bronnen

Eindexamen wiskunde B vwo 2003, tijdvak 2 (wiskunde B1,2)

opgave 1Loterij

Ter gelegenheid van een jubileum organiseert een grote universiteit een loterij. Elke student
krijgt één lot. Er vinden twee trekkingen plaats. Bij de eerste trekking wordt bepaald op
welke nummers een hoofdprijs van € 500,- valt. Deze nummers worden teruggedaan en uit
het totaal worden vervolgens de nummers getrokken waarop een troostprijs van € 100,- valt.
Op 5% van de loten valt een prijs van € 500,- en op 20% van de loten een prijs van € 100,-.
Op één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen.
Thomas is één van de studenten die zo’n lot gekregen heeft.
14p
Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, gelijk is aan 0,24.
Een studentenvereniging bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het gewonnen
prijzengeld in de clubkas stort. Aan het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit
georganiseerd worden die betaald wordt met het prijzengeld.
23p
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat minstens acht leden van de
studentenvereniging in de prijzen vallen.
34p
Bereken hoeveel prijzengeld de studentenvereniging bij de twee trekkingen naar
verwachting zal winnen.

opgave 2Conflictlijnen

figuur 1
GRIEKEN- LAND TURKIJE Santorini Santorini
Santorini is een Grieks eiland. Door een vulkaanuitbarsting ruim 3550 jaar geleden is meer
dan de helft van het eiland verzonken in zee. Het overgebleven deel van het eiland heeft de
vorm van een croissant. Zie figuur 1.
Geïnspireerd door de merkwaardige vorm van dit eiland gaan we over op het volgende
wiskundige model.
Boog AB is een gedeelte van de cirkel met middelpunt M en straal MA. De punten A, T en M
liggen op één lijn. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de bijlage bij vraag 4.
figuur 2
A T M
Veronderstel dat het vlak volgens het naaste-buurprincipe wordt verdeeld tussen T en boog
AB. De grens bestaat uit twee rechte delen en één gebogen deel.
48p
Teken de grens in de figuur op de bijlage en geef bij elk van de drie delen een toelichting.

opgave 3Wortels optellen

Voor kleine waarden van n is de som 1 + 2 + 3 + ... + n nog wel uit te rekenen met de grafische rekenmachine. Voor grote waarden van n is dat zelfs voor de GR tijdrovend. Om voor grote waarden van n een schatting te hebben van de som bekijken we bovensommen In figuur 3 is de grafiek van y = x…

Voor kleine waarden van n is de som 1 + 2 + 3 + ... + n nog wel uit te rekenen met de grafische rekenmachine. Voor grote waarden van n is dat zelfs voor de GR tijdrovend. Om voor grote waarden van n een schatting te hebben van de som bekijken we bovensommen In figuur 3 is de grafiek van y = x getekend op het interval [0, 1]. Dit interval is in tien even brede stukjes verdeeld. De som van de oppervlaktes van de tien gearceerde rechthoekjes is de bovensom; deze geven we aan met B 10 . Figuur 3 is zonder arcering ook op de bijlage bij de vragen 5 en 6 getekend.

→ Toon De ondersom die hoort bij de verdeling van het interval [0, 1] in tien even brede stukjes geven we aan met O 10 .
→ Toon aan: B 10 − O 10 = 10 1 . Het interval [0, 1] wordt in n even brede stukjes verdeeld. B n is de bijbehorende bovensom en worden dat A is de oppervlakte onder de grafiek van y = x op [0, 1].
→ Toon aan dat uit A < B n en A > O n volgt: A ⋅ n n < 1 + 2 + 3 + ........ + n < A ⋅ n n + n . Met behulp van deze ongelijkheid kan voor 1 + 2 + 3 + ........ + 10000 een benadering berekend worden die ten hoogste 50 afwijkt van de werkelijke waarde.
→ Bereken deze benadering.

opgave 4Oppervlaktes en rijen

Gegeven zijn de functies f: x → (1)/(4) x2 en g: x → − (4)/(x2).
De raaklijnen aan de grafieken van f en g met richtingscoëfficiënt 1 en
richtingscoëfficiënt –1 sluiten een vierkant in. Zie figuur 4.
y f x O g g
figuur 4
98p
Bereken de oppervlakte van dit vierkant.
De lijn x = a, met a > 0, snijdt de grafiek van f in C en de grafiek van g in B. De lijn x = −a
snijdt de grafiek van f in D en de grafiek van g in A.
De grafiek van f deelt de rechthoek ABCD in twee stukken met gelijke oppervlaktes. Zie
figuur 5.
y f D C x O A B g g
figuur 5
107p
Bereken de waarde van a.
Bij een startwaarde u > 0 is de rij van positieve getallen u gedefinieerd door u = f(u ).
De rij van negatieve getallen vn is gedefinieerd door vn = g(un).
In figuur 6 zijn de plaats van u op de x-as, de grafieken van f en g en de lijn y = x getekend.
Deze figuur staat ook op de bijlage bij vraag 11.
y f x O u 0 g g
figuur 6
115p
Teken in de figuur op de bijlage bij vraag 11 de plaats van v op de x-as.
Bij een bepaalde startwaarde u0 krijgt v1 de waarde −1.
126p
Bereken deze startwaarde u0.

opgave 5Lissajous-kromme

De baan van een punt P wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen: { x ( t ) = sin t / y ( t ) = sin(2 t + ⅓ π ) Zie figuur 7. figuur 7
→ Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de x -as. P passeert de y -as steeds met dezelfde snelheid.
→ Bereken de exacte waarde van deze snelheid. Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

opgave 6Lijn door het snijpunt van twee cirkels

Gegeven zijn twee cirkels die elkaar snijden in de punten A en B.
Lijn l gaat door het punt A en snijdt de cirkels in de punten C en D. Zie figuur 8.
Deze figuur staat ook op de bijlage bij vraag 15.
A C D l B
figuur 8
Door de lijn l om A te draaien verandert driehoek BCD.
154p
Toon aan dat de grootte van ∠CBD onafhankelijk is van de stand van l.
In figuur 9 zijn opnieuw twee cirkels getekend die elkaar snijden in de punten A en B. De
middelpunten van deze cirkels zijn M en N. Lijn l door het punt A snijdt de cirkels weer in
de punten C en D. Deze figuur staat op de bijlage bij de vragen 16 en 17.
C A D l N M B
figuur 9
163p
Bewijs dat ∠AMN = ∠ACB.
174p
Bewijs dat ∠MAN = ∠CBD.
√(Einde)
Lees verder