bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering” X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering” Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot” − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering” noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 2Vangen-hervangen
Het is niet eenvoudig het totaal aantal vissen in een meer te tellen. Met
behulp van de statistische techniek ‘vangen-hervangen’ is het mogelijk
een schatting te doen van het aantal vissen. Deze techniek werkt als
volgt:
Vang een aantal vissen uit het meer. Dit is de eerste steekproef. Geef
deze vissen een merkteken. Zie figuur 1.
figuur 1
Zet de gemerkte vissen vervolgens weer terug in het meer. Wacht een
tijdje tot de gemerkte vissen zich over het hele meer verspreid hebben en
vang nogmaals een aantal vissen uit het meer. Dit is de tweede
steekproef. Zie figuur 2.
figuur 2
We kunnen nu veronderstellen dat de proportie gemerkte vissen in de
tweede steekproef, gelijk is aan de proportie gemerkte vissen in het hele
meer. In formulevorm:
Hierbij is:
− R het aantal gemerkte vissen in de tweede steekproef;
− C het aantal gevangen vissen dat in de tweede steekproef;
− M het aantal gevangen, en dus gemerkte, vissen in de eerste
steekproef;
− N het (geschatte) aantal vissen in het meer.
Biologen vangen in een meer bij een eerste steekproef 80 vissen, merken
deze en zetten ze weer terug in het meer. Een paar dagen later wordt een
tweede steekproef vissen gevangen. Hierin bevinden zich 6 gemerkte en
92 ongemerkte vissen.
63pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken met behulp van formule 1 hoeveel vissen er in het meer zijn.
Geef je antwoord in een geheel honderdtal.
We kunnen formule 1 herleiden tot een formule waarmee je eenvoudiger
het aantal vissen N in het meer kunt berekenen:
Biologen Adri en Fiona vangen samen een eerste steekproef, waarna zij
alle 30 vissen merken die ze samen hebben gevangen. De gemerkte
vissen zetten ze terug in het meer. Om de betrouwbaarheid van de
schatting van het aantal vissen in het meer te vergroten, vangt elk van
hen 180 vissen als tweede steekproef. Eerst vangt Adri 180 vissen en hij
telt het aantal gemerkte vissen. Daarna zet hij de 180 vissen terug in het
meer. Vervolgens vangt Fiona 180 vissen. In de steekproef van Fiona is
er één vis meer gemerkt dan in de steekproef van Adri. Beiden berekenen
met formule 2 het aantal vissen in het meer. Fiona’s uitkomst blijkt 60
lager te zijn dan Adri’s uitkomst.
74pRekenen met een gegeven formule 4p
Bereken het aantal gemerkte vissen in de steekproef van Adri.
Er is een situatie mogelijk, waarbij je vissen in de eerste steekproef vangt
en merkt, in een tweede steekproef weer vissen vangt, maar dat het niet
lukt om met formule 1 of 2 het aantal vissen in het meer te schatten.
82pRedeneren en uitleggen in de context 2p
Beschrijf deze situatie en leg uit waarom het in die situatie niet lukt om
met formule 2 het aantal vissen in het meer te schatten.
Formule 1 en 2 werken in de praktijk minder goed als R klein is. Daarom
is er met computersimulaties gezocht naar een formule die betere
schattingen geeft. Uit die computersimulaties bleek dat bij kleine waarden
van R, onderstaande formule betere schattingen geeft voor het aantal
vissen in het meer dan formule 2.
Het verschil in de schattingen van het aantal vissen volgens de formules 2
en 3 wordt groter naarmate er minder gemerkte vissen in een tweede
steekproef worden gevangen.
We bekijken de situatie waarbij in de eerste steekproef 120 vissen zijn
gevangen en gemerkt en in een tweede steekproef 150 vissen zijn
gevangen.
opgave 3Hygiëne op school
In 2018 verschenen er berichten in de media over de (toilet)hygiëne op
Nederlandse basisscholen en middelbare scholen. De berichten waren
gebaseerd op drie onderzoeken onder respectievelijk leraren die
werkzaam waren binnen het basis- of voortgezet onderwijs, leerlingen
tussen de 5 en 16 jaar oud en ouders met een kind tussen de 5 en 16 jaar
oud. In totaal namen 630 leraren, 452 leerlingen en 626 ouders deel aan
het onderzoek. We nemen aan dat elk van de drie steekproeven aselect
en representatief was.
In de steekproef van de leerlingen gaven 194 van de 452 leerlingen aan
regelmatig moeite te hebben met opletten tijdens de les, omdat zij op
sommige momenten naar het toilet moeten, maar niet gaan.
104pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage
Nederlandse leerlingen tussen de 5 en 16 jaar oud, waarvoor het
bovenstaande geldt. Geef de percentages in je antwoord in gehelen.
Van de 452 leerlingen in de steekproef zaten er 302 op de basisschool en
150 op de middelbare school. Precies de helft van de
basisschoolleerlingen gaat op school niet naar het toilet. Bij de
middelbare scholieren is dit 60%.
In deze steekproef is er dus een verschil tussen basisschoolleerlingen en
middelbare scholieren in het deel dat op school niet naar het toilet gaat.
114pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dat verschil groot,
middelmatig of gering is.
Veel ouders vermoeden dat een betere hygiëne op een school samengaat
met een lager percentage ziekmeldingen onder de leerlingen van de
betreffende school.
Neem aan dat de hygiëne van een school uitgedrukt wordt in een score
tussen 0 en 100 waarbij geldt: hoe hoger de score, hoe beter de hygiëne
van de betreffende school.
122puitwerkbijlageData presenteren en beoordelen 2p
Geef op de uitwerkbijlage een schets van een mogelijke puntenwolk die
het vermoeden ondersteunt dat een betere hygiëne samengaat met een
lager percentage ziekmeldingen.
De 630 leraren in de steekproef hebben gereageerd op de stelling of hun
school over voldoende schoonmaakbudget beschikt om de hygiëne op
school te kunnen waarborgen. Het resultaat staat in de tabel.
tabel
In de media werd naar aanleiding van dit onderzoek geconcludeerd dat
ruim een derde van de leraren aangeeft dat het schoonmaakbudget te
laag is om de hygiëne te kunnen waarborgen.
Kennelijk had men hiervoor de twee reactiemogelijkheden ‘helemaal mee
oneens’ (11%) en ‘mee oneens’ (27%) samengevoegd.
132pData presenteren en beoordelen 2p
Had men op basis van deze tabel ook een uitspraak over het gemiddelde
van de lerarenreacties kunnen doen? Licht je antwoord toe.
Een journalist maakte bij de gegevens uit de tabel een grafiek van het
cumulatieve percentage. Zie de figuur.
figuur
De manier waarop de reactiemogelijkheid ‘weet niet’ is opgenomen in de
grafiek kan misleidend worden genoemd.
143pData presenteren en beoordelen 3p
Leg uit waarom deze manier misleidend kan worden genoemd en geef
aan wat een betere manier is om met deze reactiemogelijkheid om te
gaan bij het maken van zo’n grafiek.
opgave 6Voor de afdrukkosten per pagina GR voor het abonnement
Print Regelmatig geldt:
Hierin is p het aantal pagina’s, waarbij p minstens 100 is.
Formule 3 kan in de volgende vorm worden geschreven:
Hierin zijn a en b positieve getallen en p is het aantal pagina’s, waarbij
minstens 100 is.
193pFormules herleiden en omwerken 3p
Bepaal de waarden van a en b in formule 4, zonder gebruik te maken van
getallenvoorbeelden voor p. Geef deze waarden in twee decimalen.
De afdrukkosten per pagina G kunnen voor elk abonnement, als het
aantal pagina’s groter is dan het aantal gratis pagina’s, beschreven
worden met een formule van de vorm:
Hierin zijn c en d positieve getallen.
opgave 765-plussers
Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) publiceerde eind 2018 een
artikel met prognoses over het aantal inwoners in Nederland waaruit bleek
dat dit aantal minstens tot 2030 zal blijven toenemen. Ook beweerde het
CBS in dit artikel dat in 2030 bijna een kwart van de bevolking
65-plus (65 jaar of ouder) is. Zie de figuur. De gegevens gelden telkens op
31 december van het jaar.
figuur
Op basis van gegevens van de jaren 2000 tot en met 2018 en prognoses
van 2019 tot en met 2030 verwacht men dat de totale bevolking in de
periode 2000-2030 nagenoeg lineair zal groeien, terwijl het aantal
65-plussers exponentieel zal groeien. In deze opgave gaan we ervan uit
dat deze lineaire en exponentiële groei zich beide na 2030 voortzetten.
