opgave 1Wasdrogers
Een wasdroger droogt wasgoed door middel van warme lucht. De meeste
wasdrogers gebruiken elektriciteit als energiebron. Voor elektrische
apparaten zijn zogenoemde energielabels ingevoerd: deze geven aan hoe
zuinig een apparaat is met energie. De energielabels hebben de letters A
tot en met G: A betekent zeer zuinig, G zeer onzuinig.
Op de website van een milieuorganisatie worden verschillende
wasdrogers met elkaar vergeleken. In tabel 1 staan gegevens van drie
wasdrogers: een energiezuinige wasdroger met een A-label en twee veel
verkochte “gewone” wasdrogers met een C-label. De jaarkosten van een
wasdroger zijn de kosten voor het energieverbruik plus de afschrijving. De
afschrijving is de waardevermindering van de wasdroger. Bij de
berekening van de jaarkosten is men in tabel 1 uitgegaan van de
volgende veronderstellingen:
− Een kilowattuur (kWh) elektriciteit kost € 0,22.
− Per jaar wordt elke wasdroger voor 210 droogbeurten gebruikt.
− Alle wasdrogers hebben een levensduur van 10 jaar.
− De afschrijving is elk jaar
van de aanschafprijs.
tabel 1
Wasdroger 1 (met het A-label) is duurder in aanschaf, maar zuiniger in
energieverbruik en gerekend over de hele periode van 10 jaar voordeliger.
Dit is te zien aan de jaarkosten, die voor deze wasdroger lager zijn.
In tabel 1 zijn de jaarkosten voor wasdroger 3 niet ingevuld.
13pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken deze jaarkosten.
In tabel 1 is gerekend met 210 droogbeurten per jaar. Om de jaarkosten
te berekenen voor een willekeurig aantal droogbeurten per jaar, kan men
voor de eerste wasdroger de volgende formule opstellen:
K = 96 + 0,374d
Hierin is K de jaarkosten en d het aantal droogbeurten per jaar.
Bij deze formule is men weer uitgegaan van een elektriciteitsprijs van €
0,22 per kilowattuur en een levensduur van de wasdroger van 10 jaar. Bij
deze formule gaat men dus uit van een jaarlijkse afschrijving van
van
de aanschafprijs.
We gaan nu uit van een levensduur van 12 jaar, een jaarlijkse afschrijving
van
van de aanschafprijs en een elektriciteitsprijs van € 0,26 per
kilowattuur. Hierdoor verandert de formule voor K.
23pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Geef de nieuwe formule voor K in deze situatie. Licht je antwoord toe.
Op de lange duur is een energiezuinige wasdroger voordeliger, maar de
aanschafprijs is hoger. In dit verband wordt het begrip “terugverdientijd”
gebruikt. Hiervoor vergelijkt men een energiezuinige wasdroger met een
“gewone” wasdroger: een bepaald type veel verkochte wasdroger met
C-label. De terugverdientijd is de periode die het duurt voordat de hogere
aanschafprijs van deze energiezuinige wasdroger ten opzichte van de
“gewone” wasdroger is terugverdiend via besparing op de energiekosten.
In tabel 2 wordt een bepaalde wasdroger met een A-label vergeleken met
een “gewone” wasdroger met C-label.
tabel 2
De terugverdientijd van de energiezuinige wasdroger is in deze situatie
bijna 8 jaar.
34pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Toon dit aan.
De meeste mensen vinden een terugverdientijd van 8 jaar te lang en
zullen daarom deze energiezuinige wasdroger niet kopen. Een
terugverdientijd van 4 jaar wordt wel acceptabel gevonden.
Een terugverdientijd van 4 jaar kan bereikt worden als de aanschafprijs
van de energiezuinige wasdroger in tabel 2 niet € 950 zou zijn, maar
lager.
opgave 2Asperges
Vooral in Zuid-Nederland worden asperges als
groente geteeld. Uit aspergezaad groeien
aspergeplanten en als deze voldoende gegroeid
zijn, worden de asperges geoogst.
De prijs van het zaad is € 4500 per kg. Per hectare
groeien ongeveer 20 000 aspergeplanten. Hiervoor
is ongeveer 750 gram zaad nodig. Een
aspergeplant levert in een oogstseizoen gemiddeld
twintig asperges. In één kilo gaan gemiddeld tien asperges.
De gemiddelde opbrengst van één kilo asperges is € 4.
54pProcenten, verhoudingen en eenheden 4p
Bereken het verschil van de gemiddelde opbrengst per hectare en de
kosten voor het benodigde zaad.
De geoogste asperges worden op basis van kleur en dwarsdoorsnede
gesorteerd. In deze opgave bekijken we witte asperges met een
dwarsdoorsnede van 10 tot 38 mm. Een aspergeteler heeft in een week in
mei 20 000 asperges geoogst en daarna gesorteerd. In tabel 1 staan de
aantallen per klasse weergegeven.
tabel 1
65puitwerkbijlageProcenten, verhoudingen en eenheden 2p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Kansen en kansverdelingen 1p
Zet de gegevens uit tabel 1 uit op het normaal waarschijnlijkheidspapier
op de uitwerkbijlage en toon daarmee aan dat de dwarsdoorsneden van
de geoogste asperges van deze aspergeteler bij benadering normaal
verdeeld zijn.
We nemen vanaf nu aan dat we de dwarsdoorsneden van asperges
mogen benaderen met de normale verdeling met µ = 20,1 mm en
σ = 5,6 mm. Zoals in tabel 1 te zien is, verdelen we de asperges in vijf
klassen.
We kunnen nu het percentage asperges in klasse AA1 berekenen met
behulp van de normale benadering, maar ook met behulp van de
gegevens uit tabel 1.
74pKansen en kansverdelingen 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken deze beide percentages. Rond je antwoord af op hele
percentages.
Op een ochtend oogst een andere aspergeteler 200 asperges. Neem weer
aan dat de dwarsdoorsneden van asperges benaderd mogen worden met
de normale verdeling met µ = 20,1 mm en σ = 5,6 mm.
85pKansen en kansverdelingen 5p
Bereken hoe groot de kans is dat er van de 200 geoogste asperges
minstens 50 in klasse A1 zitten.
opgave 3Topinkomens
Op 17 mei 2008 stond in de Volkskrant een artikel waarin gesteld werd
dat de salariskloof tussen topbestuurders en gewone werknemers in
Nederland steeds groter wordt. Bij het artikel was een figuur afgedrukt
waarin het gemiddelde van de 100 topinkomens en het modale inkomen in
de periode 1983-2007 te zien waren. Zie figuur 1. Alle bedragen in deze
figuur zijn jaarinkomens in euro’s.
figuur 1
De Volkskrant stelt dat in de periode 1983-2007 de inkomens van
topbestuurders elk jaar met gemiddeld 7,2% zijn gestegen. In figuur 1
staan geen gegevens over topinkomens in 1983 en 1984 omdat die toen
nog niet openbaar waren.
In 1985 was het gemiddelde van de 100 topinkomens € 295 000.
Uitgaande van het bedrag voor 1985 levert een gemiddelde groei van
7,2% per jaar inderdaad ongeveer het gemiddelde jaarsalaris van de 100
topinkomens op zoals dit in figuur 1 bij 2007 af te lezen is.
94pExponentiële functies en groei 3p · Tabellen en grafieken lezen en gebruiken 1p
Bereken dit gemiddelde jaarsalaris en vergelijk je antwoord met het
gemiddelde jaarsalaris dat in figuur 1 af te lezen is.
figuur 2
modaal 35 000
jaarinkomen 30 000
(in euro s) 25 000
20/15 000/000 0 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 2 0 2 0 2 0 2 0
8 3 8 5 8 7 8 9 9 1 9 3 9 5 9 7 9 9 0 1 0 3 0 5 0 7
De kleine staafjes van het modale jaarinkomen uit figuur 1 zijn in figuur 2
nogmaals weergegeven. Het modale jaarinkomen is een maat voor het
salaris van de “gewone werknemer”: veel mensen verdienen een salaris
dat rond dit bedrag ligt. In 1983 verdiende een topbestuurder uit de top-
100 gemiddeld 16 keer zoveel als het modale inkomen en in 2007
gemiddeld 44 keer zoveel.
104pExponentiële functies en groei 4p
Toon aan dat het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens in 2007
ongeveer 5 keer zo hoog was als in 1983.
Ook binnen de 100 topinkomens zijn nog grote verschillen. In 2004 was
het gemiddelde jaarsalaris van de 100 topinkomens € 910 000. Het
gemiddelde jaarsalaris van de 25 hoogste inkomens uit deze groep was
€ 1 720 000.
114pFormules en vergelijkingen opstellen 2p · Lineaire en kwadratische vergelijkingen exact oplossen 1p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Onderzoek of de 25 topbestuurders met de hoogste inkomens gemiddeld
meer dan drie keer zoveel verdienen als het gemiddelde van de rest van
de bestuurders uit deze top-100.
Op de website van de Volkskrant kan iemand laten berekenen hoeveel hij
zou verdienen als zijn salaris de afgelopen 25 jaar evenveel gestegen
was als dat van topbestuurders. Op de website staat de onderstaande
tekst:
tekst 1
Hoe hoog zou jouw topsalaris moeten zijn? Kruip in de huid van een topbestuurder en doe net alsof je salaris in de afgelopen 25 jaar even hard opliep als het inkomen van de hoogste baas. Vul je huidige salaris in en zie wat je eigenlijk had moeten verdienen. Voor het gemak is ervan uitgegaan dat je er de afgelopen 25 jaar net als Jan Modaal maar 2,3 procent per jaar aan salarisverhoging bij hebt gekregen, terwijl Jan Top er jaarlijks 7 procent op vooruitging.
Iemand vult voor zijn huidige salaris € 2000 in.
opgave 4Zuivere dobbelsteen?
Op de foto zie je twee ronde dobbelstenen.
Op deze dobbelstenen staan aantallen ogen van
1 tot en met 6, net als op gewone dobbelstenen.
Een ronde dobbelsteen is hol met binnenin een
stalen kogeltje. Bij elk getal zit in de holle
binnenkant een soort kuiltje waar het kogeltje in
past. Aan het einde van een worp komt het
kogeltje in zo’n kuiltje terecht. Hierdoor blijft de
dobbelsteen liggen, bijvoorbeeld met de vier
onder en de drie boven: er is dan drie gegooid.
Iemand vraagt zich af of een ronde dobbelstenen wel zuiver is, dat wil
zeggen of voor elk aantal ogen de kans om dat aantal te gooien precies
gelijk is aan
. Om dit te onderzoeken gooit hij 200 keer met een ronde
dobbelsteen. De resultaten staan in tabel 1.
tabel 1
Er is slechts 25 keer drie gegooid. Dit is minder dan het aantal keren drie
dat verwacht mag worden als de kans op drie precies
is.
133pProcenten, verhoudingen en eenheden 3p
Bereken hoeveel procent minder dit is.
Er is 25 keer drie gegooid. Als we aannemen dat de ronde dobbelsteen
zuiver is, dus dat de kans op drie precies
is, kunnen we berekenen hoe
uitzonderlijk dit resultaat is.
143pKansen en kansverdelingen 3p
Bereken de kans om bij 200 worpen met een zuivere dobbelsteen 25 of
minder keer drie te gooien.
Om te onderzoeken of een dobbelsteen zuiver is of niet, is het beter om
meer dan 200 keer te gooien. Dit wordt geïllustreerd door figuur 1. In
figuur 1 is het resultaat te zien van een aantal simulaties van het gooien
met een zuivere dobbelsteen. Er werd hierbij alleen gekeken naar het
aantal drieën.
figuur 1
Elk cirkeltje stelt het resultaat van een simulatie voor. Langs de
horizontale as is het aantal worpen bij een simulatie uitgezet op een
logaritmische schaalverdeling. Langs de verticale as staat de relatieve
frequentie van het aantal drieën dat hierbij gegooid is. In figuur 1 is
bijvoorbeeld te zien dat bij de simulatie van 10 worpen de relatieve
frequentie 0,1 is: er is precies één keer een drie gegooid.
Figuur 1 staat ook op de uitwerkbijlage. Bij een simulatie van 60 worpen is
4 keer een drie gegooid.
153puitwerkbijlageTabellen en grafieken lezen en gebruiken 2p · Procenten, verhoudingen en eenheden 1p
Teken het punt dat bij deze simulatie hoort in de figuur op de
uitwerkbijlage.
Licht je werkwijze toe.
In figuur 1 is de verwachte relatieve frequentie aangegeven met een
horizontale lijn op een hoogte van ongeveer 0,167. Dit komt overeen met
kans
. Het punt dat hoort bij de simulatie van 200 worpen ligt dichter bij
deze horizontale lijn dan het punt dat hoort bij de simulatie van 30
worpen. Bij de simulatie van 200 worpen is het verschil tussen de
verwachte en de werkelijke relatieve frequentie dus kleiner.
We kunnen ook kijken naar de verschillen bij het aantal geworpen drieën.
Uit figuur 1 volgt dat er bij een simulatie van 30 worpen 3 keer een drie
gegooid is. Het verschil met het verwachte aantal geworpen drieën is 2.
Rik beweert dat het verschil tussen het werkelijke en het verwachte aantal
geworpen drieën bij de simulatie van 200 worpen kleiner dan 2 is.
opgave 5Diskos van Phaistos
In 1908 werd bij opgravingen op het Griekse eiland Kreta een bijzondere
ontdekking gedaan. De Italiaanse archeoloog Luigi Pernier groef uit een
paleis in de stad Phaistos een schijf van aardewerk op, aan weerszijden
bedrukt met mysterieuze tekens. Deze schijf, de zogenaamde ‘Diskos van
Phaistos’, is omgeven met raadsels. Waar komt hij vandaan, hoe oud is
hij en wat betekenen de mysterieuze tekens die erop staan?
foto
Hierboven zie je een foto van de Diskos. Op deze foto is de diameter van
de Diskos (zie de zwarte pijl) ongeveer 5,5 cm. In werkelijkheid is de
diameter ongeveer 2,9 keer zo groot.
We nemen aan dat de Diskos cirkelvormig is. Voor de oppervlakte van de
Diskos geldt dan de volgende formule:
oppervlakte ≈ 0,785 ⋅ d2
Hierin is d de diameter. De werkelijke oppervlakte van de Diskos is meer
dan acht keer zo groot als de oppervlakte van de schijf op de foto.
173pOppervlakte, inhoud en schaal 2p · Rekenen met een gegeven formule 1p
Laat dit zien met behulp van een berekening.
In de wiskunde wordt voor de oppervlakte van een cirkel meestal niet de
formule oppervlakte ≈ 0,785 ⋅ d2 gebruikt, maar de formule oppervlakte = π ⋅ r2.
Hierbij is r de straal van de cirkel.
De formule oppervlakte = π ⋅ r2 kun je herleiden tot oppervlakte ≈ 0,785 ⋅ d2
door gebruik te maken van het volgende:
− De straal van een cirkel is de helft van de diameter.
183pFormules herleiden en omwerken 3p
Laat zien hoe je de formule oppervlakte = π ⋅ r2 kunt herleiden tot de formule
oppervlakte ≈ 0,785 ⋅ d2.
Datering
Regelmatig hebben critici zich afgevraagd of de Diskos wel echt is. Met
name aan de leeftijd wordt getwijfeld. Een bekende methode om de
ouderdom van voorwerpen van aardewerk te bepalen is
thermoluminescentie (TL). Bij TL moeten (liefst op een onzichtbare
plaats) een aantal kleine cilindertjes uit het aardewerk geboord worden.
Dit uitgeboorde materiaal wordt langzaam verhit tot 500 graden Celcius.
Hierbij zendt het materiaal een lichtsignaaltje uit dat gemeten wordt: het
TL-signaal. Hoe ouder het aardewerk, hoe sterker het TL-signaal.
Er geldt de volgende formule voor de ouderdom in jaren:
ouderdom = c ⋅ TL
Hierbij is TL het gemeten TL-signaal en c een getal dat onder andere
afhangt van de plaats waar het aardewerk is gevonden.
Stel dat voor de Diskos TL = 2660 gemeten wordt. Voor een potscherf, die
in hetzelfde paleis als de Diskos is gevonden, is gemeten TL = 1580. Voor
deze potscherf geldt dezelfde waarde van c in de formule als voor de
Diskos. Op grond van andere informatie weet men dat deze potscherf
ongeveer 2200 jaar oud is.
194pEvenredigheden en machtsverbanden 4p
Bereken met behulp van bovenstaande gegevens hoe oud de Diskos dan
is.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
Betekenis
Volgens de archeoloog Peter Aleff vormen de tekens op de Diskos een
bordspel. Volgens hem speelde men er een spel mee door pionnen in een
vaste richting over de schijf te laten lopen. Het aantal tekens dat je verder
mocht, werd bepaald door het gooien met een gewone, zeszijdige
dobbelsteen. Gooide je 1, dan mocht je één teken verder, gooide je 2 dan
twee tekens enzovoort.
De tekens op de Diskos zijn verdeeld in vakken. Deze vakken vormen een
spiraal die van buiten naar binnen gaat. In vak 1 staan vijf tekens, in vak 2
drie tekens, in vak 3 drie. Zie figuur 1.
In figuur 1 zie je het eerste gedeelte van de baan aan één kant van de
Diskos. Het spel wordt gespeeld van rechts naar links. Het is bij dit spel
niet mogelijk dat je terug wordt gezet.
figuur 1
We spelen een spel op de Diskos volgens de regels die Peter Aleff
beschrijft. Er staat een pion op het eerste teken en er wordt met de
dobbelsteen ‘drie’ gegooid. De pion komt dus op het teken ‘lopend
mannetje’ in vak 1 terecht.
