bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2014, tijdvak 2

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sin t cosu + cost sin u sin t + sin u = 2sin(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
sin(t − u) = sin t cos u − cost sin u sin t − sin u = 2sin(t − u)/(2) cos (t + u)/(2)
cos(t + u) = cost cosu − sin t sin u cost + cosu = 2cos(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
cos(t − u) = cost cosu + sin t sin u cost − cosu = − 2sin(t + u)/(2) sin (t − u)/(2)

opgave 2Gelijke oppervlakte

Voor x ≥ 0 is de functie f gegeven door f(x) = 3√(x) − x.
De punten O(0,0) en A(9,0) liggen op de grafiek van f.
Het punt T is het hoogste punt van deze grafiek. Zie figuur 1.
figuur 1
y T f A O x De coördinaten van T zijn 21,21 . 4 4
14p
Bewijs dat de coördinaten van T inderdaad (2(1)/(4),2(1)/(4)) zijn.
V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de x-as.
In figuur 2 is V grijs gemaakt.
figuur 2
y T f V A O x
De lijn door A en T snijdt de y-as in het punt B. In figuur 3 is
driehoek OAB grijs gemaakt.
figuur 3
y B T f A O x
De oppervlakte van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk.
26p
Bewijs dit.

opgave 3Het uiteinde van een wip

We bekijken in deze opgave een wiskundig model voor de beweging van
het uiteinde van een wip.
figuur 1
Lijnstuk PQ met midden M en lengte 4 draait om M. De hoogte van
M is 1. Zie figuur 1. We kijken naar het verloop van de hoogte h van P. Op
tijdstip t = 0 is de hoogte van P gelijk aan 0. Van t = 0 tot t = 2 beweegt P
omhoog. In figuur 1 is het lijnstuk getekend op drie tijdstippen: op t = 0,
op t = (4)/(3) en op t = 2.
figuur 1
t =-4-- 3 P 2 M 2 Q h 1
P t = 2 2 M h 2 1 Q
t = 0 Q 2 M 2 1 P
De hoogte van P tijdens de omhooggaande beweging wordt beschreven
door het volgende model:
− fase 1: ^h_1^(^t^)^ =^1^ +^2^s^i^n((3π)/(10)^t^2^ − (π)/(6))
voor 0 ≤ t ≤ (1)/(3)
− fase 2: h_2(t) = 1 + 2sin((π)/(5)t − (π)/(5))
voor (1)/(3) < t ≤ (5)/(3)
− fase 3: ^h_3^(^t^)^ =^1^ +^2^s^i^n(^ − (3π)/(10)^t^2^ + (6π)/(5)^t^ − (31π)/(30)) voor (5)/(3) < t ≤ 2
Hierin zijn h1, h2 en h3 de hoogtes van P in de verschillende fasen.
In figuur 2 is de grafiek van de hoogte van P in de fasen 1, 2 en 3
getekend.
figuur 2
h 2 h3 h2 1 h1 O ― 1 1 ― 5 2 t 3 3
De hoogte van P aan het eind van fase 2 is h_2((5)/(3)). Door t = (5)/(3) in te vullen
in de formule van h3 kan worden bewezen dat de hoogte van P aan het
begin van fase 3 gelijk is aan de hoogte van P aan het eind van fase 2.
33p
Bewijs dat deze hoogtes gelijk zijn.
De helling van de grafiek van h2 aan het begin van fase 2 is (2π)/(5) cos ((2π)/(15)).
44p
Bewijs dat de helling van de grafiek van h1 aan het eind van fase 1
hieraan gelijk is.
Voor elke waarde van a, met 0 < a < (2)/(3), geldt:
(h2(1 − a) + h2(1 + a))/(2) = 1
54p
Bewijs deze gelijkheid.

opgave 4Cirkel en lijnstuk

Gegeven zijn een cirkel c met
figuur
middelpunt M en een lijnstuk AB
buiten c. De lijn door A en B snijdt
c niet.
Lijnstuk AM snijdt c in punt C en
lijnstuk BM snijdt c in punt D.
De bissectrice van hoek BAM en de
bissectrice van hoek ABM snijden
elkaar in punt E.
Zie de figuur. Deze figuur staat ook
op de uitwerkbijlage.
c M D C E A B
65puitwerkbijlage
Bewijs dat de lijnstukken CE en DE even lang zijn.
Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 5Gespiegelde punten

Voor x > 0 is de functie f gegeven door f(x) = 2 ⋅ ln x.
De grafiek van g ontstaat door de grafiek van f over een afstand a naar
links te verschuiven, waarbij a > 1. De grafiek van g snijdt de x-as in
punt P en de y-as in punt Q.
Er is een waarde van a waarvoor het beeld van P bij spiegeling in de lijn
y = − x samenvalt met Q. Er geldt dan: yQ = − xP. Zie de figuur.
figuur
y y = – x Q P O x g f
77p
Bereken deze waarde van a. Rond je antwoord af op twee decimalen.

opgave 6Ankerketting

Een schip ligt op zee voor anker. Door stroming en wind trekt het schip
aan de ankerketting. Hierdoor en door het eigen gewicht van de
ankerketting neemt de ketting een vorm aan die bekend staat als een
kettinglijn. In de figuur is deze situatie schematisch in een assenstelsel
weergegeven. De x-as valt samen met de horizontale zeebodem, waarop
het anker ligt.
De oorsprong O van het assenstelsel is gekozen in het punt waar de
ankerketting aan het anker is bevestigd. Aan het schip zit de ankerketting
vast in punt A. We gaan ervan uit dat de ankerketting daar direct het
water in gaat.
Het punt A bevindt zich 96 meter rechts van de y-as.
figuur
y A O
x
Een kettinglijn waarvan het laagste punt door O gaat, kan worden
beschouwd als een deel van de grafiek van de functie f gegeven door:
^f^(^x^)^ = (1)/(2a)^ ⋅ (^e^a^x^ +^e^ −^a^x^ −^2), met a > 0
Voor de functie f geldt:
^1^ + (^f^'^(^x^))^2^ = ((1)/(2)^e^a^x^ + (1)/(2)^e^ −^a^x)^2
86p
Bewijs deze gelijkheid.
Voor de ankerketting in de figuur geldt a = (1)/(140) en 0 ≤ x ≤ 96. Hierin zijn x
en f(x) in meters. Door golven en wind kan een schip flinke bewegingen
maken. Bij een korte ankerketting kan dan het anker losraken. Om dit te
voorkomen geeft men bij het uitwerpen van een anker de ankerketting
veel lengte. Hiervoor hanteert men in de scheepvaart de vuistregel dat de
lengte van de ankerketting tussen anker en schip ten minste driemaal de
waterdiepte moet zijn.
95p
Onderzoek of de ankerketting in de figuur aan deze vuistregel voldoet.

opgave 7Acht keer zo groot

Voor p > 0 is de functie fp gegeven door fp(x) = 3px2 − x3.
De grafiek van fp raakt de x-as in het punt O(0,0) en snijdt deze in het
punt A(3p,0).
Verder heeft de grafiek van fp een buigpunt B(p,2 p3).
V is het gebied dat wordt ingesloten door de
figuur 1
105p
grafiek van f p en de x-as. De verticale lijn door
y f p B O A x
het buigpunt verdeelt V in twee delen.
In figuur 1 is deze situatie weergegeven. De
oppervlakte van het linkerdeel is (3)/(4) p^4.
Bewijs dat de oppervlakte van het rechterdeel
acht keer zo groot is als de oppervlakte van het
linkerdeel.
Er is een waarde van p waarvoor geldt:
de lijnstukken BO en AO zijn even lang.
114p
Bereken exact deze waarde van p.
De buigraaklijn in B snijdt de x-as in punt C.
figuur 2
125p
In figuur 2 is deze situatie weergegeven.
Bewijs dat de lengte van CA voor elke waarde
van p > 0 acht keer zo groot is als de lengte
van OC.
y f p B O C A x

opgave 8Tussen twee bewegende punten

Over de eenheidscirkel bewegen twee punten A en B . Beide punten bevinden zich op tijdstip t = 0 in het punt (1, 0) . Ze bewegen met constante snelheid, waarbij de snelheid van A drie keer zo groot is als de snelheid van B . De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn respectievelijk: x A ( t ) =…

Over de eenheidscirkel bewegen twee punten A en B . Beide punten bevinden zich op tijdstip t = 0 in het punt (1, 0) . Ze bewegen met constante snelheid, waarbij de snelheid van A drie keer zo groot is als de snelheid van B . De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn respectievelijk: x A ( t ) = cos(3 t ) x B ( t ) = cos t en y A ( t ) = sin(3 t ) y B ( t ) = sin t Voor t ≠ k ⋅π , met k geheel, vallen de punten A en B niet samen en zijn ze de eindpunten van de koorde AB . In de figuur is de situatie getekend voor t = 1/5 π . figuur

Lijnstuk A'B' is de loodrechte projectie van koorde AB op de x -as. De lengte van A'B' verandert voortdurend tijdens de beweging. Bereken de maximale lengte van A'B' . Rond je antwoord af op twee decimalen. Tijdens de beweging verandert ook de richtingscoëfficiënt van koorde AB . Deze…

Lijnstuk A'B' is de loodrechte projectie van koorde AB op de x -as. De lengte van A'B' verandert voortdurend tijdens de beweging. Bereken de maximale lengte van A'B' . Rond je antwoord af op twee decimalen. Tijdens de beweging verandert ook de richtingscoëfficiënt van koorde AB . Deze richtingscoëfficiënt noemen we a . Voor elk tijdstip t , waarbij

Bewijs dit. Lijn l is de lijn met vergelijking y = − x . Er zijn vier waarden van t , met 0 < t < 2 π , waarvoor koorde AB evenwijdig is met l .
Bereken exact deze vier waarden. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 9Diagonalen en gelijke hoeken

Gegeven is een cirkel met een
figuur 1
koordenvierhoek ABCD met
diagonalen AC en BD. Diagonaal
BD verdeelt hoek ADC in twee
gelijke hoeken. Zie figuur 1. Deze
figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
C D A B
Voor deze koordenvierhoek geldt: AB en BC zijn even lang.
164puitwerkbijlage
Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de
uitwerkbijlage.
In figuur 2, die ook op de
uitwerkbijlage staat, is opnieuw
een cirkel getekend met een
koordenvierhoek ABCD.
Er geldt nu:
− diagonaal BD verdeelt hoek
ADC in twee gelijke hoeken;
− diagonaal AC verdeelt hoek
BAD in twee gelijke hoeken.
De diagonalen snijden elkaar in het
punt E.
De lijn door B en het middelpunt M
van de cirkel snijdt diagonaal AC in
het punt F. De lijn door C
en M snijdt diagonaal BD in het
figuur 2
D A F C E M G B
punt G.
176puitwerkbijlage
Bewijs dat de punten E, F, M en G op één cirkel liggen. Je kunt hierbij
gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.