bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2019, tijdvak 1

opgave 1Formule van Wilson

De geluidssnelheid in zeewater kan worden benaderd met de formule van
Wilson:
v = 1449,2 + 4,623T − 0,0546T^2 + 1,391(Z − 35) + (D)/(60)
Hierin is
− v de geluidssnelheid in m/s;
− T de watertemperatuur in ºC;
− Z het zoutgehalte van het zeewater in promille (‰);
− D de waterdiepte in m.
In enkele gesloten zeeën (zoals de Kaspische Zee en de Dode Zee) wijkt
het zoutgehalte sterk af van het zoutgehalte van open zeeën. Zo is het
zoutgehalte van de Dode Zee met 337‰ ongeveer 10 keer zo hoog als
het zoutgehalte van gewoon zeewater.
De Kaspische Zee is met een gemiddeld zoutgehalte van 12‰ veel
minder zout dan gewoon zeewater.
13p

Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag

Bereken bij gelijke watertemperatuur (T) en gelijke waterdiepte (D) het
verschil tussen de geluidssnelheid in de Dode Zee en in de Kaspische
Zee. Geef je eindantwoord in een geheel aantal m/s.
Bij een bepaalde watertemperatuur zal de geluidssnelheid in zeewater
maximaal zijn. Deze watertemperatuur is onafhankelijk van de waterdiepte
en het zoutgehalte. Daarom mogen Z en D als constanten worden
beschouwd bij het berekenen van deze watertemperatuur.
23p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bereken algebraïsch de temperatuur in graden Celsius waarbij de
geluidssnelheid in zeewater maximaal is. Geef je eindantwoord in
één decimaal.
Vanuit een onderzeeboot kan men door middel van een sonarapparaat
afstanden bepalen. Hiervoor zendt de onderzeeboot een geluidssignaal
uit. Door een ander object in het water wordt dit signaal teruggekaatst.
Men meet het tijdsverschil tussen het moment van uitzenden van het
signaal en het moment waarop het teruggekaatste signaal weer
ontvangen wordt.
Een onderzeeboot en een object bevinden zich op 20 meter diepte in
zeewater van 10 ºC met een zoutgehalte van 35‰. De onderzeeboot
zendt een geluidssignaal uit, dat door het object wordt teruggekaatst;
12,45 seconden nadat het is uitgezonden wordt het teruggekaatste
signaal weer opgevangen.
33p

Rekenen met een gegeven formule 3pGR mag

Bereken hoe ver het object van de onderzeeboot verwijderd is. Geef je
eindantwoord in honderden meters.

opgave 2Ingeklemd

De functie f is gegeven door f(x) = − 3 + 3√(x).
Het punt A(4,3) ligt op de grafiek van f.
Verder is de lijn l met vergelijking y = (3)/(4)x gegeven.
Lijn l raakt de grafiek van f in A.
44p

Raaklijnen aan grafieken 3p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1pexact

Bewijs dit.
De cirkel c heeft middelpunt M met xM = 5.
Bovendien raakt lijn l cirkel c in punt A. Zie de figuur.
figuur
y A c M l f 5 x O

opgave 3Twee exponentiële functies

De functies f en g zijn gegeven door f(x) = 2(1)/(2)^x^ +^3 en g(x) = 4x.
Het punt A is het snijpunt van de grafieken van f en g. Zie de figuur.
figuur
y A f g O x
64p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bereken exact de coördinaten van A.
Bij de grafiek van f hoort de formule y = 2(1)/(2)^x^ +^3.
Deze formule kan worden herschreven zodat x wordt uitgedrukt in y.
73p

Formules herleiden en omwerken 3pexact

Druk x uit in y.

opgave 4In of uit

Bij tennis is het net aan de zijkanten
foto
hoger dan in het midden. Zie de foto.
De bovenrand van het net hangt aan
de zijkanten op een hoogte van
1,07 meter en in het midden op een
hoogte van 0,91 meter.
Het net is 10,06 meter breed.
foto
We plaatsen dit net in een assenstelsel met het midden van het net op de
y-as en de onderkant van het net op de x-as. Zie figuur 1.
figuur 1
y 111 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
De hoogte y van een willekeurig punt op de bovenrand van het net is te
benaderen door een parabool met een formule van de vorm y = px2 + q
met −5,03 ≤ x ≤ 5,03. Hierbij zijn x en y in meters.
84p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Kwadratische functies en parabolen 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de waarden van p en q die uit de gegevens volgen. Geef p in drie
decimalen en q in twee decimalen.
Bij tennis is het soms moeilijk om te beoordelen of een bal binnen of
buiten de lijnen de grond raakt. Vaak wordt met behulp van camera’s
vastgesteld waar een bal de grond raakt.
Om een idee te krijgen hoe zo’n systeem werkt, bekijken we een sterk
vereenvoudigd tweedimensionaal model met twee camera’s. In figuur 2 is
een bovenaanzicht van één helft van het rechthoekige speelveld
weergegeven. Bovendien zijn in deze figuur enkele maten gegeven. Alle
maten zijn in meters.
Ook zijn de witte lijnen op het speelveld aangegeven. In het vervolg van
deze opgave verwaarlozen we de breedte van deze lijnen. De bal
beschouwen we als een punt.
figuur 2
D 4,115 Q C 6,40 11,89 R P A B 10,97
In figuur 2 geldt:
− de stippellijn door CD geeft de plaats van het net aan;
− de lengte van de achterlijn AB is 10,97 m;
− de afstand van de achterlijn tot aan het net is 11,89 m;
− DQ = 4,115 m en DR = 6,40 m;
− rechthoek PQDR is het servicevak, waarin de bal volgens de regels
van het spel na de eerste slag op de grond moet komen.
In figuur 3 is hetzelfde speelveld als in figuur 2 nogmaals weergegeven.
De camera’s zijn boven de punten A en B gemonteerd.
figuur 3
T A B
In figuur 3 geldt:
− A is de positie van camera 1 en B is de positie van camera 2;
− het punt T is de plaats waar de bal na de eerste slag op de grond
komt;
− A is de hoek ten opzichte van de achterlijn waaronder camera 1 de
bal waarneemt;
− B is de hoek ten opzichte van de achterlijn waaronder camera 2 de
bal waarneemt;
− In de situatie zoals weergeven in figuur 3 is de bal nog net in het
servicevak PQDR op de grond gekomen.
We bekijken nu een andere situatie, waarbij A = 45,4° en B = 44,2°.
96p

Sinusregel en cosinusregel 3p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 3pGR mag

Onderzoek met behulp van een berekening of in deze situatie de bal in
rechthoek PQDR op de grond is gekomen.

opgave 5Grafiek van een derdegraadsfunctie en een lijn

De functie f is gegeven door f(x) = ((1)/(2)x − 2)^3. Zie figuur 1.
figuur 1
y f A O x
De functie g is gegeven door g(x) = x3. De grafiek van f ontstaat uit de
grafiek van g door twee transformaties na elkaar toe te passen.
103p

Transformaties van grafieken 3pGR mag

Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde
ze moeten worden toegepast.
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt A. Zie figuur 1.
De grafiek van f heeft een horizontale raaklijn in A.
115p

Kettingregel 2p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · +1exact

Bewijs dit.
De lijn l met vergelijking y = (1)/(2)x − 2 snijdt de grafiek van f behalve in
punt A ook in de punten P en Q. Zie figuur 2.
figuur 2
y f Q A O x P l
123p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Afstanden met coördinaten 1pGR mag

Bereken de lengte van PQ. Geef je eindantwoord in twee decimalen.

opgave 6Sinusoïden

Op het domein [0,2π] is de functie f gegeven door:
f(x) = 1 + 2cos(2x + (1)/(3)π)
De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten P, Q, R en
S. Zie de figuur.
figuur
y f O P Q R S x
De afstand PS is a keer zo groot als de afstand QR.
135p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 3p · Afstanden met coördinaten 2pGR mag

Bereken de waarde van a.
Op hetzelfde domein [0,2π] is functie g gegeven door:
^g^(^x^)^ =^f^(^x^)^ −^2^ +^5^c^o^s(^2(^x^ − (1)/(4)^π))
De grafiek van g is ook een sinusoïde. Met andere woorden: g heeft een
functievoorschrift van de vorm g(x) = p + q ⋅ cos (r(x − s)).
145p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 4p · Extremen en optimaliseren 1pGR mag

Bereken mogelijke waarden van p, q, r en s. Geef deze waarden zo nodig
in drie decimalen.

opgave 7Schaal van Richter

Charles Richter heeft in 1935 een schaal opgesteld die de kracht van een
aardbeving in een getal uitdrukt. Dit wordt de schaal van Richter
genoemd.
De plaats waar een aardbeving ontstaat heet het epicentrum. Het is
mogelijk om op een bepaalde afstand tot het epicentrum de kracht van
een aardbeving te bepalen. Hiervoor wordt de grootte van de beweging
van de aardkorst in verticale richting gemeten. Deze verticale uitwijking is
de zogeheten amplitude.
De kracht van een aardbeving kan bepaald worden met behulp van een
nomogram. Hierbij wordt de afstand van de plaats van meting tot het
epicentrum als punt op de as ‘afstand’ in het nomogram aangegeven. De
gemeten amplitude wordt als punt op de as ‘amplitude’ in het nomogram
aangegeven. Het snijpunt van de lijn door deze twee punten met de
middelste as (kracht) geeft de kracht van de aardbeving.
Zie hieronder.
nomogram
500 )mk( dnatsfa thcark )mm( edutilpma 100 400 66 50 300 2200 55 220000 10 44 5 100 60 33 2 1 40 22 0,5 0,2 11 20 0,1 5 00 0,05 0
In het nomogram zie je bijvoorbeeld dat als op een afstand van ongeveer
220 km vanaf het epicentrum de amplitude 20 mm is, er een aardbeving
heeft plaatsgevonden met een kracht van 5 op de schaal van Richter.
Er geldt: als de amplitude van de ene aardbeving tien keer zo groot is als
de amplitude van een andere aardbeving, dan is de kracht van de
zwaarste beving 1,0 groter dan de kracht van de lichtste beving.
154puitwerkbijlage

Tekenen en construeren in een figuur 3p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Laat dit zien voor twee aardbevingen waarvan op 100 km van het
epicentrum de ene een amplitude van 0,1 mm heeft en de andere een
amplitude van 1 mm. Maak hierbij gebruik van het nomogram op de
uitwerkbijlage.
Ook met behulp van een formule kan uit de afstand D tot het epicentrum
en de amplitude A de kracht op de schaal van Richter berekend worden.
Deze kracht wordt in één decimaal nauwkeurig gegeven.
Voor de kracht op de schaal van Richter geldt:
K = log(A) + 1,6 ⋅ log(D) − 0,15 voor D ≤ 200
(1)
K = log(A) + 3 ⋅ log(D) − 3,38 voor D > 200
(2)
Hierin is K de kracht op de schaal van Richter, A de amplitude in mm en
D de afstand tot het epicentrum in km.
De hoeveelheid schade die een aardbeving aanricht, hangt af van de
amplitude. Bij een amplitude van meer dan 1000 mm is er grote kans op
schade aan gebouwen. Hoe verder men van het epicentrum verwijderd is,
hoe kleiner de amplitude.
Op 12 mei 2008 was er in de regio Sichuan in China een aardbeving met
een kracht van 7,9 op de schaal van Richter. Het cirkelvormige gebied
rond het epicentrum waar de amplitude minstens 1000 mm bedroeg, werd
tot rampgebied uitgeroepen.
165p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken met behulp van formule (2) de oppervlakte van het rampgebied
in vierkante kilometers. Geef je eindantwoord in duizendtallen.
Formule (1) is te schrijven in de vorm:
K = log (p⋅A⋅Dq)
175p

Formules herleiden en omwerken 5pGR mag

Bereken p en q. Geef je eindantwoorden in één decimaal.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

opgave 8Loodrecht en raken

Cirkel c met middelpunt M(− 1,3) raakt lijn l met vergelijking y = (1)/(2)x − 1(1)/(2) in
punt A.
Lijn k staat loodrecht op l en raakt c in punt B. Punt C is het snijpunt van k
en l.
Lijnstukken AC en BC en cirkelboog AB sluiten het vlak V in. Zie de figuur,
waarin vlak V grijs is weergegeven.
figuur
y k c B M V C O x A l
188p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 4p · Rekenen met een gegeven formule 2p · Afstanden met coördinaten 1p · +1exact

Bereken algebraïsch de omtrek van V. Geef je eindantwoord in twee
decimalen.