opgave 1Energiebehoefte van vogels
Vogels hebben voor al hun normale activiteiten elke dag een bepaalde
hoeveelheid energie nodig. In de figuur is deze dagelijkse
energiebehoefte E (in kilojoule, kJ) voor een aantal vogels uitgezet tegen
het lichaamsgewicht G (in gram). Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
De stippellijn in de figuur geeft bij benadering het verband tussen E en G
weer.
figuur
De duif heeft in vergelijking met de meeste andere vogels voor zijn
gewicht veel energie nodig.
13pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken hoeveel procent de dagelijkse energiebehoefte van een duif
meer is dan de dagelijkse energiebehoefte die volgens de stippellijn bij
zijn lichaamsgewicht hoort. Geef je antwoord in hele procenten.
Het verband tussen E en G volgens de stippellijn wordt gegeven door de
formule:
E = 5,0 ⋅ G0,75
Hierin is E in kJ en G in gram.
44pFormules herleiden en omwerken 4p
Geef deze herleiding en geef daarbij de waarden van a en b in twee
decimalen.
De stippellijn die in de figuur het verband aangeeft tussen E en G gaat
over vogels die normale activiteiten verrichten zoals vliegen, voedsel
zoeken, enzovoort. Vogels die niet deze activiteiten verrichten, verbruiken
veel minder energie. De minimale dagelijkse energiebehoefte noemen
we M.
We nemen aan dat de minimale dagelijkse energiebehoefte M steeds
40% is van de normale dagelijkse energiebehoefte E. Ook de grafiek die
bij benadering het verband weergeeft tussen M en het lichaamsgewicht G
wordt in de figuur een rechte lijn.
opgave 2Golven in de Nieuw-Zeelandse economie
De economische historicus Keith Rankin modelleerde in 1998 de
schommelingen in de ontwikkeling van de economie van Nieuw-Zeeland
op basis van drie periodieke processen oftewel cycli. Hij ging ervan uit dat
de zogeheten voorraadcyclus, investeringscyclus en prijzencyclus de
economische groei beïnvloeden. Hij baseerde zijn onderzoek op
historische gegevens over de economie in de periode 1948–1998.
In figuur 1 zijn de invloeden van de drie cycli afzonderlijk weergegeven.
Hierbij is de invloed in procenten per jaar ten opzichte van een jaar eerder
uitgezet tegen de tijd.
figuur 1
Het valt in figuur 1 op dat de periodes van de drie cycli nogal van elkaar
verschillen. Zo duurt de cyclus met de langste periode vele malen langer
dan de cyclus met de kortste periode.
62pSinusoïden: periode, amplitude en formule 2p
Bepaal met behulp van figuur 1 hoeveel keer zo lang. Geef je antwoord in
gehelen.
De invloed van de voorraadcyclus kan worden beschreven met de
formule:
V(t) = 0,8 + sin(2,445(t − 0,024))
Hierin is V de (voorspelde) economische groei door de voorraadcyclus in
procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en t de tijd in
jaren met t = 0 op 1 januari 1948.
In figuur 1 kun je zien dat de voorraadcyclus op 1 september 1948 zorgde
voor een maximale economische groei van 1,8% ten opzichte van het jaar
ervoor. Verder geldt dat de minimale economische groei die veroorzaakt
wordt door de voorraadcyclus gelijk is aan -0,2% ten opzichte van het jaar
ervoor. De voorraadcyclus heeft een periode van 2,57 jaar.
73pSinusoïden: periode, amplitude en formule 3p
Licht toe hoe de formule voor V uit deze gegevens volgt.
De formule voor V geeft de economische groei door de voorraadcyclus in
procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, zoals eerder
aangegeven. Zo betekent V(74) ≈ −0,17 bijvoorbeeld dat op 1 januari
2022 de voorraadcyclus zorgt voor (ongeveer) –0,17% economische groei
ten opzichte van 1 januari 2021. Er was dus sprake van negatieve
economische groei.
Op 1 januari 2023 was de economische groei door de voorraadcyclus ten
opzichte van 1 januari 2022 weer positief.
84pExponentiële functies en groei 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Bereken de totale economische groei door de voorraadcyclus op
1 januari 2023 ten opzichte van 1 januari 2021. Geef je antwoord in
procenten in één decimaal.
De investeringscyclus en de prijzencyclus uit figuur 1 kunnen beschreven
worden met de formules:
Hierin is I de economische groei door de investeringscyclus in procenten
per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, P de economische groei
door de prijzencyclus in procenten per jaar ten opzichte van het
voorgaande jaar en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1948.
In 1998 vergeleek Rankin een theoretisch patroon op basis van de som
van de drie cycli met de werkelijke economische groei in de periode
1978–1998. Zie figuur 2.
figuur 2
Ondanks de verschillen tussen het theoretische patroon en het werkelijke
patroon, vond Rankin dat er voldoende overeenkomsten waren om
voorspellingen te doen. Hij voorspelde bijvoorbeeld dat na een periode
van flinke groei in de jaren vóór 2008, de groei daarna sterk zou afnemen.
Deze voorspelling bleek uit te komen.
Het theoretische patroon van Rankin ontstaat door de invloeden van de
drie cycli bij elkaar op te tellen. Volgens dit patroon zal de economische
groei ergens in de periode 2025–2035 negatief zijn. Er is dan sprake van
krimp.
In de periode 2025–2035 is er een jaar waarin de krimp maximaal is.
opgave 3De slimste mens
‘De slimste mens’ is een televisiequiz. In elke aflevering van deze quiz
strijden drie kandidaten tegen elkaar. In verschillende rondes moet
geprobeerd worden zoveel mogelijk seconden te verdienen door juiste
antwoorden te geven. De kandidaat die aan het einde de meeste
seconden heeft, is 'De slimste van de dag'.
Van deze quiz worden per jaar twee seizoenen uitgezonden, één in de
zomer en één in de winter. Elk seizoen bevat 30 of 35 afleveringen. Alleen
het 11e seizoen bevatte slechts 5 afleveringen.
In de zomer van 2020 werd het 17e seizoen uitgezonden. De 30e
aflevering van dit seizoen was de 500e aflevering van deze quiz.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel van de seizoenen vóór dit 17e seizoen uit
35 afleveringen bestonden.
Bij de eerste ronde van de quiz start iedere kandidaat met 60 seconden.
In deze ronde kunnen vijf keer 10 seconden worden verdiend. Een
mogelijke stand na de eerste ronde is: kandidaat A heeft 70 seconden,
kandidaat B heeft 80 seconden en kandidaat C heeft 70 seconden. In
totaal zijn er dan 40 seconden verdiend in deze ronde.
114pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende standen er na de eerste ronde mogelijk
zijn als er in deze ronde in totaal 40 seconden worden verdiend.
In de tweede ronde worden er door drie bekende Nederlanders vragen
aan de kandidaten gesteld. Een bekende Nederlander mag in meerdere
afleveringen een vraag stellen. In een seizoen met 30 afleveringen is voor
elke aflevering een ander drietal bekende Nederlanders nodig.
123pTelproblemen 3p
Onderzoek hoeveel bekende Nederlanders er minimaal nodig zijn om in
elk van de 30 afleveringen een ander drietal te kunnen vormen.
opgave 5Myopie
Myopie is een veelvoorkomende oogafwijking die beter bekend staat als
bijziendheid. Iemand die lijdt aan myopie ziet objecten dichtbij scherp,
terwijl objecten verder weg wazig zijn.
Myopie onder kinderen is enorm toegenomen, met name doordat kinderen
met hun ogen steeds vaker dicht bij schermen van tablets en telefoons
zitten. Naar aanleiding van een onderzoek van het Erasmus Medisch
Centrum Rotterdam (Erasmus MC) waarschuwde de Nederlandse
Vereniging van Optiekbedrijven in 2018 dat als dit gedrag zo blijft, het
percentage Nederlanders met myopie flink zou stijgen: van 20% in 2018
naar 50% in 2050.
In 2018 waren er 17,2 miljoen Nederlanders. Men neemt aan dat het
aantal inwoners van Nederland tot 2050 exponentieel zal toenemen met
0,36% per jaar.
Neem aan dat de voorspelling van de Nederlandse Vereniging voor
Optiekbedrijven uitkomt en dat het aantal Nederlanders met myopie
tussen 2018 en 2050 elk jaar met hetzelfde aantal toeneemt.
173pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Exponentiële functies en groei 1p
Bereken hoeveel Nederlanders die lijden aan myopie er tussen 2018 en
2050 jaarlijks gemiddeld bijkomen. Geef je antwoord in een geheel aantal
duizendtallen.
Er bestaan meerdere vormen van myopie. In het vervolg van deze opgave
gaat het alleen over as-myopie. Bij iemand met deze vorm van myopie
heeft de oogbol een grotere as-lengte dan bij iemand met normaal zicht.
De as-lengte is de afstand van de pupil tot aan de achterkant van het
netvlies. Zie figuur 1.
figuur 1
De grafieken in figuur 2 komen uit het onderzoek van het Erasmus MC. In
figuur 2 staat de gemiddelde as-lengte bij jongens en meisjes van
verschillende leeftijden.
figuur 2
Figuur 2 is gebaseerd op meetwaarden op vier leeftijden: 5, 10, 15 en
20 jaar. De onderzoekers hebben de as-lengtes bij de tussenliggende
leeftijden geschat door de meetpunten te verbinden.
Het is ook mogelijk om de as-lengtes bij de tussenliggende leeftijden te
schatten door een formule op te stellen die goed bij de vier meetwaarden
past. Voor de jongens luidt deze formule:
Hierin is J de gemiddelde as-lengte bij jongens in millimeters en t de
leeftijd in jaren.
183pRekenen met een gegeven formule 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken voor jongens met een leeftijd van 7 jaar en 3 maanden het
verschil tussen de schatting in figuur 2 en de schatting volgens de
formule. Geef je antwoord in millimeters in één decimaal.
De grafiek voor de meisjes is te benaderen met de formule:
M = 0,7112 ⋅ ln(t − 4) + 21,9
Hierin is M de gemiddelde as-lengte bij meisjes in millimeters en t de
leeftijd in jaren.
Bij kinderen die aan myopie lijden, wordt regelmatig gecontroleerd of en
hoeveel de as-lengte van het oog is toegenomen. Eventueel kunnen er
dan voorzorgsmaatregelen genomen worden om verdere verslechtering
van het zicht tegen te gaan.
Volgens een deskundige is het oog stabiel als de snelheid waarmee de
as-lengte toeneemt, minder dan 0,05 mm per jaar is. Verdere controles
zijn dan niet meer nodig. Volgens de formules voor J en M is dat bij
jongens eerder het geval dan bij meisjes.
194pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Helling en snelheid met de afgeleide 1p · Kettingregel 1p
Bereken met behulp van de formules voor J en M hoeveel jaar eerder het
oog stabiel is bij jongens. Geef je antwoord in één decimaal.
Op basis van het onderzoek van het Erasmus MC is van een bepaalde
groep kinderen met myopie bekend dat ze een grote kans hebben om als
volwassene te maken te krijgen met ernstige myopie. Deze groep
kinderen heeft gemiddeld op 6-jarige leeftijd een as-lengte van 23,4 mm.
Vier jaar later is deze lengte toegenomen tot 24,4 mm.
In deze groep kinderen zijn de gegevens van jongens en meisjes samen
genomen, dus de formules voor J en M kunnen niet meer gebruikt worden.
We nemen nu aan dat de as-lengte van deze groep benaderd kan worden
met een formule van de vorm
A = p ⋅ ln(t − 4) + q
Hierin is A de as-lengte in millimeter en t de leeftijd in jaren.
Met behulp van de gegevens voor een 6-jarige met een as-lengte van
23,4 mm volgt hieruit na afronding op drie decimalen:
202pFormules en vergelijkingen opstellen 1p · Formules herleiden en omwerken 1p
Toon dit aan.
Met behulp van de gegevens voor een 10-jarige met een as-lengte van
24,4 mm geldt na afronding op drie decimalen:
Met behulp van formules (1) en (2) kunnen de waarden van p en q
bepaald worden zodat de formule voor A opgesteld kan worden. Op twee
decimalen afgerond geldt p = 0,91 en q = 22,77.
opgave 6Amnesty-monument
In het Oranjepark in Vlaardingen staat het Amnesty-monument, ontworpen
door Joop van Dorp en Cor Maarleveld. Zie de foto.
Het monument bestaat uit een gedenksteen omringd door metalen buizen
die met cement gevuld zijn. Deze opgave gaat over die buizen.
In de figuur staat een bovenaanzicht van het monument, met een aantal
van deze buizen. Hierin is te zien dat de buizen op de rand van een
vierkant staan, waarbij er bij het hoekpunt rechtsonder (op de foto
rechtsvoor) een kleine opening is, omdat daar geen buizen zijn geplaatst.
De buizen zijn allemaal even dik, maar hebben verschillende lengtes. De
rechter buis in de onderste rij uit de figuur is de kleinste buis en die is
30 cm hoog. Vanaf hier met de klok mee is elke buis steeds hetzelfde
aantal centimeters hoger dan de buis daarvoor. De langste buis heeft een
hoogte van 270 cm.
De hoeveelheid cement die in een buis gaat, is evenredig met de hoogte
van die buis. Voor de kleinste buis, met een hoogte van 30 cm, is
6030 cm3 cement nodig.
ln 
.
