bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2015, tijdvak 1

naslagFormules

Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken,
afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
(Meetkundige plaatsen:)/(middelloodlijn, bissectr)ice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel,
parabool.
(Driehoeken:)/(hoekensom)driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ,
ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek,
bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek,
zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek,
gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige
rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek.
(Vierhoeken:)/(hoekensom)vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales,
middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen
koorde en raaklijn, koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u) = sint cosu + cost sinu sint + sinu = 2sin(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
sin(t − u) = sint cosu − costsinu sint − sinu = 2sin(t − u)/(2) cos (t + u)/(2)
cos(t + u) = cost cosu − sintsinu cost + cosu = 2cos(t + u)/(2) cos (t − u)/(2)
cos(t − u) = cost cosu + sintsinu cost − cosu = − 2sin(t + u)/(2) sin (t − u)/(2)

opgave 2Wortelfuncties

In de figuur zijn de grafieken getekend van de functies f en g gegeven
door f(x) = √(x) en g(x) = (1)/(2)√(x). Verder zijn de lijnen getekend met
vergelijkingen x = a en x = 4, met 0 < a < 4.
figuur
x = a x = 4 y f g x
In de figuur zijn twee vlakdelen grijs gemaakt. Het ene grijze vlakdeel
wordt begrensd door de grafieken van f en g en de lijn met vergelijking
x = a. Het andere grijze vlakdeel wordt begrensd door de grafiek van g,
de x-as en de lijnen met vergelijkingen x = a en x = 4.
16p
Bereken exact voor welke waarde van a deze vlakdelen gelijke oppervlakte
hebben.

opgave 3Cirkels en lijnstuk

Over de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 beweegt een punt A met bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = sin t met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = cos t Over de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2 beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = 2sin(2 t ) met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = 2cos(2 t )…

Over de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1 beweegt een punt A met bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = sin t met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = cos t Over de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2 beweegt een punt B met bewegingsvergelijkingen: x ( t ) = 2sin(2 t ) met 0 ≤ t ≤ 2 π y ( t ) = 2cos(2 t ) In de figuren 1 en 2 zijn de twee cirkels en het lijnstuk AB getekend voor de tijdstippen t = 0 en t = 2 . figuur 1 figuur 2 Op de tijdstippen waarop B zich op de x -as bevindt, bevindt A zich op de lijn met vergelijking y = x of op de lijn met vergelijking y = − x .

Bewijs dit.
In figuur 3 is het lijnstuk AB getekend op een tijdstip waarop het horizontaal is en boven de x -as ligt. figuur 3 Er zijn twee tijdstippen waarop het lijnstuk AB horizontaal is en onder de x -as ligt.
Bereken voor één van deze tijdstippen de coördinaten van A , afgerond op één decimaal, en teken het bijbehorende lijnstuk AB in de figuur op de uitwerkbijlage.

opgave 4Helderheid van sterren

Aan de sterrenhemel bevinden zich heldere en minder heldere sterren. De
helderheid van een ster werd in de oudheid reeds aangegeven met een
getal, de magnitude van de ster. Zeer heldere sterren kregen
magnitude 1. Nauwelijks zichtbare sterren kregen magnitude 6. Een kleine
waarde betekent dus een grote helderheid. In deze opgave is m de
magnitude.
Tegenwoordig meet men de hoeveelheid licht die van een ster wordt
ontvangen. De helderheid van een ster wordt dan vaak uitgedrukt in lux
(een eenheid voor verlichtingssterkte). In deze opgave is L de helderheid
in lux.
In de tabel staan voor een aantal helderheden de waarden van m en L.
tabel
m 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 L 1,0 ⋅ 10 − 6 4,0 ⋅ 10 − 7 1,6 ⋅ 10 − 7 6,3 ⋅ 10 − 8 2,5 ⋅ 10 − 8 1,0 ⋅ 10 − 8
Tussen L en m bestaat een exponentieel verband van de vorm
L = 10p+qm.
44p
Leid uit de tabelgegevens bij m = 1,0 en m = 6,0 af dat p = −5,6 en
q = −0,4.
Voor L geldt dus: L = 10−5,6−0,4m.
In het sterrenbeeld Steenbok bevindt zich een optische dubbelster: twee
sterren die met het blote oog als één object worden waargenomen. Na
meting blijkt dat voor de ene ster geldt m = 4,30 en voor de andere ster
m = 3,58. De waarde van L van de optische dubbelster is de som van de
L-waarden van de afzonderlijke sterren.
54p
Bereken de magnitude van de optische dubbelster. Rond je antwoord af
op één decimaal.
L is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand x (in meters)
van de ster tot de aarde: L = (C)/(x2), waarbij C een constante is.
Er geldt het volgende verband:
m(x) = −14,0 − 2,5logC + 5,0logx
64p
Bewijs dit.
Momenteel is de afstand x van de ster Aldebaran tot de aarde
6,3 ⋅1017 meter. Deze afstand neemt toe met 1,7 ⋅1012 meter per jaar, dus
(dx)/(dt) = 1,7 ⋅ 10^1^2 m/j. Door deze verwijdering verandert ook de helderheid van
de ster en dus ook de magnitude m.
De snelheid waarmee m verandert kan worden berekend met de afgeleide
van m als functie van de tijd t (in jaren).
Voor deze afgeleide (dm)/(dt) geldt:
(dm)/(dt) = (dm)/(dx) ⋅ (dx)/(dt)
73p
Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de
magnitude m van Aldebaran op dit moment verandert.

opgave 5Gelijke hoeken

Gegeven is cirkel c met middelpunt M. Op deze cirkel liggen de punten
A en B zo, dat door A, B en M een cirkel d met middelpunt N gaat, waarbij
N buiten c ligt.
Punt S ligt op cirkel d op de boog buiten cirkel c.
Zie figuur 1. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 1
B c S M N d A
Er geldt ASM = BSM.
84p
Bewijs dit.
De hierboven beschreven situatie geldt ook in figuur 2. Punt S is nu zo
gekozen dat lijnstuk AS door N gaat. Het snijpunt van AS en cirkel c is het
punt C. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2
B c S M N C d A
95p
Bewijs dat AMC = ASB.

opgave 6Gelijke hellingen

Voor elke a met − (1)/(2)π < a < (1)/(2)π wordt de functie fa gegeven door
fa(x) = sin x ⋅ sin(x − a) met domein [0,π].
De afgeleide functie van fa kan worden geschreven als
fa'(x) = sin(2x − a).
103p
Bewijs dit.
De functie g is gegeven door g(x) = sin x met domein [0,π].
In de figuur zijn de grafieken van g en f(1)/(6)_π getekend.
figuur
y 1 g f 1_ 6 O x
Deze twee grafieken raken elkaar in een punt met x = (2)/(3)π. In dat punt is
de helling van beide grafieken dus gelijk. Er zijn nog twee andere
waarden van x waarvoor de helling van de grafiek van f(1)/(6)_π gelijk is aan de
helling van de grafiek van g.
116p
Bewijs dat deze x-waarden (2)/(3)π van elkaar verschillen.

opgave 7Hardheid

De functie f wordt gegeven door f(x) = √(25 − x2). De grafiek van f is een
halve cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 5.
5 1 f '(x)2 25x2
125p
Bewijs dit.
In figuur 1 is de grafiek van f getekend. We bekijken het deel van de
grafiek tussen x = 5 − h en x = 5. Door dit gedeelte te wentelen om de
x-as ontstaat het bolsegment met dikte h. Zie figuur 2.
figuur 1
figuur 2
y 5 f -5 O 5-h 5 x h
figuur 2
Voor de grijs gemaakte oppervlakte A van het bolsegment, dus zonder de
oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt:
5 A 2π f (x) 1(f '(x))2 dx 5h
Met behulp van deze integraal kan exact worden berekend dat A = 10πh.
133p
Bewijs dat A = 10πh.
De formule A = 10πh voor de oppervlakte van een bolsegment bewijst zijn
nut bij de methode die de Zweed Brinell ontwikkelde voor het bepalen van
de hardheid van materialen. Bij deze methode wordt gebruik gemaakt van
een massieve bolvormige kogel die een diameter van 10 mm heeft. De
kogel wordt met kracht tegen het te testen materiaal gedrukt, waardoor er
in het materiaal een indruk in de vorm van een bolsegment ontstaat. De
oppervlakte van dat bolsegment hangt af van de hardheid van het
materiaal en de kracht waarmee wordt gedrukt.
Deze kracht mag niet zo groot zijn dat de kogel vervormt of voor meer dan
de helft in het materiaal wordt gedrukt.
In de praktijk wordt bij de hardheidsmeting volgens Brinell de
diameter d (in mm) van de cirkelvormige rand van de indruk gemeten. In
figuur 3 is een dwarsdoorsnede getekend van een kogel met diameter
10 mm die een stukje in het materiaal is gedrukt. De diepte van de indruk
is h (in mm).
figuur 3
10 h d
Met behulp van figuur 3 kan het volgende verband tussen h en d worden
gevonden:
10 100d2 h 2
145p
Bewijs de juistheid van deze formule.
De hardheid volgens Brinell wordt aangeduid als HB. Deze hardheid
wordt bepaald met de formule:
HB = 0,102 ⋅ (F)/(A)
Hierbij is F de kracht in newton (N) waarmee wordt gedrukt en A de
oppervlakte van het bolsegment dat in het materiaal is gedrukt in mm2.
Bij een hardheidsmeting wordt de kogel met een kracht van 29 400 N in
het te testen materiaal gedrukt.
155p
Bereken voor welke waarde van d de hardheid HB van het materiaal 340
is. Rond je antwoord af op één decimaal.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 8Raken aan een cirkel

Gegeven zijn twee halve lijnen k en l vanuit punt A en een cirkel met
middelpunt M die zowel k als l raakt. De raakpunten van k en l aan de
cirkel zijn respectievelijk B en C. Zie figuur 1.
Uit de congruentie van driehoek ABM en driehoek ACM volgt dat AM
bissectrice is van hoek BAC.
figuur 1
figuur 2
l C M A B k
l E D m C M A B k
In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. Lijn m is evenwijdig aan k
en raakt de cirkel in punt D. De lijnen l en m snijden elkaar in punt E.
Uit de congruentie van driehoek ECM en driehoek EDM volgt dat EM
bissectrice is van hoek CED. Figuur 2 staat ook op de uitwerkbijlage.
165p
Bewijs dat AME = 90°.
In figuur 3 zijn weer twee halve lijnen k en l vanuit punt A getekend. De
hoek tussen k en l is scherp. Tussen deze halve lijnen ligt een punt F.
Ook is de parabool getekend die brandpunt F en richtlijn k heeft. Door F
kunnen twee cirkels worden getekend die zowel k als l raken. Een van
deze cirkels is getekend. Figuur 3 staat vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 3
l F A k
174puitwerkbijlage
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het middelpunt N van de andere
cirkel. Licht je werkwijze toe.