Eindexamen wiskunde B havo 2005 tijdvak 2 (wiskunde B1)

opgave 1Weggebruik

Als er een nieuwe verkeersweg geopend wordt, dan zullen sommige automobilisten overstappen van hun gebruikelijke route naar deze nieuwe weg. Bij de planning van nieuwe verkeerswegen is het van belang te weten hoeveel procent van de automobilisten gebruik zal gaan maken van zo’n weg. Uit een onderzoek door Amerikaanse verkeersdeskundigen blijkt dat dit percentage ( p ) afhangt van de tijdwinst in minuten ( t ) en de afstandsbesparing in mijlen ( d ) die een nieuwe autoweg oplevert. In figuur 1 is voor een aantal waarden van p in grafieken weergegeven welke waarden van d en t hierbij horen. Een negatieve waarde van d of t betekent dat er sprake is van een omweg figuur 1 of tijdverlies. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. --1122 -12 -11 --1111 -10 --1100 -9 --99 -8 --88 -7 --77 -6 --66 -5 --55 -4 --44 -3 --33 -2 --22 -1 --11 O O 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1100 10 1111 11 1122 12 p/p =/= 90/80 -1 --11 -2 --22 -3 --33 eeexxxtttrrraaa aaafffssstttaaannnddd -4/-5 --44 --55 eexxttrraa extra ttiijjdd tijd B -6 --66 p = 0 p = 10 p = 20 p = 30 In figuur 1 is een punt A getekend. In dit punt A geldt: p = 70, d = 6 en t = − 5. Dit betekent dat 70% van de automobilisten gebruik zal maken van de nieuwe weg dankzij de afstandsbesparing van 6 mijl en ondanks het tijdverlies van 5 minuten. Bij de planning van een nieuwe weg kan er gekozen worden uit twee verschillende trajecten. Traject I levert een tijdsbesparing van 4 minuten op, maar wel een omweg van 2 mijl. Bij traject II is er een tijdverlies van 6 minuten, maar een afstandsbesparing van 2 mijl.

→ Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welk traject (I of II) het percentage gebruikers het grootst is. Bij de grafieken uit figuur 1 hebben de Amerikaanse verkeersdeskundigen de volgende formule gevonden voor het verband tussen In figuur 1 is tevens een punt B getekend.

→ Bereken met behulp van de gegeven formule bij welke tijdsbesparing 45% van de automobilisten een omweg van 5 mijl zal accepteren. In figuur 1 lijkt de grafiek die hoort bij p = 50 op een rechte lijn.

→ Toon op algebraïsche wijze aan dat volgens de formule deze grafiek een rechte lijn is. We gaan nu uit van een situatie dat de nieuwe weg reeds aangelegd is. Volgens het onderzoek is de kans dat een automobilist van deze nieuwe weg gebruik zal maken gelijk aan 80%. Ga er bij de volgende vraag van uit dat dit klopt. Op een bepaalde dag zijn er 140 automobilisten die van de nieuwe weg gebruik zouden kunnen maken.

opgave 2Watertransport

Bij transport van water via de waterleiding figuur 2 wordt de druk op peil gehouden door pompen in drukstations. In figuur 2 is een transportschema getekend. Vanaf de bron B wordt het water gepompt naar het drukstation T . In T wordt het water verder gepompt naar een stadswijk W . De kans dat er een storing optreedt op het gedeelte BT is 3,3% per dag. Voor het gedeelte TW geldt dezelfde kans op een storing. Als er op een dag in één of in beide delen van het traject B-T-W storing is, valt de watervoorziening in wijk W geheel of gedeeltelijk weg. We noemen dit stagnatie. De kans op een dag met stagnatie in wijk W is ongeveer gelijk aan 6,5%.

→ Toon dit aan. Neem bij de volgende vragen aan dat elke storing bij het begin van de volgende dag is opgeheven.

→ Bereken de kans op precies één dag met stagnatie in wijk W in een periode van vier weken. Het aantal dagen waarop de watervoorziening in wijk W stagneert, kan worden teruggebracht door de wijk ook aan te sluiten op een leiding vanuit een andere bron C met drukstation U . De watervoorziening in wijk W stagneert nu pas indien zowel in het traject vanuit B , als in het traject vanuit C een storing optreedt. Dit nieuwe systeem is weergegeven in figuur 3. Neem aan dat op elk van de delen CU en UW figuur 3 de kans op een storing ook 3,3% per dag is. Door bij elk gedeelte een + (transport) of een – (storing) te plaatsen kun je de verschillende situaties weergeven die zich in dit nieuwe systeem kunnen voordoen. In figuur 4 zie je in voorbeeld 1 een situatie waarbij geen stagnatie in de watervoorziening in wijk W optreedt en in voorbeeld 2 een situatie waarbij dat wel zo is. figuur 4

→ Teken op soortgelijke wijze alle mogelijke situaties van het nieuwe systeem waarbij er sprake is van geen stagnatie in wijk W . In voorbeeld 2 is sprake van stagnatie.

→ Bereken de kans dat de situatie van dit gegeven voorbeeld zich voordoet. In het oude systeem van figuur 2 is de kans op een dag met stagnatie ongeveer 6,5%. In het nieuwe systeem is deze kans kleiner. In een jaar kun je daarom met het nieuwe systeem minder dagen met stagnatie verwachten dan met het oude systeem.

opgave 3Leesvaardigheid

Aan een groot aantal achtjarigen wordt op de basisschool een toets afgenomen voor het

meten van de leesvaardigheid. Alle kinderen krijgen dezelfde toets.

De scores zijn bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde score van 75 en een

standaardafwijking van 10. Ga bij de volgende twee vragen uit van deze normale verdeling.

Een achtjarige leerling haalt een score van 85.

114p

Onderzoek of deze leerling tot de 25% best lezende leerlingen van zijn leeftijdsgroep

behoort.

Om het lezen te bevorderen verloot de Minister van Onderwijs 20 boeken onder alle

achtjarigen die hebben meegedaan aan de leestoets.

123p

Bereken de kans dat bij precies 10 van de 20 leerlingen die een boek geloot hebben de score

voor de leestoets boven het gemiddelde lag.

In het jaar 2000 is in meer dan 30 landen

een onderzoek gedaan naar de

leesvaardigheid van 15- en 16-jarigen. Dit

onderzoek heeft de naam PISA 2000.

In figuur 5 zijn de resultaten van de vier

best presterende landen weergegeven.

Neem aan dat voor ieder land de scores

normaal verdeeld zijn met de gemiddeldes

die in figuur 5 staan.

134p

Van de Nederlandse leerlingen had 44%

een score die hoger lag dan de gemiddelde

score van Finland.

Bereken met behulp van deze gegevens de

standaardafwijking van de score van de

Nederlandse leerlingen. Rond af op een

geheel getal.

De score waar 95% van alle leerlingen onder blijft, heet P95.

Ieder land heeft zijn eigen P95.

In figuur 6 vergelijken we de scores van Finland en Nieuw Zeeland.

figuur 6

Het blijkt dat de P95 van Nieuw Zeeland iets hoger ligt dan de P95 van Finland.

De gemiddelde score van Nieuw Zeeland is 529, met een standaardafwijking van 108.

Voor Finland geldt: µ = 546 en σ = 89.

146p

Bereken hoeveel procent van de scores uit Nieuw Zeeland boven de P95 van Finland ligt.

opgave 4Een familie van functies

In figuur 7 is de grafiek getekend van de figuur 7 functie f gegeven door: f ( x ) = 2 x 2 – 2 x De lijn k met vergelijking y = 1 snijdt deze grafiek in de punten A en B .

→ Bereken de lengte van het lijnstuk AB . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig. In figuur 8 is de grafiek getekend van de figuur 8 functie g gegeven door: g ( x ) = (2 x 2 – 2 x ) 2 Dit voorschrift kan ook geschreven worden als: g ( x ) = 4 x 4 − 8 x 3 + 4 x 2 .

→ Toon dit algebraïsch aan. De raaklijn aan de grafiek van g in het punt

(–1, 16) snijdt de x -as in een punt S . → Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de x -coördinaat van S . Een familie van functies is gegeven door: figuur 9 y = (2 x 2 – 2 x ) n voor elk positief geheel getal n . Bij n = 1 hoort de functie f van figuur 7 en bij n = 2 de functie g van figuur 8. In figuur 9 is in één assenstelsel voor een aantal waarden van n de grafiek van y = (2 x 2 – 2 x ) n getekend. Voor elke waarde van n heeft de grafiek van y = (2 x 2 – 2 x ) n een top voor x = ½ .