bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2003, tijdvak 1 (wiskunde B1,2)

opgave 1Periodiek

{ u 0 = a Gegeven is de rij: 1 + u u = n − 1 n 1 − u n − 1 In de volgende twee vragen kiezen we de startwaarde a = 2. In figuur 1 staat de webgrafiek van de rij bij deze startwaarde. figuur 1
→ Bereken u 1 , u 2 , u 3 en u 4 .
→ Bereken u 999999 . Licht je antwoord toe. We kunnen ook andere startwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heeft de rij maar twee termen: u 0 en u 1 ; dan is de term u 2 namelijk niet gedefinieerd. Behalve a = 0 zijn er nog twee startwaarden waarbij één van de termen in de rij u n gelijk is…

→ Bereken u 999999 . Licht je antwoord toe. We kunnen ook andere startwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heeft de rij maar twee termen: u 0 en u 1 ; dan is de term u 2 namelijk niet gedefinieerd. Behalve a = 0 zijn er nog twee startwaarden waarbij één van de termen in de rij u n gelijk is aan 0. De daaropvolgende term in de rij is dan niet gedefinieerd.

→ Welke twee startwaarden zijn dat? Licht je antwoord toe. In de rest van deze opgave werken we met startwaarden waarbij u 1 , u 2 en u 3 wèl gedefinieerd zijn. Bij zo'n startwaarde a kun je achtereenvolgens u 1 en u 2 bepalen.
→ Toon langs algebraïsche weg aan dat de uitdrukking die je voor u 2 krijgt kan worden vereenvoudigd tot . Nu je u 2 gevonden hebt, kun je u 4 ook bepalen.
→ Toon aan dat u 4 = a .

opgave 2Zomertarwe

Een akker wordt op 1 april ingezaaid met zomertarwe. De tarwe wordt geoogst op 30 juli. In de 120 dagen tussen zaaien en oogsten groeien de planten niet steeds even hard. Aanvankelijk groeien de planten steeds sneller. Als de planten groter worden gaan ze elkaar meer hinderen, waardoor de…

Een akker wordt op 1 april ingezaaid met zomertarwe. De tarwe wordt geoogst op 30 juli. In de 120 dagen tussen zaaien en oogsten groeien de planten niet steeds even hard. Aanvankelijk groeien de planten steeds sneller. Als de planten groter worden gaan ze elkaar meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg constant wordt. Tegen het einde van het groeiseizoen gaan de tarweplanten steeds langzamer groeien. Het gewicht van de tarweplanten in kilogrammen noemen we z . De tijd in dagen noemen we t ; t = 0 op 1 april, t = 120 op 30 juli. z' ( t ) is de snelheid waarmee z groeit op tijdstip t (in kg/dag). Biologen hanteren voor de drie groeifasen wel het volgende model: • fase 1: exponentiële groei voor 0 ≤ t < 40 geldt: • fase 2: lineaire groei voor 40 ≤ t < 100 geldt: z ′ ( t ) = 100 • fase 3: tanende groei voor 100 ≤ t < 120 geldt: z ′ ( t ) = 100 ⋅ e − 0,2( t − 100) In figuur 2 staat de grafiek van z ′ . figuur 2 100 Bij elk tijdstip t 1 in fase 1 is er een tijdstip t 3 in fase 3 waarop de tarweplanten even snel groeien als op t 1 .

→ Bereken t 3 exact als t 1 = 18. De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus z (0) = 30 . Er zijn getallen a en b , zo dat voor fase 1 geldt: z ( t ) = a ⋅ e 0,1( t − 40) + b
→ Bereken a en b . Rond de waarde van b af op twee decimalen. Op elk tijdstip t is het gewicht te bepalen met z ( t ) = z (0) + ∫ z ′ ( s )d s 0 Er geldt: z (100) ≈ 7011,68 .
→ Toon dit aan.
→ Bereken het gewicht van de tarweplanten op 30 juli.

opgave 3Conflict tussen twee punten en een lijn

Gegeven zijn een lijn k en twee punten A en B op gelijke afstand van k en aan dezelfde kant
van k. Zie figuur 3. Deze figuur staat ook twee keer op de bijlage.
figuur 3
A
B
k
We verdelen het vlak waar A, B en k in liggen volgens het naaste-buur-principe. De
grenslijnen van deze verdeling zijn conflictlijnen.
Het punt D is het ‘drielandenpunt’, dat is het punt op gelijke afstand van A, B en k.
104p
Teken in de figuur op de bijlage het drielandenpunt D. Licht je werkwijze toe.
114p
Teken in de figuur op de bijlage de conflictlijnen. Licht je werkwijze toe.

opgave 4Osteoporose

Osteoporose of botontkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen optreedt en
verergert naarmate men ouder wordt. Bij het ouder worden maakt het lichaam minder bot
aan dan er afgebroken wordt. Het gevolg is dat botten poreuzer worden en de kans op
botbreuk dus toeneemt.
In deze opgave beperken we ons tot de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder.
Onderzoek wijst uit dat 1 op de 4 vrouwen aan osteoporose lijdt.
Bij mannen is dat 1 op de 12.
Bij een controle op osteoporose onder 100 aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal
vrouwen osteoporose geconstateerd.
123p
Bereken de kans dat dit aantal 30 is.
Bij een controle onder vijf aselect gekozen mannen en vijf aselect gekozen vrouwen wordt
bij een aantal van hen osteoporose geconstateerd.
137p
Bereken de kans dat dit aantal 2 is.
In 1998 bestond in Nederland de risicogroep voor 55,6% uit vrouwen.
144p
Bereken hoeveel procent van de osteoporose-patiënten uit de risicogroep vrouw was.

opgave 5Twee scharnierende vierkanten

Twee vierkanten, beide met zijde 1, hebben het hoekpunt O gemeenschappelijk. Het
onderste vierkant ligt vast. Het bovenste vierkant wordt om O gedraaid; t is de draaihoek in
radialen. In figuur 4 zijn tussen de begin- en eindstand drie tussenstanden getekend. Om de
twee vierkanten is steeds een zo klein mogelijke rechthoek getekend, met twee zijden langs
het vaste vierkant.
O
figuur 4
t O
t O
t O
O
De oppervlakte R van de omhullende rechthoek is een functie van de draaihoek t.
Voor elke waarde van t tussen 0 en π geldt: R(t) (1 sint)(1 sint cost) .
In figuur 5 en op de bijlage is de situatie getekend voor een waarde van t tussen 0 en (1)/(2) π.
1 t 1
figuur 5
154p
Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van t tussen 0 en (1)/(2) π.
Er zijn tussen de begin- en de eindstand twee posities van de vierkanten waarvoor R(t)
maximaal is. In figuur 6 en op de bijlage is één van die posities getekend.
t 1 1
figuur 6
164p
Teken in de figuur op de bijlage de andere positie van de vierkantjes waarvoor R(t)
maximaal is. Licht je werkwijze toe.
173p
Toon met behulp van differentiëren aan dat R′(0) = 3.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Twee ellipsen met een gemeenschappelijk brandpunt

Twee ellipsen hebben het brandpunt F1 gemeenschappelijk; de andere twee brandpunten
zijn F2 en F3. De ellipsen snijden elkaar in een punt P. Zie figuur 7. Deze figuur staat ook
op de bijlage.
figuur 7
F 1 P F 2 F 3
De raaklijnen in P aan de twee ellipsen maken vier hoeken met elkaar. De hoek tussen de
twee halve raaklijnen die geheel buiten de ellipsen liggen, noemen we α.
186p
Bewijs dat geldt: ∠F2PF3 = 2α.

opgave 7Constante booglengte

196p
Twee cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de figuur 8
punten A en B.
A en B verdelen c1 in twee bogen: de ene
boog ligt binnen c2, de andere boog ligt
buiten c2.
Op de boog van c1 buiten c2 liggen de
punten X en Y. De lijnen AX en BX
snijden c2 nog in de punten P1 en Q1. De
lijnen AY en BY snijden c2 nog in de
punten P2 en Q2.
Zie figuur 8. Deze figuur staat ook op de
bijlage.
Bewijs dat de bogen P1Q1 en P2Q2 even
groot zijn.
Y c B 1 Q 2 A P 1 Q 1 c 2 P 2
√(Einde)
Lees verder