bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2021, tijdvak 3

naslagFormules

Goniometrie
sin(t + u) = sin(t)cos(u) + cos(t)sin(u)
sin(t − u) = sin(t)cos(u) − cos(t)sin(u)
cos(t + u) = cos(t)cos(u) − sin(t)sin(u)
cos(t − u) = cos(t)cos(u) + sin(t)sin(u)
sin(2t) = 2sin(t)cos(t)
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t) = 2cos2(t) − 1 = 1 − 2sin2(t)

opgave 2Onbekende zijde

Gegeven is driehoek ABC met AB = 4 en BC = 12.
Punt M is het midden van lijnstuk BC. Verder geldt: AM = 5.
14p

Sinusregel en cosinusregel 4pexact

Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één
decimaal.

opgave 3Spookje

Op het domein − (1)/(2)π,1(1)/(2)π worden de functies f en g gegeven door:
f(x) = sin(x)cos(2x)
g(x) = 2 + sin(x)
Er geldt: f'(x) = 6cos3(x) − 5cos(x).
26p

Goniometrische formules en herleidingen 3p · Kettingregel 1p · Product- en quotiëntregel 1pexact

Bewijs dat inderdaad geldt: f'(x) = 6cos3(x) − 5cos(x).
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven. De verticale lijn
met vergelijking x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek
van g in het punt B. We bekijken de raaklijn aan de grafiek van f in A en
de raaklijn aan de grafiek van g in B.
figuur
figuur
In de figuur is een waarde van p gekozen waarvoor de twee raaklijnen
elkaar loodrecht snijden. Er zijn meerdere waarden van p waarvoor dit het
geval is.
36p

Goniometrische vergelijkingen exact oplossen 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact het aantal waarden van p waarvoor de twee raaklijnen
elkaar loodrecht snijden.
Het functievoorschrift van f kan worden herleid tot:
f(x) = (1)/(2)(sin(3x) − sin(x))
Dit kan bijvoorbeeld worden bewezen door de vorm sin(t + u) − sin(t − u)
voor een geschikte keuze van t en u te herleiden.
43p

Goniometrische formules en herleidingen 3pexact

Bewijs dat (1)/(2)(sin(3x) − sin(x)) = sin(x)cos(2x).
De grafieken van f en g hebben twee gemeenschappelijke punten, namelijk
(− (1)/(2)π,1) en (1(1)/(2)π,1).
V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g.
54p

Bepaalde integralen en oppervlakte 2p · Primitiveren 2pexact

Bereken exact de oppervlakte van V.

opgave 4Hoogwater

De hoeveelheid water die door een rivier wordt afgevoerd, varieert van
moment tot moment. De hoeveelheid water die de rivier maximaal kan
afvoeren, noemen we de capaciteit van de rivier. Als de capaciteit te laag
is, kan de rivier overstromen. Om te kunnen inschatten hoe vaak een
overstroming plaatsvindt, gebruiken we het volgende model:
C = a − b ⋅ ln ln (T)/(T − 1) met T > 1 (formule 1)
Hierin is C de capaciteit in m3/s en T de zogeheten herhalingstijd.
De herhalingstijd is de periode in jaren waarin de waarde van C
gemiddeld één keer wordt overschreden. Als bijvoorbeeld T = 40, dan zal
de rivier gemiddeld één keer in de 40 jaar overstromen.
De waarden van a en b worden berekend met behulp van gegevens uit
het verleden. Er geldt altijd: a > 0 en b > 0.
Voor de Rijn geldt: a = 5734 en b = 1648. De capaciteit is 12 000 m3/s.
65p

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen exact oplossen 3p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken algebraïsch de herhalingstijd in jaren. Geef je eindantwoord als
geheel getal.
Uit formule 1 is af te leiden dat voor de afgeleide van C geldt:
(dC)/(dT) = (b)/(T ⋅ (T − 1) ⋅ ln(T))T − 1 met T > 1 (formule 2)
75p

Kettingregel 3p · Product- en quotiëntregel 1p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dit.
Voor elke rivier geldt natuurlijk: hoe groter de herhalingstijd, des te groter
is de capaciteit. De grafiek van C zou dus voor elke waarde van a en b
(met a > 0 en b > 0) stijgend moeten zijn.
85p

Stijgen, dalen en veranderingsgedrag 3p · Ongelijkheden oplossen 1p · Eigenschappen van functies en grafieken 1pexact

Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend
is voor elke waarde van a en b (met a > 0 en b > 0).
Voor de Maas geldt:
− Bij een capaciteit van 1700 m3/s is de herhalingstijd gelijk aan 4 jaar.
− Bij een capaciteit van 2100 m3/s is de herhalingstijd gelijk aan 10 jaar.
Voor toekomstig beleid wil het ministerie van Infrastructuur en Waterstaat
voor de Maas weten welke capaciteit hoort bij een herhalingstijd van
100 jaar.
94p

Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p · Formules en vergelijkingen opstellen 1p · Rekenen met een gegeven formule 1pGR mag

Bereken deze waarde van C in m3/s met behulp van formule 1. Geef je
eindantwoord als geheel getal.

opgave 5Twee halve cirkels

Gegeven zijn de twee halve cirkels c1 en c2.
Voor c1 geldt: x2 + y2 + 12x = −32, het middelpunt is M1 en y ≥ 0.
Voor c2 geldt: het middelpunt is M2(5,0), de straal is 5 en y ≥ 0.
Op de positieve y-as ligt een punt P. Zie de figuur.
figuur
figuur
P wordt zo op de y-as gekozen dat de afstand van P tot c1 twee keer zo
groot is als de afstand van P tot c2.
107p

Afstanden met coördinaten 3p · Cirkels: vergelijking, middelpunt en straal 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2pGR mag

Bereken de y-coördinaat van P voor deze situatie. Geef je eindantwoord
in twee decimalen.

opgave 6Twee bewegende punten

Voor t ≥ 0 beweegt het punt P_1 volgens de bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = t4^2t + 2t
Tegelijkertijd beweegt het punt P_2 volgens de bewegingsvergelijkingen:
xy((tt)) = = 42tt^2
In figuur 1 zijn beide banen getekend met daarop de punten P_1 en P_2 op
een tijdstip t.
figuur 1
figuur 1
115p

Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 2p · De afgeleide bepalen (machts-, som- en verschilregel) 1p · Parametervoorstellingen en bewegingen 1p · +1exact

Voor de snelheid v van P geldt: v (t) 4 t2 1. 2 2 2 Er is één tijdstip t waarop de punten P en P gelijke snelheid hebben. 1 2 5p 11 Bereken exact dit tijdstip.
In figuur 2 zijn nogmaals beide banen getekend.
Op twee tijdstippen, namelijk t = 0 en t = 2, vallen P_1 en P_2 samen. Op
alle andere tijdstippen kun je de lijn l door P_1 en P_2 tekenen. In figuur 2 is
dit voor twee tijdstippen gedaan.
figuur 2
figuur 2
De richtingscoëfficiënt van l is gelijk aan −2 voor elke waarde van t (met
t ≠ 0 en t ≠ 2).
123p

Formules herleiden en omwerken 2p · Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 1pexact

Bewijs dit.
Voor elke waarde van t (met t ≠ 0 en t ≠ 2) is P_3 het snijpunt van l met de
x-as. Zie figuur 2, waarin P_3 is aangegeven voor twee verschillende
tijdstippen.
134p

Lijnen: vergelijking, snijpunt en loodlijn 3p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1pexact

Bereken exact op welk tijdstip de x-coördinaat van P_3 gelijk is aan 3.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 7Een derdegraadsfunctie

De functie f wordt gegeven door f(x) = x3 + 6x2 + 12x + 9.
Deze functie heeft een inverse functie finv. Er geldt: f^i^n^v(x) = − 2 + √(x − 1)^3.
143p

Inverse functies 2p · Formules herleiden en omwerken 1pexact

Bewijs dat inderdaad geldt: f^i^n^v(x) = − 2 + √(x − 1)^3.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en
de y-as.
Zie de figuur. Deze figuur is niet op schaal.
figuur
figuur
Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een
omwentelingslichaam.
153p

Inhoud van omwentelingslichamen 3pGR mag

Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord in
één decimaal.
Op de grafiek van f ligt een punt P waarin de raaklijn aan de grafiek van f
horizontaal is.
Op de grafiek van finv ligt een punt Q waarin de raaklijn aan de grafiek
van finv verticaal is.
De lijn door P en Q snijdt de y-as in punt S.