opgave 1Windenergie
In een krant stond eind 2013 bij een artikel over de toekomst van
windenergie de onderstaande figuur. In de figuur wordt de kostprijs voor
het produceren van windenergie vergeleken met de kosten voor het
produceren van energie in een traditionele kolencentrale (de marktprijs).
figuur
De grafieken zijn gebaseerd op een model van de werkelijkheid. Met
behulp van dit model is het mogelijk om op ieder willekeurig tijdstip de
kostprijs van energie uit te rekenen.
De formule voor de marktprijs km luidt:
km = 0,28 ⋅ t + 4,3
De formule voor de kostprijs van windenergie kl van windmolens op land
luidt:
kl = −0,31⋅ t + 10,0
Voor beide formules geldt: k is de prijs in cent per kWh (kilowattuur) en t
is de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2009.
We nemen in deze opgave aan dat de prijzen zich ook na 2020 volgens
deze lineaire verbanden blijven ontwikkelen.
Door de duurdere windmolens op zee is de kostprijs van windenergie van
die windmolens op dit moment nog steeds hoger dan die van windmolens
op land. Maar door de voortdurende innovaties gaat dat veranderen.
24pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Vergelijkingen en snijpunten met de GR oplossen 2p
Bereken in welk jaar de marktprijs tweemaal zo hoog zal zijn als de
kostprijs van windenergie van windmolens op land.
In de provincie Flevoland staan veel windmolens en er zijn daar veel
huishoudens die voorzien worden van windenergie van windmolens op
land. Er wordt in deze provincie daarom vaak gebruikgemaakt van de
gemiddelde prijs van windenergie en 'traditionele' energie, dus het
gemiddelde van kl en km. Voor deze gemiddelde prijs kg kan een formule
worden opgesteld van de vorm kg = at + b.
33pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Formules herleiden en omwerken 1p
Bereken de waarden van a en b in twee decimalen nauwkeurig.
In 2013 werd door alle windmolens op zee in totaal gemiddeld
228 000 kWh per uur opgewekt. De windmolens zijn per dag maar
gemiddeld 5 uur in bedrijf.
Neem aan dat een huishouden in Nederland jaarlijks ongeveer 3500 kWh
verbruikt.
43pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel huishoudens in Nederland er geheel 2013 van energie
konden worden voorzien met energie van windmolens op zee. Rond je
antwoord af op honderdtallen.
In 2013 was de totale productie van energie door alle windmolens (op
land en op zee) in Nederland gelijk aan 5,95 miljard kWh. Hiermee kon in
5% van de landelijke energiebehoefte worden voorzien. Er werd toen
voorspeld dat tien jaar later windmolens, met een totale energieproductie
van 23 miljard kWh, in 15% van de landelijke energiebehoefte zouden
voorzien.
54pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken met hoeveel procent de totale landelijke energiebehoefte volgens
deze voorspelling tussen 2013 en 2023 zou toenemen. Rond je antwoord
af op gehele procenten.
opgave 3Vermenigvuldigen op de handen
In Rusland en Polen gebruikten boeren vroeger soms hun handen om
twee getallen tussen 5 en 10 met elkaar te vermenigvuldigen.
De methode werkt als volgt:
Je wilt bijvoorbeeld 8 maal 9 uitrekenen.
− Steek aan beide handen vijf vingers
op;
− 8 − 5 = 3, buig aan de ene hand
drie vingers om: zie de figuur;
− 9 − 5 = 4, buig aan de andere hand
vier vingers om;
− tel de omgebogen vingers op en
vermenigvuldig het antwoord met 10, dus (3 + 4) ⋅10 = 70;
− vermenigvuldig de opgestoken vingers, 2 op de ene hand en 1 op de
andere hand, met elkaar: 2 ⋅1 = 2;
− tel nu de antwoorden van de vorige twee stappen bij elkaar op:
70 + 2 = 72.
Bij deze methode hoef je alleen maar de tafels van vermenigvuldiging van
de getallen van 1 tot en met 5 en van 10 uit het hoofd te kennen.
93pRekenen met een gegeven formule 3p
Ga na of deze methode ook het goede antwoord oplevert bij de
vermenigvuldiging 5 maal 5.
De methode is geldig voor alle gehele getallen tussen 5 en 10. Om dit aan
te tonen noemen we de getallen die we met elkaar willen
vermenigvuldigen x en y. Het aantal omgebogen vingers op de linkerhand
is nu x − 5. In het voorbeeld van de figuur: 8 − 5 = 3. Omdat het aantal
omgebogen en opgestoken vingers op één hand samen 5 is, is het aantal
opgestoken vingers op de linkerhand in het voorbeeld
5 − (8 − 5) = 5 − 3 = 2.
opgave 43p 10 Leg, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, uit waarom als er x − 5
vingers aan de linkerhand omgebogen zijn het aantal opgestoken vingers
op deze hand gelijk is aan 10 − x.
Op dezelfde manier is het aantal opgestoken vingers op de rechterhand
gelijk aan 10 − y.
Uit deze methode van vermenigvuldigen op de handen volgt dat een
uitkomst op de volgende manier berekend kan worden:
omgebogen vingers × 10 + opgestoken vingers ene hand × opgestoken
vingers andere hand
Oftewel: (x − 5 + y − 5) ⋅10 + (10 − x)(10 − y).
opgave 5Grauwe ganzen
Grauwe ganzen eten gras en kunnen daardoor schade aan weilanden
veroorzaken. Om die reden wordt er veel onderzoek gedaan naar de
toename van het aantal grauwe ganzen in Nederland en de
mogelijkheden om die toename te beperken.
figuur
In de figuur, die ook op de uitwerkbijlage staat, is het aantal broedparen
van de grauwe gans in Nederland weergegeven voor de jaren 1971 tot en
met 1998. Je ziet dat het aantal broedparen snel gegroeid is in deze
periode. De verticale as in de figuur heeft een logaritmische
schaalverdeling. Het derde punt van de grafiek, horend bij het jaar 1973,
ligt tussen 10 en 100.
123pTabellen en grafieken lezen en gebruiken 3p
Bereken met behulp van de figuur het aantal broedparen in 1973.
Voor de periode 1983-1998 kan de grafiek benaderd worden met een
rechte lijn. Omdat de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft,
betekent dit dat het aantal broedparen in die periode in werkelijkheid bij
benadering exponentieel groeide. Het aantal broedparen van de grauwe
gans nam toe van 220 broedparen in 1983 tot 5000 in 1998. Na 1998 nam
het aantal verder toe: in 2012 waren er 83 000 broedparen. We vragen
ons af of de exponentiële groei in de periode 1983-1998 zich na 1998 op
dezelfde wijze voortgezet heeft.
134pExponentiële functies en groei 4p
Onderzoek of het aantal van 83 000 in 2012 past bij een gelijkblijvende
exponentiële groei.
In het vervolg van de opgave gaat het niet meer over alleen de
broedparen van de grauwe gans, maar over alle grauwe ganzen.
Onderzoekers hebben een aantal jaren geleden een model gemaakt om
de kosten van de schade te berekenen die door grauwe ganzen wordt
veroorzaakt. Ze zijn hierbij uitgegaan van het aantal van 190 000 grauwe
ganzen in de zomer van 2009: de zomerganzen.
In de winter zijn er in Nederland twee soorten grauwe ganzen. Van de
zomerganzen blijft 85% ook in de winter erna. Daar komen de grauwe
ganzen bij die alleen in de winter in Nederland verblijven: de
winterganzen.
Het aantal zomerganzen groeit volgens dit model met 19% per jaar en het
aantal winterganzen met 4% per jaar. In de winter van 2009/2010 waren
er 301 800 winterganzen.
De totale schade in de winter van 2009/2010 bedroeg € 2 690 000. We
nemen aan dat de schade in een winter recht evenredig is met het totale
aantal grauwe ganzen in die winter.
145pProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Exponentiële functies en groei 2p · Evenredigheden en machtsverbanden 1p
Bereken het totale schadebedrag in de winter van 2017/2018 volgens dit
model. Rond je antwoord af op duizenden euro's.
In verband met de hoge kosten van de schade werden met ingang van het
jaar 2013 maatregelen getroffen om het aantal grauwe ganzen te
beperken, vooral de zomerganzen. Door deze maatregelen nam ná 2013
het aantal zomerganzen met 14% per jaar af. Het streven was om het
aantal zomerganzen terug te brengen tot 100 000.
opgave 6Het Cyrillische alfabet
Het Cyrillische alfabet is het alfabet van diverse Oost-Europese landen.
Het wordt onder andere gebruikt in Servië, Bulgarije en Rusland.
Hoewel er officieel maar één Cyrillisch alfabet is, hebben deze drie landen
elk hun eigen variant. Er geldt:
− In deze drie landen samen worden 39 verschillende letters gebruikt.
− Van deze 39 letters komen er 24 voor in alle drie de landen.
− Er zijn 3 letters die alleen in Rusland voorkomen.
− Het Bulgaarse alfabet heeft 30 letters.
− Alle letters in het Bulgaarse alfabet komen ook voor in het Russische
alfabet.
− Het Servische alfabet heeft 6 unieke letters, die dus niet in het
Russische of Bulgaarse alfabet voorkomen.
164pLogisch redeneren 4p
Onderzoek hoeveel letters het Servische alfabet heeft.
Net als ons eigen alfabet (het Latijnse alfabet) is ook het Russische
alfabet afgeleid van het Griekse alfabet. Het is dan ook niet verwonderlijk
dat er veel letters zijn die in meerdere alfabetten voorkomen. In
onderstaande figuur zijn alle letters uit het Latijnse, Griekse en Russische
alfabet weergegeven in een Venn-diagram.
figuur
Met behulp van logische symbolen kunnen we beschrijven in welke
alfabetten de letters voorkomen. We gebruiken daarvoor de volgende
afkortingen:
− G: de letter komt voor in het Griekse alfabet.
− R: de letter komt voor in het Russische alfabet.
− L: de letter komt voor in het Latijnse alfabet.
− A: de letter komt voor in alle drie de alfabetten.
De letter
Π behoort tot de letters waarvoor geldt:
Voor een aantal letters geldt:
172pLogisch redeneren 2p
Geef aan voor welke letters dit geldt. Licht je antwoord toe.
Iemand schrijft de volgende bewering op:
183pLogisch redeneren 3p
Vertaal deze logische symbolen naar een Nederlandse zin en onderzoek
of de bewering waar is.
opgave 83p 20 Laat zien hoe de formule un = 20 − 1,78 n afgeleid kan worden uit de
gegevens.
De twee methoden zullen in het algemeen verschillende lengtes geven
voor de ribben van de achtvlakken uit de serie.
214pRijen en recursie 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p
Onderzoek bij welk achtvlak uit de serie dit verschil maximaal is en geef
ook aan hoe groot dat verschil is. Rond je antwoord af op gehele
millimeters.
In de figuur op de vorige bladzijde zie je de hoogte van een achtvlak
aangegeven. Deze hoogte is (bij benadering) gelijk aan 1,4142 maal de
ribbe. Dit gegeven kun je gebruiken bij de volgende vraag.
Op de foto zie je de voet van het kunstwerk, met een
224puitwerkbijlagePerspectief en aanzichten 4p
ribbe van 20 cm. In de figuur op de uitwerkbijlage is
een begin gemaakt van een aanzicht van de voet van
het kunstwerk op schaal 1:4. Als kijkrichting is de
richting van de pijl op de foto genomen.
Maak het aanzicht op de uitwerkbijlage af. Licht je
werkwijze toe.
