bronnen

Eindexamen wiskunde A vwo 2025, tijdvak 2

bij dit examen

OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x

naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x )   f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅     = ⋅ d x d g d x

Logaritmen
regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠

regel voorwaarde g log ( a ) + g log ( b ) = g log ( ab ) g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1

Ga verder op de volgende pagina.

opgave 1CO2 in de atmosfeer

In deze opgave kijken we naar het verloop van de concentratie CO2 in de
atmosfeer. Onderzoekers hebben geconstateerd dat de natuurlijke
concentratie CO2 eeuwenlang stabiel is gebleven rond de 280 ppm (parts
per million). De toename van de concentratie CO2 sinds de industriële
revolutie wordt met name veroorzaakt door massaproductie van goederen
en voedsel.
In de figuur zie je het verloop van de concentratie CO2 in de periode
1800–2009.
figuur
figuur
De toename verloopt exponentieel. Het verloop van de concentratie CO2
kan worden benaderd met het model:
C = 280 + gt
Hierbij is C de concentratie CO2 in ppm en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 januari 1800. De waarde 280 staat in dit model voor de constante
natuurlijke concentratie CO2.
Op 1 januari 2002 was de concentratie CO2 370 ppm. Met dit gegeven en
met behulp van bovenstaande gegevens is te berekenen dat de waarde
van g, afgerond op vier decimalen, gelijk is aan 1,0225.
23p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p

Bereken in welk jaar de concentratie CO2 verdubbeld zal zijn ten opzichte
van de natuurlijke concentratie.
Zoals je in de figuur kunt zien is de grafiek toenemend stijgend. De
formule C = 280 + 1,0225^t benadert deze stijging.
Vanaf 1800 duurde het 150 jaar totdat de concentratie CO2 met
(ongeveer) 10% was toegenomen. Vanaf 1950 duurde het veel korter
totdat de volgende 10% stijging van de concentratie CO2 werd gemeten.

opgave 2Domino-effect

Een rij dominostenen wordt achter elkaar gezet. Vervolgens wordt de eerste dominosteen omgeduwd, waarna de rest van de rij (als het goed is) ook omvalt. Dit wordt het domino-effect genoemd, waarbij kleine dominostenen ook grotere kunnen omduwen. Deze opgave gaat over dit domino-effect, waarbij we…

Een rij dominostenen wordt achter elkaar gezet. Vervolgens wordt de eerste dominosteen omgeduwd, waarna de rest van de rij (als het goed is) ook omvalt. Dit wordt het domino-effect genoemd, waarbij kleine dominostenen ook grotere kunnen omduwen. Deze opgave gaat over dit domino-effect, waarbij we dominostenen bekijken die telkens 1,5 keer zo hoog zijn als de voorgaande steen. Een Amerikaan beweert dat wanneer de 13 e dominosteen 1 meter hoog is, de 29 e dominosteen hoger is dan het Empire State Building. Het Empire State Building is een wolkenkrabber in New York, met een hoogte van 381 meter.

Rijen en recursie 2p

Ga met een berekening na of deze Amerikaan gelijk heeft. figuur 1 In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie dominostenen. We nemen in het vervolg van deze opgave het volgende aan: − De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm. − De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm. − Iedere volgende…

Ga met een berekening na of deze Amerikaan gelijk heeft. figuur 1 In figuur 1 zie je een zijaanzicht van drie dominostenen. We nemen in het vervolg van deze opgave het volgende aan: − De hoogte van de eerste dominosteen is 48 mm. − De dikte van de eerste dominosteen is 7,5 mm. − Iedere volgende dominosteen is 1,5 keer zo hoog en 1,5 keer zo dik als de voorgaande. − Iedere dominosteen valt tegen het midden van de volgende dominosteen. − Als de dominostenen op een rij worden gezet, dan krijgt de kleinste steen nummer 1, de volgende steen nummer 2, enzovoorts. figuur 2 Doordat de eerste dominosteen tegen het midden van de tweede steen moet vallen, ligt de afstand L 1 vast. Zie figuur 2. Voor de dominostenen berekenen met de formule Hierbij is L 1 de afstand tussen dominostenen 1 en 2, h 1 de hoogte van dominosteen 1 en h 2 de hoogte van dominosteen 2, alle in mm.

Formules herleiden en omwerken 3p

Herleid van figuur 3 In figuur 3 zie je de algemene situatie. Er geldt (voor n ≥ 2 ): − h n = 48 ⋅ 1,5 n − 1 , met h n de hoogte in mm − d n = 7,5 ⋅ 1,5 n − 1 , met d n de dikte in mm − L n = 0,66 ⋅ h n , met L n de afstand in mm tussen dominosteen n en de dominosteen links daarvan − A n = L n − 1…

Herleid van figuur 3 In figuur 3 zie je de algemene situatie. Er geldt (voor n ≥ 2 ): − h n = 48 ⋅ 1,5 n − 1 , met h n de hoogte in mm − d n = 7,5 ⋅ 1,5 n − 1 , met d n de dikte in mm − L n = 0,66 ⋅ h n , met L n de afstand in mm tussen dominosteen n en de dominosteen links daarvan − A n = L n − 1 + d n Uit bovenstaande gegevens volgt (voor n ≥ 2 ): A n = 19,08 ⋅ 1,5 n

opgave 3Scheepsgolven

Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen. Zie figuur 1. figuur 1 Golven verplaatsen zich over het…

Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen. Zie figuur 1. figuur 1 Golven verplaatsen zich over het water. De snelheid waarmee een golf zich over het water verplaatst, is afhankelijk van de golflengte. Het verband tussen de golflengte en de snelheid waarmee een golf zich verplaatst, wordt gegeven door de volgende formule: (formule 1) Hierbij golflengte in meters en V de snelheid waarmee de golf zich verplaatst in meter per seconde. Als L toeneemt, dan neemt ook V toe. De grafiek van V is dus stijgend.

Rekenen met een gegeven formule 1p · Evenredigheden en machtsverbanden 1p

Bereken, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, deze factor. Geef je antwoord in twee decimalen. Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals…

Bereken, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, deze factor. Geef je antwoord in twee decimalen. Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in figuur 2. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In figuur 2 is tevens een assenstelsel toegevoegd.

figuur 2 De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat het schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het varen samenvallen met de voorkant van het schip. Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door…

figuur 2 De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat het schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het varen samenvallen met de voorkant van het schip. Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van 15 centimeter. De golf is te beschrijven met de formule: h = 15 ⋅ sin( a ( x − b )) (formule 2) Hierbij is h de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met 0 ≤ x ≤ 30 . De waarden van a en b in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te maken van formule 1.

Sinusoïden: periode, amplitude en formule 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Vergelijkingen met machten, wortels en breuken exact oplossen 1p

Bereken a en b in formule 2. Geef a en b in twee decimalen. Om de hoogte van de golven van een schip te verkleinen, is de bulbsteven uitgevonden. De bulbsteven is een uitstekende bult aan de voorkant van een schip. Zie de foto. foto
Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar. Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk. Een schip met…

Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar. Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk. Een schip met een lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf met de h formule: schip ( x ) = 50 ⋅ sin( 15 π ( x + 7,5)) en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule: h bulb ( x ) = 30 ⋅ sin( 15 π ( x − 6)) Hierbij zijn h schip en h bulb de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en is x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters met 0 ≤ x ≤ 100 . De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de bulbsteven wordt verkregen door h schip en h bulb op te tellen. Zie figuur 3. figuur 3 De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven.

opgave 4Batterijspanning

In het dagelijks leven worden er veel batterijen gebruikt om apparaten te
laten werken. Een batterij werkt door het verschil in spanning tussen de
pluspool en de minpool. Dit spanningsverschil noemen we de totale
spanning van de batterij. Deze totale spanning wordt lager als je de
batterij enige tijd hebt gebruikt. Hierdoor gaat bijvoorbeeld een fietslamp
met een batterij op een gegeven moment minder fel branden.
Een van de eerste batterijen werd in 1836 uitgevonden
door de Britse scheikundige Daniell. Bij deze batterij werd
bij de pluspool koper en bij de minpool zink gebruikt.
Deze opgave gaat over zo’n batterij.
De spanningen van de polen van deze batterij zijn te
berekenen met de volgende formules:
Vplus = 0,34 + 0,0296 ⋅ log(k)
figuur bij de opgave
Vmin = −0,76 + 0,0296 ⋅ log(z)
Hierin zijn Vplus en Vmin de spanningen van de polen in volt en k en z de
concentraties van koper en zink in molair1).
De totale spanning van de batterij, Vbatterij, is het verschil tussen de
spanningen van beide polen:
Vbatterij = Vplus − Vmin
Bij de batterij geldt in het begin dat k en z allebei 1 molair zijn. De totale
spanning is dan 1,1 volt. Door het gebruik van de batterij neemt k af en
neemt z toe. Als deze batterij enige tijd stroom heeft geleverd geldt
k = 0,7 en z = 1,3.
133p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p

Bereken met hoeveel procent de totale spanning van de batterij in dit
geval is gedaald. Geef je antwoord in twee decimalen.
143p

Formules herleiden en omwerken 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p

Bereken, zonder gebruik te maken van een getallenvoorbeeld, met
hoeveel volt de spanning van de pluspool afneemt als k halveert. Geef je
antwoord in vier decimalen.
noot 1 molair is een maat voor het aantal deeltjes per liter
Uit Vbatterij = Vplus − Vmin en de gegeven formules voor Vplus en Vmin kan de
volgende formule worden herleid:
Vbatterij = 1,10 + 0,0296 ⋅ log (k)/(z)
153p

Formules herleiden en omwerken 2p · Samengestelde functies, som- en verschilfuncties 1p

Voer deze herleiding uit.
Het is mogelijk om voor Vbatterij een formule op te stellen waarin alleen z
voorkomt:
Vbatterij = 1,10 + 0,0296 ⋅ log(2z−1 − 1), met 1 ≤ z < 2
Doordat z, de concentratie van het zink, toeneemt tijdens het gebruik van
de batterij, daalt de totale spanning van de batterij. Dit kan worden
aangetoond door te kijken naar de afgeleide functie van Vbatterij. Er geldt
(na afronding):
(dVbatterij)/(dz) = (− 0,0257)/(2z − z2)
174p
Onderzoek met een schets van of de daling van de totale
spanning tijdens het gebruik van de batterij toenemend of afnemend is.

opgave 5Raad het getal

Raad het getal is een spel voor twee personen waarbij iemand één
geheel getal bedenkt, dat de ander vervolgens gaat raden. Diegene die
het getal bedenkt, noemen we de bedenker en diegene die gaat raden de
speler.
Het spel werkt als volgt:
De bedenker kiest een getal van maximaal vier cijfers, waarbij het eerste
cijfer geen 0 mag zijn. Het getal kan dus bijvoorbeeld 7 zijn, of 60, of 544,
of 9328.
Vaak kiest de bedenker een viercijferig getal dat makkelijk te onthouden
is. Dat is een getal dat
− bestaat uit vier dezelfde cijfers, of
− bestaat uit vier opeenvolgende cijfers, die in oplopende of aflopende
volgorde staan (bijvoorbeeld 2345 of 4321).
184p

Telproblemen 4p

Bereken hoeveel verschillende makkelijk te onthouden getallen er zijn.
Het getal dat de bedenker bedenkt, noemen we het bedachte getal. De
getallen die de speler noemt, noemen we genoemde getallen.
Omdat het lang kan duren voordat de speler het bedachte getal noemt,
geeft de bedenker feedback. Deze feedback bestaat uit een van de
volgende drie mogelijkheden:
− ‘Goed geraden’ (bedachte getal = genoemde getal).
− ‘Hoger’ (bedachte getal > genoemde getal).
− ‘Lager’ (bedachte getal < genoemde getal).
Het noemen van een getal en het geven van feedback herhaalt zich totdat
de bedenker de feedback ‘Goed geraden’ geeft en het spel stopt. Het
aantal keer dat de speler een getal noemt en vervolgens feedback krijgt,
noemen we het aantal beurten.
We bekijken eerst een vereenvoudigde versie van het spel, waarbij de
speler aan het begin van het spel weet dat het bedachte getal minimaal 1
is en maximaal 9. De speler kan in elke beurt het aantal nog mogelijke
getallen in ieder geval halveren door de volgende strategie toe te passen:
− Is het aantal nog mogelijke getallen oneven, noem dan het middelste
nog mogelijke getal.
− Is het aantal mogelijke getallen even, noem dan een van de twee
middelste nog mogelijke getallen.
De bedenker kiest het getal 8. De speler volgt bovenstaande strategie.
Het aantal beurten waarin de speler het bedachte getal raadt, ligt dan nog
niet vast.
194p

Redeneren en uitleggen in de context 4p

Onderzoek welke aantallen beurten mogelijk zijn waarin de speler het
bedachte getal 8 kan raden.
In het vervolg van deze opgave bekijken we een versie van het spel,
waarbij we de eis dat het bedachte getal uit maximaal vier cijfers moet
bestaan, loslaten. We kijken naar getallen tussen 0 en n, waarbij n een
geheel getal groter dan 1 is. Hierdoor kan het bedachte getal elk getal
vanaf 1 tot en met n − 1 zijn.
Het aantal beurten dat nodig is om het bedachte getal te raden, hangt
mede af van de gevolgde strategie. Als de eerder beschreven strategie
toegepast wordt, dan geldt:
n − 1 < 2m−1
Hierbij is m het maximaal aantal beurten dat nodig is om het bedachte
getal te noemen.
Twee personen spelen het spel met n = 26. Volgens de formule is de
kleinst mogelijke waarde van m dan gelijk aan 6.
202p

Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Ongelijkheden oplossen 1p

Toon dit met behulp van de formule n − 1 < 2m−1 aan.
De waarde 6 die de formule geeft voor n = 26 gaat uit van het ‘slechtste’
geval: dat steeds precies de helft van het aantal mogelijke getallen
overblijft. Het blijkt echter dat voor n = 26 de speler het bedachte getal
altijd in maximaal 5 beurten kan noemen.
214p

Redeneren en uitleggen in de context 4p

Bepaal het maximaal aantal overblijvende getallen per beurt en laat
daarmee zien dat de speler in maximaal 5 beurten het bedachte getal kan
noemen voor n = 26.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

opgave 6Recordpoging triatlon

Een triatlon is een sport waarbij zwemmen, fietsen en hardlopen
gecombineerd worden. In het najaar van 2022 kreeg de triatleet Adrian
Kostera bekendheid met zijn voornemen om met het uitvoeren van een
extreem lange triatlon in het boek Guiness World Records (GWR) te
komen.
Adrian Kostera wilde voor zijn recordpoging een triatlon afleggen met een
totale afstand van 40 170 km (zwemmen, fietsen en hardlopen samen). Dit
is ongeveer gelijk aan de omtrek van de aarde.
Het GWR heeft bepaald hoe Kostera de 40 170 km moest verdelen over
de drie verschillende onderdelen: hij moest 3% van de totale afstand
zwemmen, 77,5% fietsen en 19,5% hardlopen.
Kostera legde vanaf 1 juni 2023 tot en met 31 mei 2024 (366 dagen) elke
dag een stukje van deze triatlon af, waarbij het zijn streven was om elke
dag evenveel tijd aan deze extreem lange triatlon te besteden. Van het
GWR moest hij eerst de gehele zwemafstand afleggen, daarna de gehele
fietsafstand en als laatste de gehele loopafstand.
Kostera ging dus:
− a dagen x km per dag zwemmen
− b dagen y km per dag fietsen
− c dagen z km per dag hardlopen
Om te weten hoe lang hij over elk onderdeel zou doen, heeft hij vooraf
een schatting gemaakt van zijn gemiddelde tempo per onderdeel. Zie de
tabel.
tabel
onderdeel geschat gemiddeld tempo zwemmen 2 min en 40 seconden per 100 meter fietsen 25 km/uur hardlopen 8 min en 45 seconden per km
Op basis hiervan kon vooraf berekend worden hoeveel dagen Kostera
tijdens deze recordpoging bezig zou zijn met zwemmen, hoeveel dagen
met fietsen en hoeveel dagen met hardlopen.
227p

Procenten, verhoudingen en eenheden 7p

Onderzoek hoeveel gehele dagen Kostera per onderdeel (zwemmen,
fietsen en hardlopen) naar verwachting nodig had.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.