bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2005, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Volumeknop

De volumeknop op een versterker kan
gedraaid worden vanuit stand 0 naar stand 18.
Zie figuur 1.
In stand 0 geeft de versterker geen geluid.
In stand 18 geeft de versterker het maximale
geluidsniveau.
Er geldt de volgende formule:
P = a ⋅ log(x + 1)
Hierin is x de stand van de volumeknop,
8 9 10 7 11 6 12 5 13 4 14 3 15 2 16 1 17 0 18
P het percentage van het maximale geluidsniveau
en a een constante.
14p
24p
In figuur 2 is de grafiek getekend die het
verband tussen x en P weergeeft.
Uit de gegevens is af te leiden dat a ≈ 78.
Bereken a in drie decimalen nauwkeurig.
In de volgende vragen gaan we uit van
a = 78.
Bereken bij welke stand van de volumeknop
het geluidsniveau gelijk is aan 75% van het
maximale geluidsniveau. Geef je antwoord in
100 O 18 x
één decimaal nauwkeurig.
33p
Bij deze versterker wordt de wijzerplaat van figuur 3
de volumeknop vervangen door de
wijzerplaat van figuur 3.
In stand –3 geeft de versterker geen geluid.
In stand 3 geeft de versterker het maximale
geluidsniveau.
k is de stand van de volumeknop bij deze
wijzerplaat.
In figuur 3 is k gelijk aan –1,3.
Onderzoek hoe groot de waarde van P is bij
deze stand van de volumeknop.
0 -1 1 -2 2 -3 3

opgave 2Een familie van functies

In figuur 4 is de grafiek getekend van de figuur 4 functie f gegeven door: f ( x ) = 2 x 2 – 2 x De lijn k met vergelijking y = 1 snijdt deze grafiek in de punten A en B .
→ Bereken de lengte van het lijnstuk AB . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. In figuur 5 is de grafiek getekend van de figuur 5 functie g gegeven door: g ( x ) = (2 x 2 – 2 x ) 3 De raaklijn aan de grafiek van g in het punt (–1, 64) snijdt de y -as in een punt S .
→ Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de y -coördinaat van S . Een familie van functies is gegeven door figuur 6 y = (2 x 2 – 2 x ) n voor elk positief geheel getal n . Bij n = 1 hoort de functie f van figuur 4 en bij n = 3 de functie g van figuur 5. In figuur 6 is in één…

→ Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de y -coördinaat van S . Een familie van functies is gegeven door figuur 6 y = (2 x 2 – 2 x ) n voor elk positief geheel getal n . Bij n = 1 hoort de functie f van figuur 4 en bij n = 3 de functie g van figuur 5. In figuur 6 is in één assenstelsel voor een aantal waarden van n de grafiek van y = (2 x 2 – 2 x ) n getekend. Voor elke waarde van n heeft de grafiek van y = (2 x 2 – 2 x ) n een top voor x = ½ .

→ Onderzoek voor welke waarden van n de afstand van deze top tot de x -as kleiner is dan 0,001.

opgave 3Krantenbakken

Van rechthoekige kunststofplaten van 50 bij 90 cm worden krantenbakken gemaakt. Elke
plaat wordt gebogen langs twee rechte lijnen die evenwijdig zijn aan de korte zijde van de
rechthoek. De gehele plaat van 50 bij 90 cm wordt gebruikt. Het vooraanzicht van de
krantenbak is symmetrisch.
In de hele opgave is de afstand tussen de opstaande platen aan de bovenkant twee keer zo
groot als de breedte aan de onderkant.
De dikte van de plaat wordt in deze opgave verwaarloosd.
We bekijken eerst een krantenbak waarvan de onderkant een breedte van 10 cm heeft.
Zie figuur 7.
20 50 10
90 50 10
figuur 7
20 10
75p
Bereken de hoogte van de krantenbak in millimeters nauwkeurig.
Vervolgens bekijken we een krantenbak die aan de onderkant 20 cm breed is. In deze
krantenbak wordt een groot, dun prentenboek gelegd zoals in figuur 8 in een vooraanzicht
te zien is. Het prentenboek is 50 bij 65 cm groot en wordt met de zijde van 50 cm in de
krantenbak gelegd zodat het prentenboek aan de open zijkanten niet uitsteekt.
40 20
figuur 8
In dit vooraanzicht zijn diktes van kunststofplaat en prentenboek verwaarloosd.
Dit vooraanzicht staat met schaal 1:10 ook op de uitwerkbijlage.
83puitwerkbijlage
Teken op de uitwerkbijlage het zijaanzicht van de krantenbak met daarin het prentenboek
met schaal 1:10.
Als de onderkant een andere breedte krijgt, verandert de hoogte van de krantenbak. In
figuur 9 zijn nogmaals enkele situaties weergegeven. De breedte van de onderkant noemen
we x (in cm).
h x
h x
figuur 9
De hoogte h (in cm) van de krantenbak hangt af van x.
Er geldt: h = √(2025 − 45x).
95p
Toon dit aan.
De inhoud I (in dm3) van de krantenbak hangt ook af van x.
Er geldt: I = 0,075x√(2025 − 45x).
De grafiek van I is in figuur 10 weergegeven.
I (dm3) x (cm)
figuur 10
103p
Onderzoek bij welke waarde van x en van h de inhoud van de krantenbak maximaal is.
Men wil de krantenbakken een inhoud geven van minimaal 30 dm3 en een hoogte van
minimaal 20 cm.
116p
Onderzoek welke breedtes de krantenbakken aan de onderkant nu kunnen krijgen. Geef je
antwoord in millimeters nauwkeurig.

opgave 4Delta vaas

De Nederlandse architect Mart van Schijndel foto
heeft in 1981 de Delta vaas ontworpen. Zie de
foto hiernaast en figuur 11.
De vaas is gemaakt uit drie gelijke platte
stukken plexiglas die aan elkaar gelijmd zijn.
Zie de figuren 12a, 12b en 12c.
De vaas staat op de zijden TP, TQ en TR.
De zijvlakken BRTA, CQTB en APTC hebben
dezelfde vorm en dezelfde oppervlakte.
Verder geldt: ∠ABR = ∠BRT = 90°;
AB = 10 cm, TR = 5 cm en BR = 15 cm.
In de volgende vragen wordt de dikte van het
plexiglas verwaarloosd.
figuur bij de opgave
fig.11 en12
B C P T R Q
A B T R
C B Q T
A C P T
124p
Bereken hoeveel vierkante centimeter plexiglas in de vaas verwerkt is.
134p
Bereken hoek T van vierhoek ATRB.
De inhoud van de vaas is gelijk aan de inhoud van de piramide T.ABC.
De hoogte van deze piramide is afgerond 14,72 cm.
145p
Bereken de inhoud van de vaas.
Op de uitwerkbijlage is op schaal 1: 2 het begin getekend van een bovenaanzicht van de
Delta vaas uit figuur 11.
156p
Teken in deze figuur de punten T, P, Q en R, en maak het bovenaanzicht af.

opgave 5Golfplaat

Golfplaat is een bouwmateriaal dat gebruikt figuur 13
wordt voor het afdekken van eenvoudige
bouwwerken. In figuur 13 is een rechthoekig
stuk golfplaat getekend.
In figuur 14 is het vooraanzicht van dit stuk
golfplaat in een assenstelsel getekend. Hierbij
is de dikte verwaarloosd.
In het assenstelsel zijn x en y uitgedrukt in
cm. Bij deze grafiek behoort de formule:
S Q 55 cm 67 cm P
y = 3 + 3sin (0,469x).
figuur 14 y
P Q x
De golfplaat uit figuur 13 wordt als afdakje figuur 15
gebruikt. De plaat wordt horizontaal
neergelegd en steunt aan de randen PQ en RS
op een muur.
De ruimtes tussen de bovenrand van de muur
en de golfplaat worden afgedicht met houten
blokjes. Deze blokjes zijn 3,8 cm hoog en
3,8 cm mmmuuuuuurrr breedte
hebben een zo groot mogelijke breedte. In
figuur 15 is dit geschetst.
164p
Bereken de breedte van zo'n blokje. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.
Het bovenaanzicht van het stuk golfplaat uit figuur 13 is een rechthoek PQRS.
PQ = 67 cm en PS = 55 cm.
Dit stuk golfplaat wordt diagonaal doorgezaagd. In het bovenaanzicht is de zaagsnede een
rechte lijn van S naar Q. De werkelijke vorm van de doorsnede is een sinusoïde.
177p
Stel een formule op van deze sinusoïde als deze op ware grootte in een assenstelsel zoals in
figuur 14 wordt weergegeven.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Wortelfuncties

Gegeven is de functie f(x) = .
Op de grafiek van f ligt het punt A met y-coördinaat 12.
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in A.
186p
Bereken met behulp van differentiëren de richtingscoëfficiënt van de lijn l. Geef het exacte
antwoord.
De functie f is één van de functies y = √(px − 4p + 4), waarbij p elke waarde kan aannemen.
Voor p = 2 ontstaat de gegeven functie f.
In figuur 16 is voor enkele waarden van p de grafiek van y = √(px − 4p + 4) getekend.
Deze getekende grafieken hebben een gemeenschappelijk punt G.
y f G O x
figuur 16
194p
Toon aan dat alle grafieken van y = √(px − 4p + 4) door dit punt G gaan.
√(Einde)
Lees verder