bij dit examen
FORMULEBLAD Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen waarin a , b , c en d absolute aantallen zijn − als phi < − 0,4 of phi > 0,4 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als − 0,4 ≤ phi < − 0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als − 0,2 ≤ phi ≤ 0,2 , dan zeggen we “het verschil is gering” Maximaal verschil in cumulatief percentage ( max V cp ) (met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100 ) − als max V cp > 40 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 20 < max V cp ≤ 40 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als max V cp ≤ 20 , dan zeggen we “het verschil is gering” X 1 − X 2 Effectgrootte E = 1 , met X 1 en X 2 de steekproefgemiddelden 2 ( S 1 + S 2 ) ( X 1 ≥ X 2 ), S 1 en S 2 de steekproefstandaardafwijkingen − als E > 0,8 , dan zeggen we “het verschil is groot” − als 0,4 < E ≤ 0,8 , dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − als E ≤ 0,4 , dan zeggen we “het verschil is gering” Twee boxplots vergelijken − als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is groot” − als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is middelmatig” − in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering” noot 1 De ‘box’ is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
opgave 1CO2 en andere broeikasgassen
In discussies over het klimaat gaat het vaak over de uitstoot van
broeikasgassen. In het Nederlandse klimaatakkoord is als doel gesteld dat
de gemiddelde uitstoot van broeikasgassen per inwoner per jaar in 2030
gehalveerd is ten opzichte van 1990.
In 1990 was in Nederland de gemiddelde uitstoot van broeikasgassen per
inwoner per jaar 15,1 ton en in 2017 was die 11,6 ton.
Neem aan dat er in de periode 1990-2017 sprake was van een lineaire
daling en dat deze daling zich op dezelfde wijze voortzet na 2017.
14pLineaire functies 3p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek met bovenstaande gegevens en aannames of de genoemde
doelstelling gehaald wordt.
CO
heeft het grootste aandeel in de broeikasgassen die worden
uitgestoten. In figuur 1 staat de wereldwijde uitstoot van CO
per jaar.
figuur 1 wereldwijde CO
-uitstoot Neem aan dat de wereldwijde uitstoot van CO
in de periode van 1900 tot
1980 exponentieel is gegroeid.
25pExponentiële functies en groei 4p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken met de gegevens van 1900 en 1980 in figuur 1 het jaarlijkse
groeipercentage in deze periode. Geef je antwoord in één decimaal.
In figuur 2 staat de top zes van landen met de grootste CO
-uitstoot in 2017.
In deze opgave beschouwen we de Europese Unie als één land.
figuur 2 CO
-uitstoot in 2017 In figuur 3 staat van dezelfde landen de uitstoot van overige broeikasgassen
in 2017 weergegeven.
figuur 3 uitstoot overige broeikasgassen in 2017
Om de totale uitstoot van broeikasgassen in 2017 van deze landen eerlijk te
kunnen vergelijken, wordt er rekening gehouden met het aantal inwoners
van elk land. Zo kun je van deze landen een ranglijst maken op basis van de
gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner per land.
Om de ranglijst te kunnen maken, zijn de getallen in de onderstaande tabel
nodig, maar voor China ontbreekt nog de gemiddelde uitstoot van alle
broeikasgassen per inwoner in 2017.
tabel
34pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 2p
Bereken voor China de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per
inwoner in 2017 en geef de ranglijst op basis van de gemiddelde uitstoot.
India brengt de uitstoot van broeikasgassen ook in verband met de omvang
van het bruto nationaal product van het land.
Neem aan dat voor India de volgende formules gelden:
BNP = 2597 ⋅1,06t
Hierin is:
− U de uitstoot van alle broeikasgassen (in miljard ton)
− B het aantal inwoners (in miljarden)
− BNP het bruto nationaal product (in miljard US-dollar)
− t het geheel aantal jaren na 2017
De uitkomsten van de formules gelden telkens op het einde van het jaar.
Volgens deze formules zal in India de gemiddelde uitstoot van alle
broeikasgassen per inwoner (
) in de jaren na 2017 steeds stijgen.
Er komt dan een moment waarop
voor het eerst verdubbeld zal zijn ten
opzichte van de waarde in 2017.
53pExponentiële functies en groei 3p
Beredeneer dit aan de hand van de gegeven formules, zonder hierbij
gebruik te maken van getallenvoorbeelden of van een schets of tekening
van de grafiek van
.
opgave 2Grut van grutto’s
De grutto is een weidevogel. Het vrouwtje maakt
een nestkuil in het gras en legt daarin haar
eieren. Daarna broeden het mannetje en het
vrouwtje om beurten. De eieren komen na
ongeveer 24 dagen uit.
Als de grutto’s tijdens het broeden lastiggevallen
worden door andere dieren, bijvoorbeeld een vos
of een roofvogel, dan verlaat het broedpaar het
nest. Dagelijks gaat hierdoor ongeveer 2% van
de nesten verloren.
63pExponentiële functies en groei 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel procent van de nesten in 24 dagen verloren gaat. Geef
je antwoord in hele procenten.
24 dagen na het uitkomen van het ei is een kuiken vliegvlug. Dit betekent
dat de donsveren hebben plaatsgemaakt voor echte veren en dat het kuiken
kan vliegen.
Voor het gewicht van kuikens die opgroeien, geldt in de periode vanaf het
uitkomen van het ei tot het moment dat het kuiken vliegvlug is, bij
benadering:
Hierin is d het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam en G het
gewicht van het kuiken in grammen.
73pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel keer zo zwaar een kuiken is op de dag dat het vliegvlug
is, ten opzichte van de dag dat het ei uitkwam. Geef je antwoord als
geheel getal.
We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij
benadering:
T = 3000 − 0,6G2 + 152,9G
Hierin is G het gewicht van het kuiken in grammen en T de gewichtstoename
per dag in milligrammen.
85pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 4p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken hoeveel dagen na de dag dat het ei uitkwam (d) de
gewichtstoename per dag (T) van het kuiken maximaal is. Geef je
antwoord in gehele dagen.
In grasland vinden de grutto’s veel prooien, zoals insecten.
Naarmate de grutto’s ouder worden, kunnen ze steeds grotere prooien
vangen. De grootte van een prooi wordt gegeven in milligram droge stof.
Voor de maximale grootte van een prooi die grutto’s kunnen eten, geldt de
formule:
Hierin is P de maximale grootte van de prooi in milligram droge stof en d het
aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam.
De maximale grootte van de prooi die een grutto kan eten, nadert op den
duur naar een bepaalde waarde.
93pRedeneren en uitleggen in de context 3p
Beredeneer met behulp van formule 3 welke waarde dit is.
In vochtig grasland leven meer insecten en andere prooien voor grutto’s dan
in droog grasland. Er is onderzoek gedaan naar de grondwaterstand in
graslanden met een afnemend aantal grutto’s en naar de grondwaterstand in
graslanden met een stabiel aantal grutto’s. De grondwaterstand is de hoogte
van het grondwater ten opzichte van het grasoppervlak. De resultaten zijn in
onderstaande boxplots verwerkt.
figuur grondwaterstand in graslanden met een
afnemend en met een stabiel aantal grutto’s
Iemand trekt op basis van dit onderzoek twee conclusies:
I Er is volgens de vuistregels op het formuleblad een groot verschil
tussen de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal
grutto’s en de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal
grutto’s.
II De grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto’s
is normaal verdeeld.
104pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 4p
Leg voor elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt trekken
op basis van de figuur.
Het gaat niet zo goed met de grutto. Sinds 1990 daalt het aantal grutto’s
exponentieel. Twee instanties deden een uitspraak over deze daling:
− Een onderzoeksinstituut gaf aan dat in de periode 1990-2019 het
aantal grutto’s elke 13 jaar halveerde.
− Vogelbescherming Nederland gaf aan dat het aantal grutto’s met
twee derde was afgenomen in de periode 1990-2019.
115pExponentiële functies en groei 5p
Onderzoek welke uitspraak leidt tot het hoogste aantal grutto’s in 2019:
die van het onderzoeksinstituut of die van Vogelbescherming Nederland.
Ga verder op de volgende pagina.
opgave 3Mantelzorgers
Steeds meer ouderen in Nederland blijven langer thuis wonen. Veel ouderen
hebben daarbij wel vaak meer zorg nodig. Behalve professionele hulp
hebben de meeste ouderen ook mantelzorgers die hen helpen.
Mantelzorgers zijn mensen, meestal familieleden, die onbetaald zorg
verlenen.
We bekijken de leeftijden van de mantelzorgers. In figuur 1 staan de
resultaten uit een representatieve steekproef onder 2749 mantelzorgers van
18 jaar en ouder die zorg verlenen aan ouderen van 85 jaar en ouder.
figuur 1 mantelzorgers in vier leeftijdsgroepen (in procenten)
Op basis van bovenstaande gegevens kun je voor het percentage
50-74-jarigen in de populatie mantelzorgers van 18 jaar en ouder een
95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen.
123pStatistische uitspraken en groepen vergelijken 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Stel met behulp van het formuleblad dit 95%-betrouwbaarheidsinterval op
voor de populatieproportie. Geef de grenzen van het interval als
percentages in één decimaal.
We bekijken twee categorieën ouderen:
− jongere ouderen: 50 tot en met 74 jaar oud
− oudere ouderen: 85 jaar en ouder
Elke jongere oudere is een potentiële mantelzorger. Om het aantal
potentiële mantelzorgers per oudere oudere in beeld te brengen, gebruikt
men de maatstaf Oldest Old Support Ratio (OOSR); in formulevorm:
OOSR
Sinds 1975 neemt de OOSR op landelijk niveau af.
Ten opzichte van 1975 is het aantal jongere ouderen in 2015 met 25%
toegenomen. In diezelfde periode is het aantal oudere ouderen tweeënhalf
keer zo groot geworden.
133pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken met hoeveel procent de OOSR in 2015 ten opzichte van 1975 is
afgenomen.
Omdat mantelzorgers meestal in de buurt van oudere ouderen wonen, wordt
de OOSR ook per gemeente berekend.
We vergelijken de OOSR van twee gemeenten met behulp van
bevolkingsdiagrammen. Een bevolkingsdiagram is een diagram waarin aan
twee kanten de leeftijdsopbouw van de bevolking is weergegeven, links die
van de mannen en rechts die van de vrouwen.
In figuur 2 zie je twee bevolkingsdiagrammen (I en II) waarvan er één bij
gemeente A hoort en de ander bij gemeente B. Daarbij geldt dat de OOSR
van gemeente A groter is dan die van gemeente B.
figuur 2 bevolkingsdiagram I bevolkingsdiagram II
144pData presenteren en beoordelen 2p · Redeneren en uitleggen in de context 2p
Beredeneer welk bevolkingsdiagram bij gemeente A hoort.
In figuur 3 zijn van alle gemeenten de OOSR’s verwerkt in boxplots voor de
jaren 2015 en 2020.
figuur 3
We kijken in figuur 3 naar de gemeenten die een OOSR van minder dan 16
hebben. Iemand beweert dat het aantal gemeenten met deze eigenschap in
de periode 2015-2020 met een kwart van het totaal aantal gemeenten is
toegenomen.
153pCentrum, spreiding en verdelingen 3p
Beredeneer met behulp van figuur 3 of deze bewering juist is.
Als thuis wonen zelfs met hulp van professionals en mantelzorgers niet meer
mogelijk is, kunnen mensen in een zorginstelling gaan wonen.
Mantelzorgers krijgen dan minder zorgtaken, maar blijven noodzakelijk om
bijvoorbeeld de financiën te regelen.
Een zorginstelling wil weten wat de bewoners en hun mantelzorgers vinden
van de zorg die de zorginstelling biedt. Daarom wordt er een representatieve
steekproef genomen uit de bewoners en hun mantelzorgers.
De deelnemers aan de steekproef gaven antwoord op de vraag:
In hoeverre bent u tevreden over de geboden zorg?
De uitkomsten van de steekproef staan in figuur 4.
figuur 4 tevredenheid van de deelnemers aan de steekproef
163pData presenteren en beoordelen 3p
Geef aan van welke twee variabelen er sprake is in dit onderzoek en geef
bij elk van deze twee variabelen aan of het een nominale of ordinale
variabele is. Licht je antwoord toe.
opgave 4Hoe zwaar is een bergbeklimming met de fiets?
Elke zomer zijn er heel wat Nederlandse
wielrenners te vinden op bergwegen in
Frankrijk. Deze hele opgave gaat over
bergbeklimmingen met de fiets.
Er bestaat een model waarmee de
zwaarte van een bergbeklimming met de
fiets, berekend kan worden. Volgens dit
model geldt:
Hierin is:
− I de zwaarte-index
− h het hoogteverschil tussen begin- en eindpunt van de beklimming
(in meter)
− w de weglengte die tijdens de beklimming wordt afgelegd
(in kilometer)
Hoe groter de zwaarte-index, hoe zwaarder de bergbeklimming.
Voor de beklimming van de Franse berg Mont Ventoux geldt een
zwaarte-index van 12,1.
In Nederland bevindt zich de Vaalserberg. Bij de beklimming van deze berg
vanuit het dorp Vaals leg je 2830 meter af om de top te bereiken.
Het hoogteverschil bij deze beklimming is 143 meter.
183pRekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel keer zo groot de zwaarte-index van de beklimming van
de Mont Ventoux is als die van de beklimming van de Vaalserberg. Geef
je antwoord als geheel getal.
De beklimming van de Franse berg Alpe d’Huez start vanuit het dorpje
Bourg d’Oisans op een hoogte van 799 meter. Het eindpunt ligt op een
hoogte van 1860 meter. De zwaarte-index van deze beklimming is 9,2.
202pFormules herleiden en omwerken 2p
Geef deze herleiding.
Iemand zoekt een bergbeklimming met een maximale weglengte van 4 km.
De zwaarte-index moet tussen die van de Alpe d’Huez (9,2) en die van de
Mont Ventoux (12,1) in liggen.
Om zo’n bergbeklimming te vinden, geeft hij met behulp van formule 2 in een
assenstelsel het gebied aan met de combinaties van w en h die leiden tot
een dergelijke I. Op de uitwerkbijlage is het assenstelsel al getekend.
opgave 5Zorg om zorguitgaven
In Nederland regelt de Zorgverzekeringswet (Zvw) een verplichte
basisverzekering voor alle inwoners. Deze basisverzekering dekt de
zorguitgaven aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten; de som
hiervan noemen we de totale zorguitgaven. In 2018 bedroegen de totale
zorguitgaven 19,637 miljard euro.
Uit onderzoek blijkt dat er een samenhang bestaat tussen de zorguitgaven
aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten. Als huisartsen meer
mogelijkheden krijgen om hun patiënten te helpen, worden de zorguitgaven
aan huisartsen hoger en de zorguitgaven aan specialisten lager. In deze
opgave onderzoeken we of extra uitgaven aan huisartsenzorg leiden tot
lagere totale zorguitgaven als we uitgaan van bepaalde gegevens en
aannames.
We bekijken het jaar 2018 en gebruiken de volgende gegevens:
− Er waren 17 miljoen verzekerden die onder de Zvw vielen.
− Alle 17 miljoen verzekerden stonden ingeschreven bij een huisarts.
− 30% van alle verzekerden kreeg van de huisarts een verwijzing naar
een specialist.
− In de tabel staan de gemiddelde zorguitgaven per verzekerde zonder
of met verwijzing naar een specialist.
tabel
zonder of met gemiddelde zorguitgaven verwijzing naar per verzekerde een specialist (in euro’s) gemiddelde zorguitgaven aan huisartsen gemiddelde zorguitgaven aan specialisten gemiddelde totale zorguitgaven verzekerde zonder verwijzing naar een specialist (70%) 43 0 43 verzekerde met verwijzing naar een specialist (30%) 250 3500 3750
We nemen aan dat in 2018 voor de verzekerden met een verwijzing naar
een specialist, elke stijging van 10 euro op de gemiddelde zorguitgaven aan
huisartsen leidt tot een daling van 0,5% van hun gemiddelde zorguitgaven
aan specialisten. Dus als bijvoorbeeld de 250 euro in de tabel zou stijgen
naar 260 euro, dan zou de 3500 euro in de tabel met 0,5% dalen naar
3482,50 euro.
Stel nu dat in 2018 de zorguitgaven aan huisartsen van verzekerden met
een verwijzing naar een specialist in totaal 510 miljoen euro hoger zouden
zijn.
226pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p · Exponentiële functies en groei 2p
Onderzoek aan de hand van bovenstaande gegevens en aannames of de
totale zorguitgaven in 2018 dan lager zouden zijn dan 19,637 miljard euro.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
) laat een dalende trend zien na 2017.
