Deze stof kost € 12,95 per strekkende meter. Zie figuur 2. Het atelier rekent alleen de kosten van de gordijnstof, het maken is bij de prijs inbegrepen.

Bereken hoeveel Karen voor het gordijn moet betalen. Bij een plooiverhouding van 2,5 kan de formule van B tot G = 0,4 B ⋅ ( S − 7) worden herleid.
Geef deze herleiding.

opgave 4Inzamelingsactie

Steeds meer verenigingen moeten tegenwoordig zelf geld inzamelen.
Voetbalvereniging Oranje Nassau heeft voor groot onderhoud een bedrag
van 5000 euro nodig. De vereniging doet daarom een oproep om een
inzamelingsactie te bedenken. Het B1-team heeft een kraskaartenactie
bedacht. Hun kraskaart bevat 25 vakjes met in elk vakje een geldbedrag
van € 0,50, € 1,00 of € 2,50. Welk bedrag er in een vakje staat, is niet te
zien doordat elk vakje bedekt is met een kraslaagje waarop een voetbal
staat afgebeeld. Zie de figuur.
Door een vakje open te krassen verschijnt er een geldbedrag. Een
donateur kan een of meerdere vakjes openkrassen en betaalt vervolgens
het totale bedrag dat hij opengekrast heeft.
figuur
Voetbalvereniging Oranje Nassau Een goed doel!
Op alle kaarten staan de volgende bedragen onder de kraslaagjes:
4 x € 2,50, 9 x € 1,00 en 12 x € 0,50. Wat de deelnemers niet weten, is
dat de bedragen van € 2,50 op elke kaart in de vier hoekvakjes geplaatst
zijn. De overige bedragen staan willekeurig verdeeld over de vakjes.
143p
Bereken hoeveel verschillende kaarten gemaakt kunnen worden.
Joost is de keeper van het B1-team. Op zijn verjaardag legt hij de actie uit
aan familieleden. Oma wil eerst wel eens weten wat het haar zou kunnen
kosten als ze drie vakjes open zou krassen. Er zijn verschillende
mogelijkheden voor het bedrag dat dit oma zou kunnen kosten.
153p
Geef al deze mogelijkheden.
Opa vindt dat oma te lang treuzelt en besluit op een nieuwe kaart van
Joost willekeurig vier vakjes open te krassen.
165p
Bereken de kans dat opa na het openkrassen van vier vakjes precies
€ 4,00 moet betalen.
De aanwezige familieleden besluiten om mee te doen met de actie. Ze
krijgen van Joost allemaal een nieuwe kaart en spreken af dat ze, ieder
voor zich, net zo lang op een willekeurige manier vakjes open zullen
krassen totdat ze een bedrag van ten minste € 4,00 bij elkaar gekrast
hebben.
Sommigen zullen slechts twee of drie vakjes open hoeven krassen,
anderen zullen wat meer vakjes open moeten krassen. Vaker dan acht
keer is zeker niet nodig. In de tabel staat de kansverdeling van het aantal
vakjes dat moet worden opengekrast totdat er een bedrag van ten minste
€ 4,00 bij elkaar gekrast is.
tabel
aantal vakjes 1 2 3 4 5 6 7 8 kans 0 0,020 0,287 0,230 0,215 0,202 … 0,002
De kans dat iemand 8 vakjes open moet krassen is heel klein. In de tabel
kun je aflezen dat de kans hierop, afgerond op drie decimalen, 0,002 is.
174p
Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
Door eerst de ontbrekende kans in de tabel te berekenen, kun je
vervolgens de verwachtingswaarde berekenen van het aantal vakjes dat
door een familielid opengekrast wordt.
184p
Bereken deze verwachtingswaarde. Rond je antwoord af op één decimaal.

opgave 5Flitsleningen

Geld lenen kost geld. Soms kost het heel veel geld. Vooral als je direct
een paar honderd euro nodig hebt. In dit soort situaties kun je een
flitslening nemen. Je leent een niet al te groot geldbedrag en betaalt dit
na een korte periode terug.
Er bestaan verschillende websites waar je geld kunt lenen. Op de website
flitsmoney.nl staat dat er geen rente wordt berekend. Je hoeft alleen
behandelingskosten te betalen. Zie tabel 1.
tabel 1 Flitsmoney
te lenen bedrag (in euro) behandelingskosten (in euro) 100,00 25,00 250,00 62,50 300,00 75,00 375,00 93,75
Als je bijvoorbeeld € 100,00 wilt lenen, krijg je dit geld binnen 10 minuten
op je bankrekening. Dit bedrag moet samen met de € 25,00
behandelingskosten na 30 dagen worden terugbetaald.
Er is bij Flitsmoney een (recht) evenredig verband tussen het totaal terug
te betalen bedrag en het te lenen bedrag.
194p
Laat dit met berekeningen zien. Controleer hiervoor alle waarden in
tabel 1.
Iemand leent bij Flitsmoney een bedrag van € 250,00. Hij heeft dus een
schuld van € 250,00. Na 30 dagen is die schuld opgelopen tot € 312,50.
Als je uitgaat van exponentiële groei, kun je berekenen dat de schuld
dagelijks met ongeveer 0,75% groeit.
204p
Bereken dit percentage in drie decimalen nauwkeurig.
Zo’n flitslening is duur. Een schuld die dagelijks 0,75% groter wordt, zou
na een jaar fors gegroeid zijn.
214p
Bereken het groeipercentage per jaar.
Op de website supersnelcash.nl kun je ook geld lenen. Het verschil met
Flitsmoney is dat Supersnelcash het door jou aangegeven bedrag direct
vermindert met de behandelingskosten. Je moet dus een hoger bedrag
aangeven dan het bedrag dat je echt wilt lenen.
In tabel 2 zie je bijvoorbeeld dat je maar € 243,90 op je bankrekening
krijgt als je een bedrag van € 300,00 aangeeft. Supersnelcash rekent
hiervoor namelijk € 56,10 aan behandelingskosten. Deze
behandelingskosten zijn (recht) evenredig met het geleende bedrag.
Daarnaast stuurt Supersnelcash je een sms’je ter bevestiging. Dat sms’je
kost je nog eens € 1,50. De totale kosten K zijn in dit voorbeeld dus
€ 57,60.
tabel 2 Supersnelcash
aangegeven bedrag (in euro) bedrag L dat geleend wordt (in euro) behandelingskosten (in euro) kosten sms’je (in euro) 100,00 81,30 18,70 1,50 300,00 243,90 56,10 1,50 400,00 325,20 74,80 1,50 500,00 406,50 93,50 1,50
Er is bij Supersnelcash een lineair verband tussen de totale kosten K in
euro en het geleende bedrag L in euro dat de klant op zijn bankrekening
krijgt. Er geldt dus:
K = a ⋅ L + b
224p
Bereken a en b. Rond je antwoorden zo nodig af op twee decimalen.