bij dit examen
OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide somregel s ( x ) = f ( x ) + g ( x ) s' ( x ) = f ' ( x ) + g' ( x ) verschilregel v ( x ) = f ( x ) − g ( x ) v' ( x ) = f ' ( x ) − g' ( x ) productregel p ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) p' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g' ( x ) f ( x ) q ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x ) q' ( x ) = quotiëntregel q ( x ) = g ( x ) q' ( x ) = ( g ( x )) 2 kettingregel k ( x ) = f ( g ( x )) k' ( x ) = f ' ( g ( x )) ⋅ g' ( x ) of d k d f d g = ⋅ = ⋅ d x d g d x
Logaritmen
regel voorwaarde g ( ) g ( ) g ( ) log a + log b = log ab g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g g g a log ( a ) − log ( b ) = log g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 log ( a ) − log ( b ) = log b g >0, g ≠ 1, a >0, b >0 g log ( a p ) = p ⋅ g log ( a ) g >0, g ≠ 1, a >0 p log ( a ) g log ( a ) = g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1 log ( a ) = p log ( g ) g >0, g ≠ 1, a >0, p >0, p ≠ 1
opgave 1Schaakprogramma's
Het schaakspel is een eeuwenoud bordspel waarbij twee spelers om en
om een schaakstuk mogen verzetten. Hierbij heeft de ene speler witte
schaakstukken en de andere zwarte schaakstukken. De speler met de
witte stukken begint. De spelregels van het schaakspel zijn relatief
eenvoudig. Toch lukt het al eeuwen niet om een winnende strategie te
vinden.
In deze opgave laten we de spelregels verder buiten beschouwing.
De opeenvolging van zetten tijdens een schaakspel noemen we het
spelverloop. Een belangrijke oorzaak waardoor een winnende strategie
nog niet is gevonden, is het grote aantal verschillende spelverlopen dat
voor kan komen. De Amerikaanse wiskundige Claude Shannon beschreef
dit in 1950 als eerste in zijn publicatie 'Programming a Computer for
Playing Chess'.
In zijn publicatie deed Shannon een ruwe schatting van het aantal
mogelijke spelverlopen met 10 zetten. Bij deze schatting nam hij aan dat
iedere keer dat een speler een schaakstuk verzet er 30 mogelijke
spelverlopen ontstaan.
De schatting van Shannon bleek veel te hoog.
Als bijvoorbeeld wit en zwart beide 5 keer een schaakstuk verzetten, zijn
er in werkelijkheid 6,93 ×1013 verschillende spelverlopen mogelijk met
deze 10 zetten.
12pTelproblemen 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek hoeveel keer zo groot de schatting voor het aantal mogelijke
spelverlopen met 10 zetten is als het werkelijke aantal spelverlopen. Geef
je antwoord in één decimaal.
Al jaren wordt er ook tegen schaakprogramma’s geschaakt. Maar zelfs
een schaakprogramma kan niet alle mogelijke spelverlopen tot aan het
eind van het spel doorrekenen. Daarom rekenen schaakprogramma’s een
aantal zetten vooruit en beslissen op basis daarvan steeds wat de beste
zet is.
Hoe goed een schaakprogramma is in het berekenen van de beste zetten
en hoeveel zetten het vooruit kan rekenen bepaalt de speelsterkte van
het schaakprogramma. De speelsterkte wordt uitgedrukt in een geheel
getal.
In de periode 1985-1995 nam de speelsterkte van het sterkste
schaakprogramma lineair toe. Zie figuur 1.
figuur 1
Het bedrijf IBM haalde in 1996 het nieuws met het inmiddels
legendarische schaakprogramma Deep Blue. Dit schaakprogramma had
in dat jaar een speelsterkte van 2853 en had daarmee volgens kenners
jaren voorsprong op andere schaakprogramma’s.
24pBereken met behulp van figuur 1 in welk jaar een speelsterkte van 2853
verwacht had kunnen worden als de genoemde lineaire groei zich ook na
1995 voortzette.
Een ander bekend schaakprogramma is Stockfish. Dit had op 1 januari
2009 een speelsterkte van 3097. Door constante verbeteringen aan
Stockfish nam de speelsterkte daarna (bij benadering) lineair toe met 39
per jaar.
Begin 2010 kwam de Vlaamse programmeur Robert Houdart met het
schaakprogramma Houdini. Dit was op dat moment het sterkste
schaakprogramma ter wereld. Houdart bleef in de jaren erna
verbeteringen aan zijn schaakprogramma aanbrengen, waardoor de
speelsterkte in de eerste jaren toenam volgens de formule:
RH = 92,1⋅ log(t + 1) + 3190
Hierin is RH de speelsterkte van Houdini en t de tijd in jaren met t = 0 op
1 januari 2010.
De speelsterkte van Houdini nam in de jaren na 2010 langzamer toe dan
die van Stockfish. Daardoor was Stockfish na enkele jaren weer het
betere schaakprogramma.
34pLineaire functies 3p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 1p
Bereken hoelang na het uitkomen van Houdini de speelsterkte van
Stockfish weer gelijk was aan die van Houdini. Geef je antwoord in gehele
maanden.
Door een slimme nieuwe techniek slaagde Houdart erin de speelsterkte
van zijn schaakprogramma enorm te verbeteren. Hierdoor was op
1 januari 2016 de speelsterkte van Houdini 121 punten hoger dan op
basis van de formule voor RH verwacht mocht worden. Daarna nam de
speelsterkte weer veel langzamer toe tot 3433 op 1 januari 2019.
Deze ontwikkeling is schematisch weergegeven in figuur 2.
figuur 2
Met behulp van bovenstaande gegevens kan voor het deel van de grafiek
vanaf 2016 een formule worden opgesteld van de vorm R = a ⋅ log(t + 1) + c
met t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2016.
opgave 2De vergeetcurve
De Duitse psycholoog Hermann Ebbinghaus deed eind 19e eeuw veel
onderzoek naar het geheugen. Hij ontdekte dat mensen nieuwe informatie
goed kunnen onthouden, maar dat ze informatie ook weer snel vergeten
als ze er verder niets meer mee doen.
Zijn onderzoek resulteerde in de zogeheten vergeetcurve van
Ebbinghaus. In de figuur is de vergeetcurve weergegeven.
figuur
In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat 1 uur na het leren van nieuwe
informatie nog maar 44% van die nieuw geleerde informatie onthouden is.
De horizontale as heeft een bijzondere schaalverdeling: een ‘hokje’ stelt
niet steeds evenveel tijd voor. Hierdoor suggereert de grafiek in de figuur
dat er bij benadering sprake zou zijn van exponentiële afname van het
percentage informatie dat onthouden is. Op internet circuleren dan ook
artikelen die beweren dat de vergeetcurve volgens een exponentiële
afname verloopt. Dit is echter niet waar.
52pExponentiële functies en groei 2p
Toon met behulp van een berekening aan dat er volgens de gegevens in
de figuur geen sprake kan zijn van exponentiële afname.
Tegenwoordig wordt ook wel gebruikgemaakt van de formule:
, met
t > 0Hierin is P het percentage informatie dat onthouden is en t het aantal
dagen dat verstreken is sinds het leren van de informatie.
opgave 3Hitte-eiland
Gebouwen, huizen, wegen en stenen houden veel warmte vast waardoor
het in steden, vooral in warme perioden, warmer wordt dan in de nabije
omgeving. Een stad waar de temperatuur hoger is dan de temperatuur in
de nabije omgeving van die stad wordt een hitte-eiland genoemd. Dat er
verschil in temperatuur ontstaat, wordt het stedelijk hitte-eiland effect
genoemd. Algemeen geldt: hoe groter een stad, hoe groter het
temperatuurverschil als gevolg van het stedelijk hitte-eiland effect. Hierbij
wordt het inwonersaantal van een stad als maat voor de grootte van een
stad gebruikt.
In figuur 1 is op een kaart het stedelijk hitte-eiland effect in de Randstad
weergegeven. De lichte vlekken op kaart die door het RIVM is uitgegeven,
geven de hitte-eilanden weer.
figuur 1
In het voorjaar van 2013 werd in het Duitse tijdschrift Meteorologische
Zeitschrift een onderzoek naar hitte-eilanden in Europa gepubliceerd.
Volgens dit onderzoek geldt voor Europese steden:
Vmax = 2,01⋅ log(P) − 4,06 (formule 1)
Hierin is P het inwonersaantal van de stad en Vmax het grootst mogelijke
verschil tussen de temperatuur van een hitte-eiland en de (lagere)
temperatuur in de nabije omgeving van dat hitte-eiland in graden Celsius.
Tijdens een hittegolf in de zomer van 2019 meldden diverse media dat het
in sommige steden in Nederland ‘wel 13 graden Celsius warmer’ zou
kunnen worden dan in hun nabije omgeving.
83pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Redeneren en uitleggen in de context 1p
Bereken hoeveel inwoners een stad volgens formule 1 zou moeten
hebben om een temperatuurverschil van 13 graden Celsius mogelijk te
maken en leg daarmee uit waarom zo’n groot verschil in Nederland niet
reëel is.
Het inwonersaantal is niet de enige factor die meespeelt bij het stedelijk
hitte-eiland effect. Twee andere belangrijke factoren zijn de bewolking en
de wind. Door deze factoren zal het werkelijke verschil tussen de
temperatuur van een hitte-eiland en de temperatuur in de nabije omgeving
meestal kleiner zijn dan Vmax. Er geldt:
Hierin is V het verschil tussen de temperatuur van een hitte-eiland en de
temperatuur in de nabije omgeving van dat hitte-eiland in graden Celsius,
C de bewolkingsfactor en W de windfactor.
In figuur 2 is geschetst hoe de mate van figuur 2
bewolking N en de bewolkingsfactor C
samenhangen. Hierbij betekent N = 0
dat het onbewolkt is en N = 8 dat er
sprake is van volledige bewolking.
We bekijken de situatie dat op een dag
de mate van bewolking toeneemt en de
windfactor constant blijft. Als dan de
temperatuur in de nabije omgeving
constant blijft, daalt de temperatuur in
de stad.
93pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p · Evenredigheden en machtsverbanden 1p · Redeneren en uitleggen in de context 1p
Beredeneer met behulp van figuur 2 en formule 2 dat dit juist is.
Hoe harder het waait, hoe kleiner het temperatuurverschil als gevolg van
het stedelijk hitte-eiland effect. Hierbij heeft wind in kleine steden een
grotere remmende werking op het temperatuurverschil als gevolg van het
stedelijk hitte-eiland effect dan in grote steden. De onderzoekers spreken
daarom over de windlimiet. Dat is de maximale windsnelheid waarbij er
nog sprake is van het stedelijk hitte-eiland effect. Volgens de
onderzoekers geldt:
L = (0,567 ⋅ log(P) − 0,513)2
Hierin is P het inwonersaantal van de stad en L de windlimiet in m/s.
Berlijn is de grootste stad van Duitsland. In 2018 had Berlijn 3 600 000
inwoners. Hamburg, de tweede stad van Duitsland, had toen 1 830 700
inwoners. De windlimiet voor Berlijn was toen groter dan de windlimiet
voor Hamburg.
103pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken hoeveel procent groter. Geef je antwoord in één decimaal.
Voor de in figuur 2 weergegeven samenhang tussen de mate van
bewolking N en de bewolkingsfactor C geldt de formule:
Voor de windfactor W stelden de onderzoekers de volgende formule op:
Hierin is v de windsnelheid in m/s en L weer de windlimiet in m/s.
De warmste dag in de zomer van 2019 was 24 juli. In de nabije omgeving
van Eindhoven was het die dag 36,4 graden Celsius bij een windsnelheid
van 3 m/s en een mate van bewolking van 3.
Eindhoven had toen 230 000 inwoners.
115pRekenen met een gegeven formule 5p
Bereken met behulp van de vijf gegeven formules de maximum
temperatuur in Eindhoven op 24 juli 2019. Geef je antwoord in één
decimaal.
opgave 4Rubik’s Race
De Rubiks kubus is een puzzel in de vorm van een
kubus die zelf weer kubusvormige blokjes bevat.
De meest bekende Rubiks kubus is de kubus die je
ziet op foto 1.
Er bestaan ook andere Rubiks kubussen.
Zie foto 2.
foto 2
In deze opgave wordt het getal n gebruikt voor het kubusnummer.
Op foto 2 zie je kubusnummers 2, 4 en 5.
Het aantal blokjes A van kubusnummer n kan worden berekend met een
formule van de vorm:
Alleen aan de buitenkant van een Rubiks kubus zitten blokjes. Zo bevat
de kleinste Rubiks kubus met kubusnummer 2 (zie foto 2), 8 blokjes en de
kubus met kubusnummer 3 bevat 26 blokjes (zie foto 1).
133pRijen en recursie 3p
Bereken vanaf welke n een kubus meer dan 250 blokjes bevat.
Rubik’s Race is een spel voor twee spelers dat is geïnspireerd op de
Rubiks kubus. Het spel bevat tegels in zes verschillende kleuren. Elke
speler heeft vier tegels van elke kleur en een speelveld met vijfentwintig
vakjes. De speelvelden van de spelers zitten aan elkaar vast en kunnen
daarom niet gedraaid worden. Zie foto 3.
foto 3
Aan het begin van het spel plaatst elke speler zijn vierentwintig tegels op
het eigen speelveld. Eén van de vijfentwintig vakjes blijft dus leeg. Het
maakt niet uit welk vakje dat is. Zo ontstaat bij elke speler een
kleurenpatroon met één leeg vakje. Zie foto 3.
144pTelproblemen 4p
Bereken hoeveel verschillende kleurenpatronen er voor een speler
mogelijk zijn. Geef je antwoord in de vorm a ⋅1016 met a in twee
decimalen.
De spelers verschuiven vervolgens tijdens het spel met behulp van het
lege vakje hun tegels, totdat er in het midden een gegeven
kleurenpatroon ontstaat. Degene die dit het snelst doet, is de winnaar. Op
foto 4 zie je een kleurenpatroon en daarnaast de speelvelden met in het
midden precies hetzelfde kleurenpatroon.
foto 4 – kleurenpatroon en speelvelden
Elke speler heeft tegels in zes verschillende kleuren. Van elke kleur heeft
hij vier tegels. De spelers maken daarmee een kleurenpatroon van negen
tegels, zoals in foto 4 te zien is.
In totaal zijn er met zes kleuren 69 verschillende kleurenpatronen van 9
tegels mogelijk. Er is bekend dat 68 676 van deze kleurenpatronen zes of
meer tegels van dezelfde kleur bevatten. In het kleurenpatroon dat de
speler kan maken, zitten echter nooit meer dan vier tegels van dezelfde
kleur.
opgave 5Warmtepompen
In 2019 werd een deel figuur 1
Eind 1994 waren er 1700 warmtepompen geïnstalleerd in Nederlandse
woningen. Dit aantal nam bij benadering exponentieel toe tot 412 000
geïnstalleerde warmtepompen eind 2019.
163pExponentiële functies en groei 3p
Bereken met behulp van deze gegevens met hoeveel procent per jaar het
aantal geïnstalleerde warmtepompen in de periode 1994-2019 toenam.
Geef je antwoord in één decimaal.
De grafiek in figuur 1 kan worden benaderd met de formule:
W = 1700 ⋅ e0,22t
Hierin is W het totaal aantal geïnstalleerde warmtepompen en t de tijd in
gehele jaren met t = 0 aan het eind van 1994.
Veronderstel dat de formule voor W ook na 2019 geldt.
174pGemiddelde verandering en differentiequotiënt 3p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Bereken in welk jaar de jaarlijkse toename aan geïnstalleerde
warmtepompen voor het eerst groter is dan 200 000.
figuur 2
In het vervolg van de opgave
bekijken we warmtepompen
die aan een buitenmuur
gemonteerd worden.
Zie figuur 2.
Een nadeel van warmtepompen is het geluid dat ze maken.
Voor warmtepompen die gemonteerd zijn zoals in de situatie in figuur 2,
kan het geluidsniveau op een bepaalde afstand van de warmtepomp
worden benaderd met de formule:
L = Lmax − 10 ⋅ log(πr2) met r > 0,8
Hierin is L het geluidsniveau in dB (decibel) van de warmtepomp dat op
r meter afstand van de warmtepomp wordt waargenomen en Lmax is het
maximale geluidsniveau van de warmtepomp in dB.
Vanwege mogelijke geluidsoverlast is wettelijk vastgelegd dat het
geluidsniveau van een warmtepomp tussen 19:00 uur en 7:00 uur
hoogstens 40 decibel mag bedragen op de dichtstbijzijnde grens met de
buren.
Peter wil een warmtepomp aan een buitenmuur monteren in een situatie
zoals in figuur 2 waarbij hij aan de wettelijke eis wil voldoen. Het
maximale geluidsniveau van de warmtepomp is 53 dB.
183pVergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p
Bereken in gehele decimeters de minimale afstand tussen de
warmtepomp en de dichtstbijzijnde grens met de buren waarbij aan de
wettelijke eis wordt voldaan.
Als je bij een warmtepomp vandaan loopt, neemt het geluidsniveau in het
begin relatief sterk af, maar vervolgens steeds minder.
Een daling van het geluidsniveau met minder dan 1 dB per meter kan het
menselijk oor niet waarnemen.
opgave 6Inkomsten uit apps
Al jaren groeit het gebruik van smartphones. Tegelijkertijd wordt er door
bedrijven die apps voor smartphones ontwikkelen meer en meer verdiend
aan de verkoop van die apps.
Toen de smartphone net in opmars was, werd er voornamelijk verdiend
aan spelletjes voor op je smartphone. Newzoo, een bedrijf dat de
spelletjesmarkt analyseert, voorspelde in 2017 in hun "Global Mobile
Market Report" dat de inkomsten uit overige apps, dat zijn apps die geen
spelletjes zijn, flink zouden gaan toenemen. Zie de figuur.
figuur
In het jaar 2017 waren de totale wereldwijde inkomsten uit de verkoop van
alle apps – dus van spelletjes en overige apps samen – gelijk aan
56,4 miljard dollar. Hiervan was 10,3 miljard dollar uit overige apps.
Newzoo voorspelde dat de totale inkomsten zouden toenemen tot
85 miljard dollar in het jaar 2020, waarvan 20 miljard dollar uit overige
apps.
Newzoo gebruikte twee lineaire modellen voor deze voorspellingen.
Newzoo ging er namelijk vanuit dat de totale inkomsten lineair zouden
toenemen, maar ook dat het percentage inkomsten uit overige apps ten
opzichte van de totale inkomsten lineair zou toenemen.
Veronderstel dat de modellen van Newzoo ook na 2020 zijn blijven
gelden. In 2020 waren de inkomsten uit de verkoop van spelletjes gelijk
aan 65 miljard dollar en uit de verkoop van overige apps 20 miljard dollar.
