bronnen

Eindexamen wiskunde B havo 2019, tijdvak 2

opgave 1Een logaritmische en een exponentiële functie

De functies f en g worden gegeven door:
f(x) = 4x+1 − 3 en g(x) = 8 +2log (^4(^x^ +^1(1)/(2)))
Op de grafiek van f ligt een punt met y-coördinaat 13. Dat is het punt A.
Op de grafiek van g ligt ook een punt met y-coördinaat 13. Dat is het
punt B.
Zie de figuur, waarin het lijnstuk AB vet weergegeven is.
figuur
y B 13 A g f x O
16p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 4p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Afstanden met coördinaten 1pexact

Bereken exact de lengte van lijnstuk AB.
De grafiek van g ontstaat uit de grafiek van de standaardfunctie
y =2log(x) door een horizontale en een verticale translatie.
Door het functievoorschrift van g te herleiden tot de vorm
g(x) =2log(x + a) + b kun je op exacte wijze berekenen om welke
horizontale en verticale translatie het gaat.
23p

Formules herleiden en omwerken 2p · Transformaties van grafieken 1pexact

Bereken op exacte wijze door welke horizontale en verticale translatie de
grafiek van g ontstaat uit de grafiek van de standaardfunctie y =2log(x).

opgave 2Hoe lang is DE ?

Gegeven is driehoek ABC met AB = 11, BC = 8 en AC = 5.
Het punt D ligt op zijde AB, zo dat lijnstuk CD loodrecht op zijde AB staat.
Het punt E ligt op zijde AC, zo dat lijnstuk DE evenwijdig is met zijde BC.
Zie de figuur.
figuur
C 8 5 E A D 11
36p

Sinusregel en cosinusregel 2p · Pythagoras, sinus, cosinus en tangens 2p · Gelijkvormigheid 2pexact

Bereken algebraïsch de lengte van lijnstuk DE. Geef je eindantwoord in
twee decimalen.

opgave 3Viscositeit

Er wordt veel onderzoek gedaan naar de
figuur bij de opgave
viscositeit van vloeistoffen.
De viscositeit van een vloeistof is een getal
dat aangeeft hoe stroperig die vloeistof is:
hoe groter de viscositeit, hoe stroperiger die
vloeistof.
Suiker kun je in water oplossen. De
concentratie suiker bepaalt de viscositeit
van de vloeistof die zo ontstaat. Aan het
begin van de twintigste eeuw is het
volgende theoretische verband afgeleid tussen de concentratie suiker en
de viscositeit:
V = (1 + 0,5C)/((1 − C)4)
Hierin is V de viscositeit en C de concentratie suiker.
Hierbij wordt met een concentratie van bijvoorbeeld C = 0,3 bedoeld dat
het volume van de suiker 30% van het totale volume van de vloeistof is.
Tessa heeft een glas water gekregen waarin suiker is opgelost.
De concentratie suiker in het water is 0,17. Vervolgens voegt ze nog meer
suiker toe. Na deze toevoeging blijkt de viscositeit verdubbeld te zijn.
44p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de concentratie suiker in het water na deze toevoeging. Geef je
eindantwoord in twee decimalen.
Ongeveer gelijktijdig met de vondst van de formule voor V stelde de
scheikundige Emil Hatschek een lineaire formule op voor het verband
tussen de viscositeit en de concentratie suiker:
Vlin = a ⋅ C + b
Hierin is Vlin een benadering van V.
Voor dit lineaire verband geldt: a = V'(0) en b = V(0).
De waarde van V'(0) kan benaderd worden door het differentiequotiënt
(ΔV)/(ΔC) op een heel klein interval.
53p

Gemiddelde verandering en differentiequotiënt 2p · Lineaire functies 1pGR mag

Stel met behulp van het differentiequotiënt op het interval [0;0,001] een
formule op voor Vlin. Geef de getallen in je eindantwoord zo nodig in
één decimaal.

opgave 4Twee toppen en twee evenwijdige lijnen

De functie f wordt gegeven door f ( x ) = − (2 x − 3) 3 + 3 x 2 − 6 x + 4 . Voor de afgeleide functie van f geldt: f ' ( x ) = − 24 x 2 + 78 x − 60 .

Kettingregel 2p · Formules herleiden en omwerken 2pexact

Bewijs dat inderdaad geldt: f ' ( x ) = − 24 x 2 + 78 x − 60 . De grafiek van f heeft twee figuur toppen. Dit zijn de punten A en B . De lijn k is de lijn door A en B . Het punt P (1, 2) ligt op de grafiek van f . De lijn l is evenwijdig aan lijn k en gaat door P . Lijn k snijdt de x -as in punt de…

Bewijs dat inderdaad geldt: f ' ( x ) = − 24 x 2 + 78 x − 60 . De grafiek van f heeft twee figuur toppen. Dit zijn de punten A en B . De lijn k is de lijn door A en B . Het punt P (1, 2) ligt op de grafiek van f . De lijn l is evenwijdig aan lijn k en gaat door P . Lijn k snijdt de x -as in punt de y -as in punt M . Lijn l snijdt de x -as in punt de y -as in punt N . Vanwege de evenwijdigheid lijn k en lijn l is driehoek gelijkvormig met driehoek Zie de figuur. Lijnstuk KM is z keer zo lang als lijnstuk LN .

opgave 5NK Tegenwindfietsen

Om tegen de wind in te fietsen, moet je flink hard trappen.
In deze opgave gaan we ervan uit dat de snelheid van een fietser
constant is en dat de snelheid van de tegenwind constant is.
Als je op een vlakke weg tegen de wind in fietst, moet je vermogen
leveren. Je kunt dit vermogen als volgt berekenen:
P_v_l_a_k = 0,00386 ⋅ v ⋅ (v + v_w_i_n_d)^2
Hierin is P_v_l_a_k het vermogen in watt (W), v de snelheid van de fietser
in km/uur en vwind de snelheid van de tegenwind in km/uur.
Zowel v als vwind zijn positief.
Elk jaar wordt – als het hard genoeg waait – het NK (Nederlands
Kampioenschap) Tegenwindfietsen georganiseerd. Hierbij fietsen de
deelnemers 8,5 km tegen de wind in.
foto 1
foto 1
In 2016 werd het NK Tegenwindfietsen gewonnen door Teun Sweere in
een tijd van 22 minuten en 30 seconden bij een tegenwind met een
snelheid van 80 km/uur.
Stel dat Sweere bij een toekomstige deelname aan het
NK Tegenwindfietsen een tegenwind heeft met een snelheid die 5% groter
is dan in 2016, maar dat hij met dezelfde snelheid wil fietsen als in 2016.
Hij zal dan een groter vermogen moeten leveren dan tijdens de wedstrijd
in 2016.
85p

Rekenen met een gegeven formule 5pGR mag

Bereken hoeveel procent méér vermogen hij dan zou moeten leveren.
Geef je eindantwoord als een heel getal.
Wanneer je bergop fietst, moet je ook flink wat vermogen leveren. We
gaan er in de rest van de opgave vanuit dat er bij bergop fietsen geen
wind is. Ook nemen we aan dat de berg overal even steil is.
foto 2
foto 2
Het vermogen dat een fietser moet leveren bij bergop fietsen, kun je dan
als volgt berekenen:
P_b_e_r_g_o_p = 0,0273 ⋅ m ⋅ h ⋅ v
Hierin is P_b_e_r_g_o_p het vermogen in watt (W), m de totale massa van de
fietser en zijn fiets in kg, h het hellingspercentage van de weg en v de
snelheid van de fietser in km/uur.
In Zuid-Limburg ligt de Keutenberg. De weg naar de top is 1,2 km lang en
heeft een hellingspercentage van 5,9%. Ibrahim is een
amateurwielrenner. Hij legt de weg naar de top van de Keutenberg af met
een vermogen van 210 W. De massa van Ibrahim en zijn fiets is
in totaal 72 kg.
94p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pGR mag

Bereken hoe lang Ibrahim over de beklimming doet. Geef je eindantwoord
in gehele minuten.
De Alpe d’Huez is een berg in Frankrijk die zeer bekend is van de Tour de
France. De weg naar de top heeft een lengte van 13,4 km en een
hellingspercentage van 8,4%.
Tom wil de Alpe d’Huez met zijn racefiets beklimmen. Hij heeft zich als
doel gesteld om dat met een snelheid van 19 km/uur te gaan doen.
Als onderdeel van zijn training neemt hij deel aan het
NK Tegenwindfietsen, waarbij de wind een snelheid heeft van 70 km/uur.
Hij wil daarbij evenveel vermogen leveren als hij bij de rit op de
Alpe d’Huez moet leveren om zijn doel te halen. Tom en zijn racefiets
hebben samen een massa van 78 kg.
103p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pGR mag

Bereken de snelheid waarmee Tom moet fietsen bij het
NK Tegenwindfietsen in km/uur. Geef je eindantwoord in één decimaal.

opgave 6Een cirkel en functies met een wortel

De functie f wordt gegeven door f(x) = 1 + 4√(x).
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A(4,9).
Verder is gegeven de cirkel c met vergelijking (x + 2)2 + (y + 1)2 = 8.
Zie figuur 1.
figuur 1
y A l f O x c
Lijn l en cirkel c raken elkaar.
116p

Raaklijnen aan grafieken 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · +1exact

Bewijs dit.
Cirkel c heeft twee snijpunten met de y-as. Een van die twee punten ligt
onder de x-as. Dit is het punt S. Zie figuur 2.
De functie g heeft een functievoorschrift van de vorm g(x) = p√(x) + q.
De grafiek van g heeft S als randpunt en gaat bovendien door A.
In figuur 2 is ook de grafiek van g weergegeven.
figuur 2
y A g O x c S

opgave 7Sinusoïde en lijn

De functie f wordt gegeven door f(x) = − 1 + sin(2x − (1)/(6)π). De grafiek van f
is in figuur 1 weergegeven.
figuur 1
y O π x f
Er zijn vier waarden van x in het interval 0 ≤ x ≤ 2π waarvoor
geldt f(x) = − (1)/(2).
136p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 6pexact

Bereken exact deze vier waarden van x.
De grafiek van f raakt de x-as in oneindig veel punten. Van deze
raakpunten is het punt A het punt met de kleinste positieve x-coördinaat.
Door A gaat een stijgende lijn l die een hoek van 75° met de x-as maakt.
Punt B is het snijpunt van lijn l met de y-as. Zie figuur 2.
figuur 2
y 75º A O π x f l B
145p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Hoek tussen lijnen 1p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1p · +1GR mag

Bereken de afstand tussen A en B. Geef je eindantwoord in
twee decimalen.
We bekijken nu de functie g. Deze heeft de volgende eigenschappen:
− De grafiek van g is een sinusoïde.
− De periode van de grafiek van g is drie keer zo klein is als de periode
van de grafiek van f.
− De amplitude van de grafiek van g is vier keer zo klein als de
amplitude van de grafiek van f.
− Een laagste punt van de grafiek van g valt samen met het snijpunt van
de grafiek van f met de y-as. Zie figuur 3.
figuur 3
y O π x f g
Functie g heeft een functievoorschrift van de volgende vorm:
g(x) = d + a ⋅ cos(bx)
Hierin zijn a, b en d getallen.
155p

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 5pexact

Bereken exact voor elk van deze drie getallen een mogelijke waarde.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

opgave 8Viaduc de Garabit

Het Viaduc de Garabit is een spoorbrug die tussen 1880 en 1884 over de
rivier de Truyère in Frankrijk is gebouwd. Zie de foto.
foto
foto
De onderste boog is bij benadering een deel van een parabool.
We plaatsen de parabool in een assenstelsel, zodanig dat het beginpunt
van de boog zich in de oorsprong bevindt. Zie de figuur.
Verder is de afstand tussen beginpunt en eindpunt van de boog 165,00 m
en bevindt de top van de onderste boog zich 51,858 m boven de x-as.
figuur
figuur
De parabool is te beschrijven met een formule van de vorm y = ax2 + bx.
165p

Kwadratische functies en parabolen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bereken algebraïsch de waarden van a en b. Geef je eindantwoord in
vier decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.