bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2013, tijdvak 1

opgave 1Tornadoschalen

In tornado’s kunnen hoge windsnelheden foto bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal. Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de…

In tornado’s kunnen hoge windsnelheden foto bereikt worden. De zwaarte of heftigheid van een tornado wordt intensiteit genoemd. Er zijn verschillende schalen om de intensiteit van een tornado uit te drukken in een getal. Zo is er de Fujita-schaal die in 1971 is ontwikkeld. Voor de intensiteit op de Fujita-schaal geldt de volgende formule: v ⅔ F = − 2 (1) 6,3 Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en F de intensiteit van de tornado op de Fujita-schaal. F wordt afgerond op een geheel getal. In een zware tornado worden maximale windsnelheden van ongeveer 280 km/u bereikt.

Bereken de intensiteit van deze tornado op de Fujita-schaal. Een tornado met intensiteit 4 op de Fujita-schaal komt niet zo vaak voor.
Bereken de minimale waarde van v in zo’n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal. Een andere schaal voor de intensiteit van tornado’s is de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal T . Het verband tussen v en T wordt gegeven door de v formule: = 2,39 ⋅ ( T + 4) 3/2 (2) Hierin is v de maximale…

Bereken de minimale waarde van v in zo’n tornado. Rond je antwoord af op één decimaal. Een andere schaal voor de intensiteit van tornado’s is de in 1972 ontwikkelde Torro-schaal T . Het verband tussen v en T wordt gegeven door de v formule: = 2,39 ⋅ ( T + 4) 3/2 (2) Hierin is v de maximale windsnelheid in de tornado in m/s en T de intensiteit van de tornado op de Torro-schaal. T wordt afgerond op een geheel getal. Door formule (2) in te vullen in formule (1) en vervolgens de ontstane formule te herleiden, kan worden aangetoond dat er een lineair verband bestaat tussen de onafgeronde F- en T- waarden. Dit lineaire verband kan worden beschreven met een formule van de vorm F = aT + b .

Bereken de waarden van a en b . Rond je antwoorden af op twee decimalen.

opgave 2Wortel en parabool

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = √(x4 + 1) en g(x) = x2 + 1.
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur 1
y g f 1 O 1 x
De grafieken van f en g hebben precies één punt gemeenschappelijk.
44p
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
53p
Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van f in
het punt met x-coördinaat 1.
De horizontale lijn met vergelijking y = 3 snijdt de grafiek van f in de
punten A en B en de grafiek van g in de punten C en D. Zie figuur 2.
figuur 2
y g f A C D B 1 O 1 x
66p
Bereken exact de lengte van lijnstuk DB.

opgave 3Hearst Tower

In 2006 is in New York de Hearst foto Tower gebouwd op de plek waar sinds 1928 het Hearst Building staat. Bij de bouw van de Hearst Tower zijn alleen de buitenmuren van het Hearst Building blijven staan. De Hearst Tower heeft een plat dak en is 182,0 De gehele toren delen. Het oude gebouw. laag die…

In 2006 is in New York de Hearst foto Tower gebouwd op de plek waar sinds 1928 het Hearst Building staat. Bij de bouw van de Hearst Tower zijn alleen de buitenmuren van het Hearst Building blijven staan. De Hearst Tower heeft een plat dak en is 182,0 De gehele toren delen. Het oude gebouw. laag die de balk. De hoogte het oude gebouw Van het bovenste bestaan de even grote Er staan negen lagen van zulke driehoeken op elkaar. Zie de foto. Uit deze gegevens volgt dat de hoogte van zo’n gelijkzijdige driehoek ongeveer 16,5 m is en dat de zijden van deze driehoek ongeveer 19,0 m lang zijn.

Toon met berekeningen aan dat deze twee afmetingen uit de gegevens volgen. Op de foto is te zien dat een horizontale doorsnede van het bovenste deel van de toren maximaal vier maal de lengte van zo’n driehoekszijde lang is, en maximaal drie maal de lengte van zo’n driehoekszijde breed is.
Teken op schaal 1:1000 het bovenaanzicht van het bovenste deel van de toren. Licht je werkwijze met berekeningen toe. Een laag van het bovenste deel van de toren heeft de vorm van een balk waaruit vier piramidevormige stukken zijn weggelaten.
Bereken de inhoud van één zo’n laag. Geef je antwoord in duizenden m 3 nauwkeurig.

opgave 4Derdegraadsfunctie en sinus

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = − x3 + 4x en g(x) = a ⋅ sin(πx).
In de oorsprong zijn de hellingen van de grafieken van f en g gelijk.
106p
Bereken exact de waarde van a.

opgave 5Olie

Olie is een belangrijke grondstof. In figuur 1 is af te lezen hoeveel olie er
wereldwijd in totaal is verbruikt sinds er in 1859 voor het eerst een
oliebron geslagen werd. Zo valt bijvoorbeeld af te lezen dat het totaal van
1000 miljard vaten in de loop van 2002 gepasseerd werd.
figuur 1
Totale hoeveelheid verbruikte olie 1200 miljarden vaten 1000 miljard in 2002 1000 500 miljard in 1981 21 jaar 800 62,5 miljard 250 miljard in 1948 in 1970 600 125 miljard 11 jaar in 1960 400 10 jaar 200 12 jaar 0…

Totale hoeveelheid verbruikte olie 1200 miljarden vaten 1000 miljard in 2002 1000 500 miljard in 1981 21 jaar 800 62,5 miljard 250 miljard in 1948 in 1970 600 125 miljard 11 jaar in 1960 400 10 jaar 200 12 jaar 0 1948 1956 1964 1972 1980 1988 1996 2004 jaar

In de grafiek van figuur 1 zijn vanaf 1948 de perioden aangegeven waarin
de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde. Tussen 1948 en 1981
duurde het telkens ongeveer 11 jaar tot de totale hoeveelheid verbruikte
olie was verdubbeld. Dit betekent dat tussen 1948 en 1981 de totale
hoeveelheid verbruikte olie bij benadering exponentieel groeide.
114p
Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat hoort bij een verdubbelingstijd
van 11 jaar. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Vanaf 1981 groeide de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering
nog steeds exponentieel, maar met een andere groeifactor. In de grafiek
is te zien dat de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde van
500 miljard tot 1000 miljard vaten in de periode van 1981 tot 2002. Een
verdubbelingstijd van 21 jaar komt overeen met een groei van ongeveer
3,4% per jaar.
124p
Bereken op algebraïsche wijze het jaar waarin volgens dit exponentiële
model de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard
vaten passeerde.
Er zijn in de loop der jaren verschillende modellen gemaakt die het
verbruik van olie voorspellen. Een van deze modellen is het model van
Hubbert uit 1956. In figuur 2 zie je een grafiek die uit dit model volgt.
figuur 2
3000 miljarden vaten 2500 2000 1500 1000 500
Deze grafiek hoort bij de totale hoeveelheid olie die tot dat moment
verbruikt is. Een formule voor deze totale hoeveelheid is:
V = (2400)/(1 + 56 ⋅ 0,95t)
Hierin is V de totale hoeveelheid verbruikte olie in miljarden vaten en t de
tijd in jaren, met t = 0 op 1 januari 1930.
De totale hoeveelheid winbare olie in de wereld wordt geschat op
2400 miljard vaten.
134p
Bereken in welk jaar deze geschatte voorraad volgens het model van
Hubbert voor de helft verbruikt was.

opgave 6Grafiek van een logaritme

De functie f is gegeven door f(x) =3 log(4x + 3). De grafiek van f snijdt
de x-as in punt A en de y-as in punt B.
Verder is l de lijn door A en B. Zie de figuur.
figuur
y l B A O x f
145p
Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op voor l.
153p
Bereken de helling van de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 1.
Rond je antwoord af op twee decimalen.

opgave 7Grafiek van een cosinus

In de figuur is op het interval [0,5] een sinusoïde getekend.
figuur
y 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 x
Deze sinusoïde is te beschrijven met een vergelijking van de vorm
y = a + bcos(c(x − d)).
165p
Bepaal geschikte waarden van a, b, c en d zodat y = a + bcos(c(x − d))
een vergelijking is van deze sinusoïde. Licht je werkwijze toe.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende
pagina.

opgave 8Lichaam

Gegeven is een lichaam L dat bestaat uit een prisma ABC.DEF en een
halve cilinder. Hierin is AB = 5 cm, AC = 3 cm, AD = 6 cm en hoek CAB
is recht. De halve cilinder heeft middellijn AD en hoogte AC. Zie figuur 1.
figuur 1
F C D 3 6 E A 5 B
173p
Bereken de inhoud van L in cm3 nauwkeurig.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van L op
schaal 1:2.
186p
Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze
toe.
Punt M is het midden van AD en punt N is het midden van CF.
Lichaam L wordt doorsneden door het verticale vlak door B, M en N. De
doorsnede die zo ontstaat is de vierhoek BPQN. Zie figuur 2.
figuur 2
F Q N C D P E M A B
194p
Bereken de oppervlakte van BPQN in cm2 nauwkeurig.