bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 1

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Parabool en twee lijnen

De functie f wordt gegeven door f(x) = x − x2.
Het punt T((1)/(2),(1)/(4)) is de top van de grafiek van f.
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong.
De lijn m staat loodrecht op lijn l en gaat door T.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn m en de grafiek van f.
Zie de figuur.
figuur
figuur

opgave 3Goniometrische functies

De functies f en g worden voor 0 ≤ x ≤ 2π gegeven door:
f(x) = 2sin(x) − sin(2x)
g(x) = sin(2x)
De grafieken van f en g hebben vijf gemeenschappelijke punten. Drie van
deze punten liggen op de x-as. De andere twee punten zijn P en Q.
Zie figuur 1.
figuur 1
figuur 1
24p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 4pexact

Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
De grafiek van g wordt 1 omhoog geschoven. Zo ontstaat de grafiek van
de functie h. Zie figuur 2.
V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en h. In
figuur 2 is dit gebied grijs gemaakt.
figuur 2
figuur 2
De grafieken van f en h snijden elkaar in twee punten. De x-coördinaten
van deze twee punten zijn afgerond 1,33 en 2,97.
35p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 2p · Transformaties van grafieken 1pexact

Bereken de oppervlakte van V met behulp van primitiveren. Geef je
eindantwoord in één decimaal.
De functie k wordt gegeven door k(x) = (1)/(2)tan(x). Zie figuur 3, waarin de
grafieken van k en f zijn weergegeven.
figuur 3
figuur 3
De grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat (1)/(3)π.
44p

Raaklijnen aan grafieken 2p · Kettingregel 1p · Afgeleide van e-macht, logaritme en goniometrische functies 1pexact

Bewijs dat voor x = (1)/(3)π de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.

opgave 4Aardbevingen

Een aardbeving ontstaat op een plek in de aarde. Het punt recht boven
die plek, op het aardoppervlak, heet het epicentrum van die aardbeving.
We bekijken in deze opgave een model over aardbevingen, waarbij we
ervan uitgaan dat de aardbeving in het epicentrum ontstaat.
Bij een aardbeving ontstaan verschillende typen golven in de aarde:
primaire golven en secundaire golven. Primaire golven zijn sneller dan
secundaire golven. We nemen in deze opgave aan dat een primaire golf
een constante snelheid van 6 km/s heeft en een secundaire golf een
constante snelheid van 3,5 km/s.
Een seismograaf is een meetinstrument waarmee je primaire en
secundaire golven van elkaar kunt onderscheiden. Bij een bepaalde
aardbeving registreert een seismograaf in een meetstation dat de eerste
secundaire golf 17 seconden na de eerste primaire golf bij het meetstation
aankomt. Met deze gegevens kun je de afstand d (in km) van de
seismograaf tot het epicentrum van de aardbeving bepalen.
54p

Formules en vergelijkingen opstellen 2pGR mag

Bereken deze afstand d.
Om de plaats van het epicentrum te bepalen worden de meetgegevens
van verschillende meetstations gecombineerd. In een bepaald gebied
staan twee meetstations: S en T. Meetstation T ligt 192 km oostelijker en
128 km noordelijker dan meetstation S.
Uit de metingen in meetstation S volgt dat het epicentrum van de
aardbeving op een afstand van 240 km van dit meetstation S ligt.
Uit de metingen in meetstation T volgt dat het epicentrum op 80 km van
dit meetstation T ligt.
Op grond van deze gegevens zijn er twee mogelijke plaatsen van het
epicentrum aan te wijzen. Om deze plaatsen te bepalen worden de
meetstations in een assenstelsel geplaatst, waarbij meetstation S in de
oorsprong ligt. De coördinaten van meetstation T zijn dan (192, 128). Zie
de figuur.
figuur
figuur
66p

Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 1p · Stelsels van lineaire vergelijkingen 1p · Lijn en cirkel: snijpunten en raaklijnen 1p · +1exact

Bereken algebraïsch de coördinaten van de twee mogelijke plaatsen van
het epicentrum in kilometers. Geef de coördinaten in je eindantwoord als
gehele getallen.
De zwaarte van een aardbeving wordt uitgedrukt in een getal:
de magnitude. Een zware aardbeving heeft een grote magnitude, een
lichte aardbeving heeft een kleine magnitude. De United States
Geological Survey heeft voor verschillende magnitudes onderzocht hoe
vaak aardbevingen met die magnitude in een bepaald gebied
voorkwamen.
Zie de tabel.
tabel
magnitude gemiddeld aantal aardbevingen per jaar 6,0 – 6,4 210 6,5 – 6,9 56 7,0 – 7,4 15 7,5 – 7,9 3,1 8,0 – 8,4 1,1 8,5 – 8,9 0,3
De onderzoekers Gutenberg en Richter hebben een model ontwikkeld om
het aantal aardbevingen per jaar in een gebied te voorspellen. Dit model
is van de vorm:
N = 10a−bM
Hierin is M de magnitude en N het te verwachten aantal aardbevingen per
jaar met deze magnitude M of groter. De waarden a en b zijn constanten.
Uit de tabel kun je afleiden dat er gemiddeld 285,5 aardbevingen per jaar
zijn met een magnitude van 6,0 of groter. Ook kun je afleiden dat er
gemiddeld 4,5 aardbevingen per jaar zijn met een magnitude van
7,5 of groter.
Met behulp van deze twee gegevens is het mogelijk de waarden van
a en b uit te rekenen. Vervolgens kun je met dat model een voorspelling
doen van het aantal aardbevingen per jaar met een magnitude van 6,5 of
groter.
76p

Rekenen met een gegeven formule 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 1pGR mag

Onderzoek hoeveel die voorspelling afwijkt van de gegevens in de tabel.
Geef je eindantwoord als geheel getal.

opgave 6Limiet van een verhouding

De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende
bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = tt^2^2 − 2t
Gegeven is de lijn met vergelijking x = a, waarbij a > 0.
Deze lijn snijdt de x-as in punt Q en de baan van P in de punten R en S,
waarbij de y-coördinaat van S groter is dan de y-coördinaat van R.
Zie de figuur.
figuur
figuur
Als a onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding (QR)/(QS) tot een limiet.

naslagGebroken functie met een parameter

Voor p > 0 wordt de functie fp gegeven door:
f_p(x) = (x + 4p)/(x2)^3
In de figuur is de grafiek van f1 weergegeven.
figuur
figuur
De grafiek van f1 heeft een scheve asymptoot.

opgave 9Absolute natuurlijke logaritme

De functie f wordt gegeven door f(x) = ln(x).
Gegeven is verder de horizontale lijn met vergelijking y = q, met q > 0.
Deze lijn snijdt de y-as in het punt A en de grafiek van f in de
punten B en C met xB < xC. Zie de figuur.
figuur
figuur
Er is een waarde van q waarvoor de lengte van lijnstuk BC drie keer zo
groot is als de lengte van lijnstuk AB.
136p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 4p · Formules en vergelijkingen opstellen 1pexact

Bereken exact deze waarde van q.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.