opgave 1Vliegende parkieten
De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet
verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden.
Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij
een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met
behulp van de formule
Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de
snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5.
In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.
figuur
Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s.
14pBereken met hoeveel procent D toeneemt.
Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel
lang blijven vliegen.
24pBereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per
seconde in één decimaal nauwkeurig.
De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de
kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig.
Er geldt
44pBereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per
seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.
opgave 2Prisma
Gegeven is balk ABCD.EFGH, met AB = 8 en BC = CG = 6. De punten K
respectievelijk L zijn de middens van AE respectievelijk BF. De punten M en N
liggen op FG en EH zo dat HN = GM = 2.
figuur 1
Van balk ABCD.EFGH wordt een stuk afgesneden zodat prisma
ADHNK.BCGML ontstaat. Zie figuur 1.
Op de uitwerkbijlage is een begin getekend van een uitslag van het prisma.
Hierbij komt een lengte-eenheid van de balk in figuur 1 overeen met 0,5 cm.
54pMaak deze uitslag af. Zet de namen bij alle hoekpunten.
Het prisma wordt doorsneden door het
65pvlak PQRST. Dit vlak is evenwijdig aan
ADHNK en verdeelt prisma
ADHNK.BCGML in twee delen. Zie
figuur 2.
De lengte van AP is zo gekozen dat de
inhoud van het deel ADHNK.PQRST
een kwart is van de inhoud van balk
ABCD.EFGH.
Bereken de lengte van AP.
opgave 3CO2
Sinds 1870 meet men de CO2-concentratie in de atmosfeer. De
CO2-concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal
CO2-deeltjes per miljoen deeltjes. In de figuur kun je zien hoe de
CO2-concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode 1870-2000. Deze
figuur is vergroot op de uitwerkbijlage weergegeven.
figuur
In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de
lineaire groei van de CO2-concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich
op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de
CO2-concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die
door Arrhenius is voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen
1900 en 2000.
73puitwerkbijlageBepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel ppm de door
Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel.
Na 1930 steeg de CO2-concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had
aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat
uit van een natuurlijk niveau in de CO2-concentratie met daar bovenop een
bijdrage van de mens aan de CO2-concentratie, de zogeheten menselijke
component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke
niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component
vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei.
In 1930 bedroeg de CO2-concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het
natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO2-
concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je
berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens
het model toeneemt.
84pBereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een
geheel aantal procenten.
Een formule die de CO2-concentratie vanaf 1 juli 1930 goed benadert, is
C = 15 ⋅1,025t + 285
Hierin is C de CO2-concentratie in ppm en t is de tijd in jaren na 1 juli 1930.
94pBereken met behulp van deze formule in welk jaar de menselijke component
even groot zal zijn als het natuurlijke niveau.
opgave 4Wortelfunctie
De functie
f is gegeven door
.
De lijn met vergelijking y = 2x − 5 en de grafiek van f snijden elkaar niet.
105pToon dit op algebraïsche wijze aan.
Er bestaat precies één lijn die evenwijdig is aan de lijn y = 2x − 5 en die raakt
aan de grafiek van f. Omdat deze lijn evenwijdig is aan de lijn y = 2x − 5 heeft
deze een vergelijking van de vorm y = 2x + b.
117pBereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van b.
De functie
g is gegeven door
. De grafiek van
f ontstaat uit de grafiek
van g door twee transformaties na elkaar toe te passen.
123pGeef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze
moeten worden toegepast.
opgave 5Satellieten
Satellieten zijn objecten die om andere foto
objecten, bijvoorbeeld de aarde,
draaien. De tijd die een satelliet nodig
heeft om een volledige ronde om de
aarde te maken, wordt de omlooptijd
genoemd. Bij benadering geldt de
volgende formule:
Hierin is T de omlooptijd in seconden en
r de afstand in km van het middelpunt
van de satelliet tot het middelpunt van
de aarde.
De bekendste satelliet van de aarde is de maan. De omlooptijd van de maan is
ongeveer 28 dagen.
133pBereken de afstand tussen het middelpunt van de maan en het middelpunt van
de aarde. Geef je antwoord in duizenden kilometers nauwkeurig.
In deze opgave wordt de aarde beschouwd als een bol. De straal van de aarde
is ongeveer 6400 km.
Een weersatelliet draait in een baan om de aarde op een constante hoogte van
800 km boven het aardoppervlak. Weersatellieten zijn klein vergeleken met de
afstand tot de aarde. Ze mogen daarom als punten worden beschouwd.
145pBereken met welke snelheid deze weersatelliet om de aarde draait. Geef je
antwoord in duizenden km/uur nauwkeurig.
Een satelliet draait in een baan om de aarde, recht boven de figuur
153pevenaar. De satelliet scant een deel van het aardoppervlak
aan beide zijden van de evenaar. De totale breedte van de
gescande strook is 400 km. Omdat dit klein is ten opzichte
van de straal van de aarde, mag de strook als een
cilindermantel worden beschouwd. Zie de figuur.
Bereken hoeveel procent van het aardoppervlak door de
satelliet wordt gescand. Rond je antwoord af op een geheel
aantal procenten.
opgave 6Sinusoïde
Op het domein [0,π] is de functie f gegeven door f(x) = 2 − 4sin(2x).
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. Zie de figuur.
figuur
164pBereken exact de x-coördinaten van de punten A en B.
Lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (0,2).
176pBereken exact de coördinaten van het snijpunt van l met de x-as.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
opgave 7Ei
In deze opgave bekijken we een model-ei. Dit model-ei is 6 cm lang en 4 cm
breed. Het model-ei bevat eiwit en eigeel. Het eigeel is bolvormig en heeft een
straal van
cm. Zie de figuur.
figuur
In deze opgave laten we de eierschaal buiten beschouwing.
Voor de inhoud I (in cm3) van het model-ei geldt de formule
Hierin is l de lengte in cm en b de breedte in cm van het model-ei. Zie de figuur.
De inhouden van eiwit en eigeel in het model-ei verhouden zich exact als 23:9.
184pToon dit aan.
Een eirol is een cilindervormige rol die
bestaat uit gekookt eiwit en eigeel.
Eirollen worden gebruikt in restaurants
en door cateringbedrijven. Zie de foto.
Veronderstel dat bij het maken van
eirollen alleen gebruik wordt gemaakt
van model-eieren. Hierbij gaat geen eiwit
of eigeel verloren.
De eirol wordt in gelijke plakjes
gesneden. De plakjes zijn cirkelvormig
met een diameter van 4,0 cm. In het
midden van elk plakje zit een cirkelvormig stuk eigeel. De verhouding van de
oppervlakten van eiwit en eigeel in de plakjes is ook 23:9.
195pBereken de diameter van het cirkelvormige stuk eigeel. Rond je antwoord in
centimeter af op één decimaal.
